Справочное руководство по небесной механике и астродинамике. Под редакцией Г.Н. Дубошина (564382), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Г (2.1.23) Между постоянными интегрирования имеют место две следующие зависимости: с1)п+ сз)з+ сз1»В=О, Р-~-х .~.1 — аР, ) ..~., )=„ (2.1.24) Поэтому из семи приведенных здесь интегралов только пять являются независимыми. Вектор момента колвчества движения и вектор Лапласа, Равенства (2.1,19) показывают, что постоян- НЫЕ Сн Сз, Сз СУТЬ ПРОЕКЦИН ВЕКтОРВ МОМЕНта КОЛИЧЕСтна Дннжвния (на единицу массы) тела Р на координатные оси. Модуль этого вектора (в дальнейшем будем его называть постоянной площадей) равен — йГ+4+ ,' а его направляющие косинусы относительно осей х, у, г будут с! Еа сз с'с'с Рассмотрим вектор Х, проекции которого на координатные Оси Равны 4, Аз, Хз.
Этот вектоР, модУль котоРого а ть+К +ь З ЬОЗ1 ГЛ. Ь ОБЩАЯ ТЕОРИЯ НЕВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ 215 Ч. 11, ЗАДАЧА ДВУХ ТЕЛ 216 б 1.вв а направляющие косинусы суть Х! Ав Ав А" А называется вектором Лапласа. Из равенства (2.1.24) следует, что вектор момента количества движения и вектор Лапласа перпендикулярны друг к другу. $1.03.
Типы невозмущенного кеплеровского движения в силу чего уравнения (2.1.26) в (2.!.26) преобразуются к виду ь=О, !АУ+ Ц=св. (2.1.27) Переменные а и т! называются орбитальными координатами. 2. Уравнение орбиты в полярных координатах. Пусть Ч г Х СОЗ О, т! = Г З! и О. (2.1.26) Тогда из (2.1.27) находим Р 1 +с сове (2.1.29) где с' х р= —, е= —. !в 11 (2.1.30) Из интегралов площадей (2.1.!9) и интегралов Лапласа (2.1.22) находим с!х + саУ + сзз = О! (2.1.26) !Аг+)1!2+ йвр+Л,з=с'. (2.1.26) Уравнение (2.1.25) показывает, что движение тела Р проис- ходит в плоскости, проходящей через точку Рс перпендикулярно к вектору момента количества движения. Поскольку уравне- ние (2.!.26) определяет поверхность второго порядка, то тра- ектория тела Р есть кривая второго порядка — коническое сечение.
1. Орбитальные координаты. Возьмем новую систему коорди- нат Рсст1~ ось Рса которой направлена по вектору Лапласа, ось РВ1. — по вектоРУ момента количества движениЯ, а ось Рств до- полняет систему до правой. Тогда формулы преобразования ко- ординат будут иметь вид А! Хв Ав ь= — Х+= Ц+ — 2, А А А + А У+ ссх! — с!А! свх! — с!1,в с Ав — свх Х+ — У+ 2, с! с, св с с с 4 ьая гл. г. овщля таврия невозмишннного движения 2!у Уравнение (2.1.29) есть полярное уравнение конического сечения, фокус которого находится в начале координат (точке Ре).
Величина р называется (фокальным) параметром конического сечения, е — эксценгрисигетом, полярный угол о— истинной аномалией. Из уравнения (2.1.29) следует, что минимальное значение радиуса-вектора г достигается при о = 0; соответствующая этому значению г точка орбиты называется перицентром. В случае движения тела относительно Солнца перицентр называют перигелием, в случае движения тела относительно Земли — перигеем н т. д, Поскольку эта точка лежит на оси РеК, вектор Лапласа направлен в пернцентр орбиты. Для ограниченных в пространстве движений при о = п радиус-вектор г достигает максимального значения. Соответствующая ему точка орбиты называется апоценгром.
В случае движения тела относительно Солнца она называется афелием, а в случае движения тела относительно Земли — апогеем. Прямая, соединяющая апоцентр и перицентр, носит название линии апсид. 3. Классификация орбит в задаче двух тел. Из равенств (2.1.24) н (2.!.30) находим формулу с" ( (2.1.31) связывающую постоянные й, с н е, а из интеграла энергии имеем ут 2р+ (2.!.32) где ге и Уе — значения радиуса-вектора и скорости в начальный момент времени. В зависимости от начальных условий илн постоянных интегрирования будем иметь следующие типы орбит: а) эллиптическая орбита сФО, 0<е<1, 3<0, Уе< ~/~~, )ь<)г; (2.1.33) б) круговая орбита") с~О, е=О, й= — —," <О, Уе= ч/~~, Х=О; (2134) в) параболическая орбита сФО, е=1, 3=0, Уе —— х/ ~~, к=)г; (2.1.35) /2р е) Круговая орбита может рессматриввться также как частный случкА лллнвтическоа (е = О).
ч. !!. 3АдАчА дВух твл !$ !лл 218 г) гиперболическая орбита с~О, е> 1, Ь>0, У',> Ч/ —,~ . А> р; (2.!.36) ч„/, д) прямолинейная траектория с=О. (2.1,37) формул Условия (2.1.33) — (2.1.37) легко вытекают из (2.1.29) — (2.1.32) . Следует заметить, что при с = 0 и Ь ( 0 движение будет происходить по отрезку прямой, при с = 0 и Ь = 0 — вдоль луча и, наконец, при с = О, Ь > 0 — вдоль всей прямой.
Таким образом, если Ь ~ О, то невозмущенное движение будет происходить в ограниченном пространстве, а если й > О, то мы будем иметь неограниченное в пространстве движение. 4. Первая и вторая космические скорости. Наименьшая начальная скорость, которую нужна сообщить телу, чтобы оно стало искусственным спутником Земли (ИСЗ), называется первой космической скоростью.
Она равна скорости кругового движения (круговой скорости) на данной высоте, т. е. !т,= ~/ и, (2,1.38) где р есть произведение постоянной тяготения на массу Земли (массой ИСЗ можно пренебречь), а гь — геоцентрическое расстояние ИСЗ. На поверхности Земли первая космическая скорость составляет около 7,9! км(сек. Второй космической скоростью называется наименьшая на. чальная скорость, которую нужно сообщить телу„чтобы оно, начав движение вблизи поверхности Земли, преодолело земное притяжение. Очевидно, она равна скорости параболического движения на данной высоте (параболической скорости) (2.1.39) Эта скорость, так же как и У„меняется с высотой.
Будучи при веденной к поверхности Земли, она составляет около 11,2 км/сек. й 1.04. Элементы орбиты Элементами орбиты называются величины, характеризующие положение орбиты в пространстве, ее размеры и форму, а также положение небесного тела па орбите. Элементы, характеризующие положение плоскости орбиты и ориентацию орбиты в втой плоскости, вводятся следующим образом. Пусть движение небесного тела рассматривается в системе координат Ргхуг з 1.04! Гл 1. ОбщАЯ теОРиЯ неВОЗмэщенного дВижениЯ Я19 !рис. 6!) с началом в центре масс центрального тела Ры и пусть оси Р,х, Р,у, Рег пересекают небесную сферу в точках Х, У, Х.
Будем рассматривать плоскость большого круга ХУ как основную плоскость, а точку Х вЂ” как Основную точку на этом круге. Предположим, что плоскость орбиты пересекает небесную сферу по большому кругу МАМ, а радиус-вектор перицентра пересекает небесную сферу в точке А. Тогда прямая 1у'Ре)р', по которой плоскость орбиты пересекает основную плоскость, называется линией узлов.
Когда движение небесного тела происходит против часовой стрелки, если смотреть из полюса Г орбиты С, точка Л1 называется восходящим узлом, а точка ',лл !У' — нисходящим узлом. Дуга Х111, обозначаемая через 11, называется долготой восходя- ' '1 4 щего узла или просто долготой лл узла. Угол МЛ1У, обозначаемый через 1, под которым пло- м Л/1 скость орбиты пересекает ос- 'Ъ ионную плоскость, называется наклоном орбиты; наклон орбиты — это также дуга боль- Ряс. б\. Элеяентм ербясяе шаго круга ХС. Дуга 1"сА, обозначаемая через сз, называется угловым расстоянием перицентра от узла !аргумент перицентра), Величины 1г, 1, 1з составляют первую группу элементов орбиты; первые два из них характеризуют положение плоскости орбиты, а третий — ориентацию орбиты в этой плоскости.
При этом очевидно, что 0'~(1~(180', 0'~(11 < 360', 0'~(а < 360'. В случае движения планет за основную плоскость чаще всего принимают плоскость эклиптики, а за основную точку — точку весеннего равноденствия. В теории движения ИСЗ в качестве основной плоскости обычно берут плоскость экватора, а за основную точку — точку весеннего равноденствия. В первом случае элементы орбиты называются эклиптическими, во втором — экв ото р иал ь ным и. Элементы, характеризующие размеры и' форму Орбиты,— это параметр р н эксцентриситет е.
Последним, шестым элементом является т — момент прохозсдения через перицентр. Этот элемент определяет положение небесного тела на орбите. Элементы р, е, 1, й, сз, т называются кеплеровскими элемен- тами. Они определяют Орбиту независимо От ее типа. Различие ч. и. злдхчх двгх твл !з ьзз будет лишь в там, что для эллиптической орбиты е 1, для параболической е = 1 и для гиперболической е 1. Различные модификации элементов р, е, 1, Й, а, т„часто встречающиеся в литературе, подробно рассматриваются в Ц 2.01 — 2.04. $1.05. Формулы, связывающие постоянные интегрирования и элементы орбиты Шестой элемент т является постоянной интегрирования, возникающей при решении дифференциального уравнения нз байр и! ы (2.!.43) связывающего истинную аномалию о с временем 1, Формулы, связывающие семь постоянных интегрирования сь см с,; Хь Хв Хз; И и пять независимых элементов орбиты р, е, 1, й, ы имеют впд с~ — — и нр в(п ! в! п О, ) аз= "т' рр в!п1 совы, ) (2.!.40) сз= !БАРР сов(, Х, =!зе(соввсов11 — в!пыв!п11сов!), Хз= !ге(созыв!п11+ в!пзз сов Ясов!), (2.1.41) Хз= рея!и в в!и!, с = 1/рр, Х = ер, И = — ~ (1 — е').
(2.1.42) р Глава 2 ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ НЕВОЗМУЩЕННОГО КЕНЛЕРОВСКОГО ДВИЖЕНИЯ В главе 2 приводится общее решение задачи двух тел для различных типов движения (эллиптического, гиперболического, параболического и прямолинейного). Подробное освещение этих вопросов можно найти в[1) — [5).
$2.01. Эллиптическое движение Эллиптическое движение определяется следующими условиями: счь0, й<0, Уз< Л/ (2.2.01) к го р = а(1 — е'), у=а(! — е), (2.2.02) (2.2.03) и= ~/~,, Т= —. гп ь В случае движения относительно Солнца а называется периге- лийным расстоянием, в случае движения относительно Земли у называется перигейным расстоянием и т. д. где Ь вЂ” постоянная энергии, гь и Уь — значения модулей радиуса-вектора и скоростч в начальный момент времени. 1. Элементы орбиты. Эллиптическая орбита характеризуется следующей основной системой элементов: а — большая полуось, е — энсцентриситет, ! — наклон, Π— долгота восходящего узла, ы — угловое расстояние перицентра от уэлл, М,— средняя аномалия в эпоху (см. $1.04).
В литературе часто встречаются различные модификации элементов а, е, 1, Я, еь М,. Так, вместо элемента а можно рассматривать параметр орбить! р, элемент д, среднее движение п, период обращения Т, которые связаны с а формулами [$2.0! ч. и. зхдхчА дВух тел и называемый углом эксценгрисигета. Вместо в часто вводят элемент и: и=й+в, (2.2.04) называемый долготой перицентра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
