Справочное руководство по небесной механике и астродинамике. Под редакцией Г.Н. Дубошина (564382), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Тогда ошибки Лаь Лбь Лхь асуп Лг~ обусловлены отклонением фактического движения от невозмущенного, н бЕА (й = 1,..., 6) надо рассматривать как поправки к элементам (или функциям от элементов) невозмущенной орбиты, учет которых позволит получить невозмущенную орбиту, достаточно хорошо описывающую фактическое движение. Однако чаще всего координаты а~к>, б!'), х~к), у(к), е(м вычисляются с учетом возмущений.
Тогда ЬЕА рассматривают как погрешности начальных значений элементов (или функций элементов) оскулирующей орбиты на момент (м учет которых позволит вычислить более точно возмущения. Члены, обусловленные изменениями ЕА с течением времени и неточностью метода вычисления возмущений, считаются имеющими более высокий порядок малости я при составлении соотношений (3.3.02) не учитываются.
После нахождения численных значений производных (-,) дк х — подставляют выражении (3.3.02) для Лхь Луо Лг~ дЕАА в (3.3.01) и получают соотношения вида а)ОЛЕ, + ... +ан>бЕ =соаб ° Аа, б в е я' р Ь( ЬЕ1+ ° ° +ЬБ ЬЕБ=ЛЬО (3.3.03) где а~'~, Ь)Π— численные коэффициенты.
Эти соотношения представляют собой так называемые условные уравнения относительно бЕО ..., ЛЕБ, решаемые по способу наименьших квадратов (с применением ЭВМ, если число наблюдений достаточно велико). См. ч. Ч!!, гл, 4. $3.02. Выражения для производных от координат по элементам (или по функциям элементов) дх ду дк Укажем формулы для производных —, —, —, прн- дЕА ' дЕА ' дЕА ' нимая в качестве Еп ..., ЕБ несколько наиболее употребляемых в этой задаче систем параметров (элементов или функций элементов) для орбит различных типов. 1.
В случае эллиптических орбит с довольно значительным эксцентриситетом е, но не близким к единице, принимают Е;=ф(1=1, 2, 3), Ек=!па, Ез=е, Е,=МШ (3.3.04) так что ЬЕ,=Лф; (1=1, 2, 3), ЛЕ,= —, бЕ,=бе, ЛЕБ=ЬКБ. Параметры ф1, !ра, !ра эквивалентны элементам й, 1, га и представляют собой углы поворота плоскости орбиты вокруг осей х, у, е соответственно, а — большая полуось, е — эксцентриситет, Ма — средняя аномалия в эпоху (а. Приведем таблицу выражений для производных х, у, х по Еп..., Еа (табл.
42), где и — среднее движение, г — а(1+а') ае ( г е) 'е ~ а(1 ") х (3.3.05) 3 = хх + уу + хй. В каждом столбце выписаны производные координат х, у, х по соответствующему элементу: во втором столбце по Е„в третьем столбце по Еа и т.
д. Таблица 42 дх ддЕа дд дЕа дг ддЕа 3 к — — (! — !е) х 2 3 д — — (! — !.) й 2 3 г- — (г-г,) а 2 х и Нх+ цх — у Ну+ КУ Нг+ 1(г Эта таблица является Одновременно таблицей коэффициентов в формулах (3.3.02) при соответствующих ЛЕ1,..., ЬЕа. Например, строка производных дх7дЕа позволяет записать первую из формул (3.3.02) в виде (индекс ! опускаем) Лх = х ЬЕ, — у ЬЕа + ~х — — (( — (а) х~ ЛЕе+ (Нх+ Кх) Ь Е,+ — ЬЕа. После вычисления поправок Л!21, Ь!рг, Л!ра можно найти поправки к значениям обычных элементов И, 1, га по формулам Ьга з(п ! = Л!Р! Б! и И вЂ” Л!Ра соз И, Л! Ь!21соБИ+Л!Р,з!Пй, ЛИ = Л!ра — Ьга соз 1, (3.3.06) где Ьф,=Лф1, 1 Ь га Ь (!а соз 6 + Лфа 3!и 6 ) Ь!Ра = — Л!Р, з !и е + Лфз соз е.
~ (3.3.07) 273 Ч. П1. МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И УЛУЧШЕНИЯ ОРБИТ 1$ 3.02 гл. 3. улучшение пеРВонАчАльнаи аРвиты $ 3.033 (Величины Ьфп ЬФз, Ьфз суть поправки углов поворота плоскости орбиты вокруг осей Ох, Оу, Ог эклиптической системы координат.) Значения х, у, г находятся проще всего с помощью интерполяционных формул (см. ч. Ч11, гл. 1) по таблицам прямоугольных координат, вычисленных для равноотстоящих моментов времени. 2. В случае эллиптических орбит с малыми эксцентриситетами используются параметры Ез —— ф~ (1=1, 2, 3), Е,=1па, Ез — — е, (Э.Э.ОЭ) Еб — — Мо+ фз так что ЬЕ~ = Ьз(ч (1 = 1, 2, 3), ЬЕ, =— ЬЕз=Ье ЬЕб= ЬМО+ Ьфз Таблица 43 Е, р, Ез=о, Е,=г, Е,=!па, Ез=е, Еб= Ыо+ г, (3.3.09) где р, д, г — компоненты вектора (зрьззз, фз) в системе координат х, у, г, плоскость ху которой совпадает с плоскостью орбиты, а ось х направлена в перигелий.
Соотношения между Ьр, Ьд, Ьг и приращениями элементов ЬИ, Ь(, Ьбо следующие: Ь1 = Ьрсозго — Ьдз1поз, з(п 3 ЬЯ = Ьр3(поз+ Ьдсозоз, Ьго+ сов(ЬЯ = Ьг. (3.3.10) Производные —, ... даются в табл. 44. дл дЕА ' Таблица для производных координат х, у, г по Еп ..., Еб или же для коэффициентов формул (3.2.02) отличается от табл. 42 только одним столбцом, соответствующим Ез — — фз и приведенным в табл. 43.
3. При произвольных эксцентриситетах и наклонах эллиптических орбит могут быть использованы параметры 278 Ч. НЕ МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И УЛУЧШЕНИЯ ОРБИТ И В.ВХ Таблица 44 где Р„..., (;1, — компоненты векторных элементов орбиты (см. $1.04) и 17„, 1сх, 17, — направляющие косинусы перпендикуляра к орбите в экваториальной системе координат. Соотношения между Р„, ., 17, и са, 1, й Табл иц а 45 выражаются формулами (3.1.15), (3.2.46), (3.2.47). еа ею Нх+Н'х Нц+Н'ц Ох+ 0'х Ец+0'ц Ох+ 0'Е На+и'х ния через перигелий, =а(1 — е) — перигелийное расстояние и а — большая или действительная полуось.
Величина и представляет собой с точностью до множителя йа постоянную энергии (для гиперболы принимаем здесь а а. О). Производные от х, у, г по фВ (1= 1, 2, 3) те же, что и в табл. 42. Производные по Ем Еж ЕВ да1отся в табл. 45, где 1+е'+лг ер à — ч Н вЂ” 11 ) ° Р— параметр орбиты, г — гелиоцентрнческое .расстояние, й'— произведение постоянйой тяготения на массу Солнца. дх дЕВ дц дна дх дЕВ 4. При улучшенииэллиптических или гиперболических орбит с эксцентриситетом, близким к единице, используются параметры Е, = ар В (1 = 1, 2, 3), Еа = т, 1 ЕВ=Ч ЕВ А= — —.
В а ' (3.3.11) где т — момент прохожде- гу гг(г+ р) а'ер (3.3.12) Н' = — — а (1 — т) — адЯ', ! Так как е = 1+»7И, Ь= — — „, то после нахождения Л»7, М получим исправленные значения а, е по формулам е = ! + (»7 + Л»7) (Ь+ ЬЬ), Ла = а' Ьй. 5. Если предварительная орбита является параболической, а уточненная орбита может быть как эллиптической, так и гиперболической, то принимаются или те же параметры, что и в пункте 4, т. е. Е»=Ф» (1=1з 2, 3), Е,=т, Е,=»7ф ЕБ — — Ь, (3.3.13) или Е»=ч»» (1=1, 2, 3), Е» — — т, ЕА=»7, Е =е, (3.3.14) с учетом, чта для предварительной орбиты Ь = О, е = 1. После определения поправок »к»7, »Ъ7» при использовании па раметров (3.3.13) находят е по формуле =1+(»7+Маей, (3.3.15) так что при »1»й ( О уточненная орбита будет эллиптической, а при Л7» ) Π— гиперболической.
Значение а находят па формуле 1 о= —— АА ' (3.3.16) Выражения для производных к, д, г по т, »7, й записываются в том же виде, что и в табл. 45, а величины Я, Я', Н, Н' вычис- ляются по формулам — Я'= — 2б»б 1~»7(! + — '), 1 Н = — (à — »7), Н = — б»б»7 (! — б — — б ), з б» = = = 41,1058431, ч/2А (3.3.17) причем б находится из уравнения б + — бз = — »7-'ь (1 — т).
1. А З !/2 (3.3.18) Если используется система параметров (З.З.!4), то производные к, у, г по»7, е следует взять из табл. 46 (остальные производные по Е» — — »р» (»= 1, 2, 3) и ЕА =т те же, что и в табл. 42, 45 соответственна), $ х02! ГЛ. Х УЛУЧШЕНИЕ ПЕРВОНАЧАЛЬНОИ ОРБИТЫ 279 230 ч. 1п. методы оппвдилиния и улучшения оявит н в,а Таблица 46 где Е = и'+ 10о'+ 3 К 4п'+ зов 3 (3.3.19) 1Оев+ 30 ' 1Оов+ 30 6.
Вместо параметров вую или р, ю), г во всех приведенных выше системах можно ввести сами элементы И, ою, ю. Если заменить этими элементами параметры ф в системах (3.3.04), (3.3.11), (3.3 13), то следует воспользоваться значениями производных от х, у, г по И, ою, ю из табл. 47, Таблице 47 )7аг - )7ву — г в1п е — у сов е )7кх — )7»г ЮУк» вЂ” зюкг к сове зюку Люк» )7»У — )7 . кв1пе где е — наклон эклиптики к экватору, !Чк = сов И, юс„в!пю'в!и И, Ук — — вюп И сове, Яа — — — в(пю сов И сове — сов 1 в!пи, (3.3.20) Ув=совИв!пе, )(,= — в!п(совИв!пв+совюсови. Если ввести элементы И, ою, ю вместо врю в систему (3.3.08) или вместо р, ю), г в систему (3.3.09), то будем иметь Ею = И, Ев = — юо, Ев — — ю', Ею = 1п а, Ев = е, Е, = Мо + ою.
(3.3.21) д» дЕв ду дЕв дг дЕв дх дЕв ду дЕв дг дЕв 1Г 3 — ~х — — (Ю вЂ” т) х~ д ( 2 з — у — — (ю-т) у1 2 1Г З г (, д ( 2 Ах — К [х — (Ю вЂ” с) х~ з 2 з Ьу — К ) у — (ю — т) у| 2 3 Ьг К ~г — (ю-т) г~ 2 8 абз1 ГЛ. 3, УЛУЧШЕНИЕ ПЕРБОНАЧАЛЬНОИ ОРБИТЫ 28! Производные от х, у, г по И, ! останутся такими же, как и в табл. 47, а производные по а представлены в табл. 48. Если элементы Я, а, ! отнесены к экватору, то в форму- Таблица 48 лах следует положить в = О. 8 3.03. Условные уравнения, составляемые по наблюдениям долготы и широты небесного тела Если движение данного небесного тела происходит по орбите, имеющей малый наклон к эклиптике, то при улучшении элементов эллиптической орбиты часто используют расхождения между наблюденными эклиптнческой долготой Х и эклиптнческой ШИрОтОЙ 3.
ВЕЛИЧИНЫ ЛХ = М'1 — Ми1 И Лр =. рве — [)1и1, ГдЕ ИН- дексом (н) отмечены наблюденные значения координат и индексом (в) — вычисленные, выражают обычно через поправки к следующим элементам орбиты: и (среднее угловое движение), в (средняя долгота н орбите в эпоху — см. ч !'17, $ 3.03),п (долгота перигелия), Й (долгота узла), е (эксцентриситет), ! (наклон орбиты). Вместо поправки к наклону ! рассматривают при этом поправку к величине у = в1п — . 2' С помощью, например, (4.10.14) из ч. !Ч можно вывести следующие выражения, связывающие ЛА и Лр с поправками Лл, Лв, Лп, ..., к указанным элементам орбиты: Лл =[1+2есовМ + — евсов2М вЂ” у~сов(2а+М)1[Лв+Лп(1-!Е)]+ + [2 в1п М+ — е в!и 2М вЂ” — е'в(п М+ — е'в!и ЗМ+ 5 . 3 т.
13 2 4 4 + 2у'в1п(2а+ М) — 2у'в(п(2а+ ЗМ)1Ле+ + ~- 2 сов М+ — е сов 2М~ е Лп+ 4у'сов(2а+ М) ЛЯ+ -]- [- 2у в!и (2а + 2М) — 4уе в!и (2а + ЗМ) + 4уе в(п (2а + М)] Л у, (3.3.22) Лй = [2 в(п (а + М) + 2е в!и (а + 2М) — 2е в1п а] Лу+ + [ — 2у в(п(а+ 2М) — 2у в(па] Ле+ + 2у сов(а+ М) [Лв+ Лп(1 — Г,) — Лй], (3.3.23) зйз Ч. !И. МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И УЛУЧШЕНИЯ ОРЕИТ [$ З.ОЗ где коэффициенты в (3.3.22) выписаны с точностью до членов второго порядка, а в (3.3.23) — с точностью до членов первого порндка относительно е и у.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
