Справочное руководство по небесной механике и астродинамике. Под редакцией Г.Н. Дубошина (564382), страница 42
Текст из файла (страница 42)
(2.3.31) Здесь $ и т) — орбитальные координаты. 5 3.04. Формула Лагранжа Уравнение вида а — а — а! (г) =О, где а, а и параметр а — комплексные величины, а 1(а) — задан- ная 'функция, голоморфная внутри некоторого контура 5, содер- жащего точку а, называется уравнением Лагранжа, Если на контуре Я 1 а) (г) ! <!а — а !, то уравнение Лагранжа имеет внутри контура 5 единственный корень, являющийся голоморфиой функцией а и обращающийся ваприа=О.
Этот корень может быть найден при помощи формулы Лагранжа, которая имеет вид А хзи Гл. а РАзлаженне кООРдинАт невозмущен. движения В Ряды Р37 Рассмотрим теперь некоторую заданную и голомарфную внутри контура 5 функцию Ф(е). Тогда разложение этой функции от корня уравнения Лагранжа дается формулой Ф()=)' — '„, —,", . (Ф'()("()), и 0 которую можно назвать обобигенной формулой Лагранжа, Приведенные здесь разложения для е и Ф(а) абсолютно сходятся для любого значения а в области, ограниченной контуром 5, и параметра и, удовлетворяющего условию (о! <~ — ~.
Формула Лагранжа и ее обобщение играют весьма важную роль н небесной механике. Действительно, поскольку уравнение Кеплера можно рассматривать как частный случай уравнения Лагранжа, то они позволяют достаточно просто построить ряды по степеням зксцентриситета е для эксцентрической аномалии Е и различных функций Е. $3.05. Ряды по степеням зксцентриситета Применительно к уравнению Кеплера формула Лагранжа н ее обобщение дают и О Ф(Е) = Х вЂ”;„,м„, (Ф'(М) з(п" М). и=О Первая из этих формул позволяет написать разложение эксцентрической аномалии в ряд по степеням эксцентриситета, а вторая дает возможность получить соответствующие разложения для различных функций эксцентрической аномалии, Разложение для Е: Е=М+ ~ е"Е„(М), где Е (М) = — ' "" "'""~) и = Л! ИМи! 1О З,ОО ч.
!!. ВАдАчА дВух тал Разложение для созЕ: созЕ= ) е"Св(м), в=О где вв-! (О.,вв+! М) С,(м) = — —, Разложение дл я з!пЕ: з!п Е= ), е"5„(м), где ! Лв (и!ВО+в М) (в+ !11 имв или Вв(м) =С... (М). Разложение для !и — = ~~! е"Я„(М), где ЛО(М) 1~ Вв(М) Св-1(М) (и Ф О). Разложение для $=гсозо: — =~~! евАА(м), в где А, (М) = — 1 + С, (М), Ав (М) = Св (М) Р а з л о ж е н и е д л я т1 = г юп гл , ~~' ввв(М). (и эь О). а Разложение для —: à —;-~ гв„(м), где В (М) лев(м) в дм Коэффициенты Е„, С„, Вв, й„, А„и Вв можно представить в виде тригонометрических полиномов по синусам или косинусам кратных М.
Для зтога нужно воспользоваться следующими э хая гл. а г»вложение коогдин»т нввозмущвн. движения в гяды язэ формулами: з)п'» 'М=,, ~~~ ( — 1)"~' 'С~ 'з1п(2й — 2! — 1)М, и=о где ! г! с;=,,(, суть биномиальные коэффициенты. Так, например, для Е„(М) имеем й (э — 2!)" Е„(М) = — „, ~( — 1)' з1п(л — 21)М, 2" ' !! (л — !)! » О где В есть наибольшее целое число, содержащееся в п/2. Приведенные здесь ряды, как и другие разложения в теории кеплсровского эллиптического движения, сходятся абсолютно для всех е от 0 до предела Лапласа.
й 3.06. Тригонометрические ряды по кратным эксцентрической аномалии Приведем разложения некоторых функций эллиптического движения в тригонометрические ряды по кратным эксцеятрической аномалии Е. Ряды по кратным Е представляют интерес, особенно в тех случаях, когда при решении уравнений возмущенного движечия (см, ч. 1Ч, гл. 3, 4) в качестве независимой переменной принимается эксцентрическая аномалия. гг~а г г х" 1) Общие разложения для ~ — ) сазтв и ~ — ~ в!и, тв: ~а) ~а 3 ( — ') созтп=А,"' сов тЕ+ ~ А»' соз(т+й)Е+ »=! + ~~) В»' соз (и — Ф) Е, (2.3.32) »=! ) (~) з(п то = А»' и!пп»Е+ ~~~ А»' з(п (т+ й) Е+ » + ~ В»' з1п(т — й) Е, (2.3,33) » ! ч.
и. зйдйчй дай х тал $$ »06 240 где Айю. (1 е) (1 р) Тй(л т) А»' =( — Р) С» (1 — е )мй(1 — (1) Тй(л, и!), В»' =( — р) Сй~ (1 — е') (! — (1) Тй(л, — т), причем Тй (л„т) = Р ~ — л — т, л — т + 1, Ь + 1; — ! р, ), р* (2.3,34) где Аа' =(1 — е') Е( — и, л+1, 1; — — 1,), Ай''=( — р) Сй(1 — е )"~г" ( — л, и+1, Ь+1; — —,). а 3) Разложение для —: l — ц -)-21 ! ~е). г й!1 — »' й=! (2.3.35) 4) Разложение для ( — ): ( — ) !) '! '~1 ! Я~с ~-Й1/! ')й йе1 »3э6! й=! 5) Разложение для сове и з)по! соз о = — 5+ (1 — 1г) ~~„5'-' соз ЙЕ, й=! (2.3.37) а)п о = (1 — Рй) ~ 5~ ' з 1п ИЕ. й-! (2.3.38) а Е(а, Ь, с; х) — гипергеометрическая функция (см. ч.
1Ч, $5.02). за 2) Разложение для ( — ) ! (а) ( — ') =Ай '+2,') Айа'созЬЕ 4 з.юп гл. з. гззложение коогдиндт невозмкщеи. движения в гяды в4! б) Разложение для истинной аномалии: о=Е+ 2~ — з!пйЕ, рз Л 3=! (2.3.39) где р определяется формулой (2.3.21). $3.07. Ряды по кратным истинной аномалии Приводимые ниже разложения некоторых функций в тригонометрические ряды по кратным о особенно полезны в тех случаях, когда при интегрировании дифференциальных уравнений возмущенного движения за независимую переменную принимается истинная аномалия (см. ч.
1Ч, гл. 3, 4). 1) Разложение для М (уравнение центра): М = о+ 2 ~ ( — + 171 — ез) ( — р) в)п йо. (2 3 40) з=! 2) Разложение для Е; Е=о+ 2~ — „в!пйо. (-Р)з . (2.3.41) 3) Разложения для сов Е и з1п Е: ОР совЕ=р+ (1 — рз) 2 ( — р)з 'сов йо, з=! (2.3.42) з!п Е=(1 — рз),~' ( — р)з-! в!п Йо. з=! (2.3.43) /а~л 4) Разложение для ~ — ) ! Г ОЭ Я =() — ') ~т,(,0)(.
21'с! т (, О) й ~. (2344) з=! Ч. П. ЗАДАЧА ДВУХ ТЯЛ 242 14 о.ов 5) Приближенная формула для М: гз е'х ео з М = о — 2егйпе+ ~ — е»+ — ~ В1п2п — — з1п Зо + — ееейп 4о. ~4 зе 3 зз (2.3.45) й 3.08. Разложения ноординат невозмущенного неплеравского движения в ряды по степеням времени Рассмотрим частное решение дифференциальных уравнений невоэмущенного кеплеровского движения ях .. НЕ ве (2.3.46) УдовлетвоРЯющего начальным УсловиЯм пРи 1= 1»1 х=хм У=У», 2=Хо, х=хо У=У» 2=во Если исключить случай прямолинейных движений, то на основании теоремы Каши о существовании решений системы дифференциальных уравяений решение уравнений можно представить в виде рядов по степеням 1 — 1о, сходящихся во всяком случае при достаточно малых значениях 1 — 1о.
Пусть х=хоР+хо0 У=УЗР+У»0, 2=гор+йо01 (2.347) тогда Г и 0 будут частными решениями уравнений Р+ в У=О, 0+ —,",0=О, (2.3.48) удовлетворяющими начальным условиям Р(го) = 1, 0 (1о) = О, Р(1о) = О 0 (1о) = 1 (2 3 49) Подставляя в уравнения (2.3.48) ряды Р = Е а» (1 — ео)», 0 = Е Ь» (1 — 1о) (2 3.50) »=о »=о и приравнивая нулю коэффициенты при одинаковых степенях 1 — г„чы еажем последовательно найти коэффициенты а» и Ь1„ удовлетворяющие условиям (2.3.49). В результате будем иметь: 1, а,=О, 1Н 1Н. — — — а = — — 2 ? 3 2 4 го го 114 6Н., 1Н' 'о+ ° о 6 0 о 6 го ° ЗН.7Н.?1Н? ° — — — г Ь+ — — г' — — — г 00+600270' '0 'о 2 'о 1 Н 7 Н .
21 Н .4 19 Н? ь? 1 ь?/1 74 ь + 16 77, 6 77 0о 16 77 00 120 гоо 7Н?.?7Н? + — — г' — —— гО О 7,г' ао= а?= (2.3.51) ао = ао= О, Ь=1, о ь,= — — ' —. 1 Н Э о' 6 го ьо = Н вЂ” — го 4 го 4 З Н ЗН.? 1Н' 2? 1 40 го 6 го 12 го 1 Н 751 г? г 4 го 72 го о 24 гг о' о о о (2.3.52) ь = О Ьо= где 1'Π— значение У при 1 = 1о и "=(4+Уо+ 2о) га (2.3.53) Полученные разложения сходятся в случае кругового движения при 11 101С оо (2.3.54) в случае эллиптического движения для всех 10 при 11 — 1 ~ < — „~!п ' — 1,/1 — е? ~, (2.3.55) в случае параболического движения для всех 1, при 124)" 11 10! С= з7н (2.3.56) 4 ?.001 ГЛ, Х РАЗЛОЖЕНИЕ КООРДИНАТ НЕЕОЗМУЩЕН. ДВИЖЕНИЯ В РЯДЫ 243 и зм ч. и. ээдлчл двтх тел и в случае гиперболического движения для всех !э при )! га! ( =Ь/е~ — 1 — агс!9 1/Р— ! (, (2.3.57) где л — среднее движение, д — перигелийное расстояние, е— зксцентриситет, а — действительная полуось гиперболы.
Следует заметить, что радиус сходимости существенным образом зависит от момента гв (здесь мы привели минимальные значения радиуса сходимости, которые достигаются при !р = т, где т — момент прохождения через перицентр). ф 3.09. Степеинйе ряды в случае эллиптического движения В случае эллиптического движения формулы предыдущего параграфа можно заметным образом упростить. Если положить (2.3.58) (2.3.59) то для Р и 6 найдем 2 р О + У Р' 96 + [ э Р (! +5Ч')+ и речЕ'+ + [ а рэг) (3+ 7фэ) ртд~ Оэ + [ — рг (1 + 14дэ+ 2Ц4),+ + !эо Рэ(19+ 14094а) — — Рэ~Ое+ ..., (2.3.60) 6 = Π— — рэОэ+ — р~дО~ + [ — — рэ (1 + бдз) + — ре~ Оэ + +[ — Ф'Ф(3+77') — — Ф'ф'+ " (2361) Прямоугольные координаты х, у, г будут определяться формулами (2.3.47). Для кругового движения р=1 и правые части (2.3.60) и (2.3.6!) представляют собой разложения соэ О и э!п О в степеннйе ряды, сходящиеся на всем бесконечном промежутке времени.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
