Справочное руководство по небесной механике и астродинамике. Под редакцией Г.Н. Дубошина (564382), страница 45
Текст из файла (страница 45)
2БТ Ф а.м~ гл, а. ОпРеделение ОРвит т; Ча , ту ча н у пу= — —. пу= — —, (1=1» 2). та тп та ч( С зтими значениями пь ..., Ла снова решаем уравнения (3.2.23) и (3.2.24) относительно рь ра и т. д. й 2.04. Определение гелиоцентрических положений по трем геоцентрическим наблюдениям в случае параболической орбиты Обозначим опять через абм б» (й = 1, О, 2) три пары наблюденных геоцентрических координат на моменты 1ь 1б, 1а, через Хм Ум Ха — соответствующие геоцентрические координаты Солнца, а через Хм пн, та — направляющие косинусы геоцентрических радиусов-векторов, вычисляемые по формулам (3.2.01). Применение общего метода, изложенного в $2.01, оказывается невозможным, так как определитель 1у весьма мало отличается от нуля. Рассмотрим уравнения относительно геоцентрических расстояний рь ра, ра, записанных в виде (3.2.22).
Выбрав два из этих уравнений с наибольшим определителем, выражаем ра через рп и. 1 ' + ' а, + а бн + (3.2.28) где К, Аь Еа, у.э — величины, вычисляемые по йм Рм т„, Х,, Ум Х„(й = 1, О, 2). В первом приближении полагаем Т1 л,= —, та Тн Па уа где ть та, та определяются по формулам (3.2.28). После этого (3.2.28) запишется в виде р„=Мр, +лу, (3.2.29) где М, лу — известные числа. Ь Пад Р«у Г, Н. Дубашнна Затем по формулам, аналогичным (3.2.27), находим гелиоцентрические координаты на моменты 1, (а. 2. Моменты 1ь га, 1а, Га исправляем эа аберрационное время.
3. По полученным приближенным значениям гелиоцентрических координат на моменты бэ 1а, 1а, 1а находим величины т)Р. т1а, т1„У1И т)'„., а)', — отношениЯ плошалей соответствУюЩих секторов и треугольников и уточняем значения ль лу, л1, па по формулам ааа ч. и!. мБТОды ОпРБдвления и улучшения ОРВит 1$ оло Вместе с (3.2.29) рассмотрим соотношение 18г',— )~(2Я+ ЗХ)'=О, (3.2.30) где С,= — Р,Х,+рУ,+ч,г), г,'=Х;+У,+3,. Исправляем далее моменты 11, (о, 1Е за аберрационное время и пеРевычислЯем величины т1, то, то.
ВычислЯем более точные значения величин п1, по по формулам (3.2.06) или (3.2.08) и заново решаем уравнение (3.2.30), находя уточненные значения р1, ро, х1, уь х1, хо, уо, го, г1, го. В третьем приближении (если ана требуется) сначала вычисляем значения ро, го, соответствующие второму приближению для р1, а также хо, уо, го по формулам, аналогичным (3.2.31), (3.2.32). Далее с имеющимися значениями р1, ро, ро уточняем поправки моментов 11, 1о, (о за аберрационное время. Используя полученное второе приближение для гелиоцентрических положений на эти моменты, вычисляем величины т11, т1о, т11 — отношения площадей соответствующих секторов и треугольников по формулам о у» где Я = г1 + го — Х, Х 2(г1го+ х1хо+ У,УЕ+ х1хо)» хо = Хоро»ты уо= роро т» (3.2.31) х = чоро — Хо, г' = х' + у„ + е', (А = 1, 2).
Это соотношение, в котором 1т, Х предполагается выраженным через р1 с помощью (3.2.29), (3.2.31), рассматривается как уравнение относительно р1. Путем вариации значений р1 и последующего интерполирования находим такое р1 (в пределах нескольких значащих цифр), что левая часть этого уравнения, обозначаемая через )(р1), обращается в нуль. Далее по формулам (3.2.29), (3.2.31) находим ро, х1, у1, г1, хо, уз, хо, г1, го, заканчивая этим вычисле« ния гелиоцентрнческих положений в первом приближении. Переходя ко второму приближению, вычисляем по тем же двум из уравнений (3.2.22) значение ро, соответствующее первому приближению для рь а затем го по формуле г' = р' + 2С р + 1то (3.2.32) ГЛ, Х ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРВИТ 259 где з', = (х, — х„)' + (у, — ре)' + (е, — г )з. После этого находим более точные значения л~ и по.' то Чо п~ —— т.
чо ' Чо по то Чо (3.2.34) где г = Др + С )т + Яоо — С,', от = (р + Г)т + Х', о Йо Оо — (о)о (1 + М)о 9() — им+ м) ° р Н(1+М) з (1+И) ()оо+РоМ) ~о — мм ммо Коо((1 |— омом ~ Н = Х! + У1 + Х1 + Хэ + Уз + Хз — 2 (Х1ХЕ + У1Ут + Х1Хо), Е= 2(й~)от -4- рут+ т,то), Г, =11(ХŠ— Х )+ р, (Ут — У~)+оь (Яо — 21), Рэ получается из Р~ после замены всех индексов (1) на (2) и наоборот, а М, Со, Яц — величины, выписанные в (3.2.29), (3.2.32) соответственно, ям и опять возвращаемся к решению уравнения (3.2.30) относительно р| и т.
д. Уравнение (Э.2.ЭО) обладает, как правило, одним положительным корнем рь Однако в некоторых, хотя и в очень редких, случаях это уравнение имеет три положительных корня. Тогда мы получим три системы элементов, т.е. три разные параболические орбиты, отвечающие трем использованным наблюдениям. Вопрос о том, какая из орбит соответствует фактическому движению данного небесного тела, выясняется только после привлечения четвертого наблюдения, если такое, разумеется, выполнено. Вычисляя три варианта теоретического положения небесного тела на момент четвертого наблюдения и сравнивая с фактическими наблюдательными данными на этот момент, нетрудно произвести правильный выбор. Ответ на вопрос о количестве положительных корней уравнения (3.2.ЭО) сравнительно легко получить при анализе более простого уравнения, имеющего то же самое количество положительных корней. Это более простое уравнение получается из уравнения Эйлера (Э.2.61) (см, ниже $2.08) при Оа = 1, г1+ га —— 2г и записывается в виде В уравнении (3.2,34) неизвестной является величина р, связанная с геоцентрическнми расстояниями р1 и рз формулами ЕР Р1 = 1+М ' 2МР Р2 1+М ' Все остальные величины Г, Х, С2, 222, с' известны.
Количество положительных корней уравнения (3.2.34) атно- сительно р и их приближенные значения можно определить графическим путем. Для этого достаточно построить графики, на. нося по оси абсцисс значения р, а по оси ординат значения величин г, о2 и гоз. По формуле р, = 2р/(! + Е4) получим соответствующие приближенные значения корней р~ исходного уравнения (3.2.30). Уточнение этих значений проводится с помощью варьирования и интерполирования.
2 2.05. Вычисление элементов эллиптической орбиты по двум гелиоцентрическим положениям Выше было указано, каким Образом по трем или четырем наблюдениям небесного тела в моменты 1П 1м 12 яли 1ь 12, 12, 12 можно найти его гелиоцентрические координаты на эти моменты. Для непосредственного определения элементов орбиты достаточно знать гелиоцентрические координаты на два момента, за которые принимают 1~ и 12.
Таким образом, пусть даны гелиоцентрические координаты хм ум гм га (й = 1, 2) на два момента 1ь 12. Элементы эллиптической орбиты вычисляются следующим образом, 1. Вычисляется параметр орбиты р по формуле р= В'~ — ), (3.2.35) где т=й(12 — 1,), В' = (у,г2 — узг1)'+ (г,х2 — гтд~)2+ (х,у, — х,у,)' (3.2.36) и 21 — отношение площадей сектора и треугольника, Образованных радиусами-векторами х„г2, т. е. (гнч) ' Способ вычисления этой величины был указан в $2.01.
2. Вычисляется эксцентриситет е па формулам /1+ а( 4+ аа2 е2 = — или ет=— /2 2 2 2 (3.2.37) або Ч. ПЬ МЕТОДЫ ОПРРДЕЛЕНИЯ И УЛУЧШЕНИЯ ОРБИТ 14 2.06 Гл. е опездаленив оэвит зб! а км! где 1~1 — 1»к~ Й'= В 1! Р го !» — Р г» 1, »-1к в 1 = х,х, + у,у»+ г,г» и В определяется согласно (3.2.36). Совпадение значений е, находимых по обеим формулам (3.2.37), является контролем вычислений.
3. Определяется большая полуось орбиты а: а= —. Р ! — е' ' (3.2.38) 4. Вычисляются эксцентрические аномалии Еь Е» и средние аномалии М!, М» на моменты !ь !» соответственно: 1иЕ»= » (й=!, 2), (а — г ) т/! — е' (3.2.39) а„= х,Š— К„С, !)„=у,Š— К„С, 4),=г,е — К,с, Р„= х,С вЂ” К„Я, Р„= у,с- К„Е, Р,=г,С вЂ” К,Е, (3.2.42) где к~е ' 5= —, 01 г',е (3.2 АЗ) к,— к,! г,— у,1 г,— к~! $ 2 2 В ' К" В ' К* В Контроль: К» + Кк + К» » ()» 1 Ц. 1 Цз 1 Рг 1 Р» 1 Р» г»(С»+5»)=1 Р Я + Р Я +Р Я =!!.
причем числитель и знаменатель в этой формуле имеют знаки збп Е„и соз Е» соответственно (отсюда определяются четверти, в которых расположены углы Еь Е») ," М» — — Е» — ез1пЕ» (й=1, 2). 5. Вычисляется среднее движение лч и= ~™ или л=йа и. (3.2А1) !» — 1~ Совпадение обоих значений л является контролем всех вычислений в пунктах 2 — 4. 6. Вычисляются экваториальные векторные элементы орбиты Р„, Р„, Р„Я„Я„, 9, по формулам яая ч. пь методы опуеделзиия и улучшения оувит е ле 7.
Вычисляются направляющие косинусы перпендикуляра к орбите в экваториальной системе координат; У~о, — Уее, р е,хе — хех, 1» хпп — »1У, (3 2 40) В ' " В ' * В Кантралтп 1е', + й'„+ Я', = 1. 8 Вычисляются направляющие косинусы перпендикуляра к орбите в эклиптической системе координат: Фх =)1., »е» = ее» сов в + Ях 51п а, Я, = Я, сав е — !е» в1п в, (3.2.46) где е — наклон эклиптики к экватору. 9. Вычлсляются долгота восходящего узла И, наклон 1 и угловое расстояние перигелия от узла оо по формулам сов(=Ф„ в(п ! в! и !2 = )т„, в(п ! сов 1» = — Я», в!п ! в(п ео = Р, сов а — Р» в(п в, в!и ! сов ео = Яе сов е — Ц в! п в.
Контроль: (3.2.47) 2 2.06. Определение элементов гиперболической орбиты па двум гелиацеитрическим положениям Вычисление параметра орбиты Р, эксцентрбситета е, действительной полуоси а, а также элементов Й, 1, ео выполняется так же, как и в случае эллиптической орбиты. При этом мы получим е) 1. Р» еее е — Рх !я 0 0„»ее е — 0» !УЯ ' На этом вычисление элементов заканчивается. Для контроля надо вычислить по этим элементам и по формулам (3.1.01), (3.1,14), (1.!.034) координаты а, б иа средний момент !о (в случае трех наблюдений) или на средние моменты 1о, !о (в случае четырех наблюдений).
Отсутствие хорошего совпадения может указывать не толька на ошибки вычислений, но и на то, что фактическое движение данного небесного тела плохо описывается на данном интервале времени невазмущенной кеплеровской орбитой. Такое сравнение вычисляемых по элементам и наблюденных координат на средний момент выполняется также в случае определения элементов гиперболическои и параболической орбиты. ГЛ, 5, ОПРЕДБЛЯНИБ ОРБИТ 4 5.511 Вместо средней аномалии в эпоху принимают в качестве шестого элемента момент т прохождения через перигелий.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
