Справочное руководство по небесной механике и астродинамике. Под редакцией Г.Н. Дубошина (564382), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Вместо М, можно рассматривать момент прохождения через перицентр т и среднюю долготу е эпоху г, связанные с Мо ра- венствами Мо = п (!о — т), е = й + в+ Мо, (2.2.05) где !о — начальный момент времени (эпоха). 2. Вычисление прямоугольных координат. Пусть, как и раньше (см. 5 1.01), движение тела Р рассматривается в си- стеме координат Р,хуг. Тогда для вычисления х, у, г могут слу- жить следующие формулы: М = и (! — !о) + Мо Š— ев[пЕ=М, о /1+о Е !и — =.ч / 2ч'1 — е2' а (1 — е'! Г= 1+о сове ' и=о+в, х=г(сов исовй — в!пи в!пй сов 1), у = г (сов и в[п й + в!п и сов й сов 1), (2.2.11) г=гв!пив!пй (2.2.06) (2.2.07) (2.2.09) (2.2.10) Здесь М называется средней аномалией, Š— эксцентрической аномалией, о — истинной аномалией, и — аргументом широты, а уравнение (2.2.07) — уравнением Кеплера.
Формулы (2.2.06) — (2.2.1!) позволяют вычислить прямоугольные координаты х, у, г для любого момента времени 1, если известны элементы а, е, й й, в, Мо. Действительно, вычислив по первой формуле (2.2.03) и, мы для любого момента ! по формуле (2.2.06) находим М. Решив далее уравнение Кеплера (2,2.07), находим Е, после чего по формулам (2.2.08) — (2.2,!О) вычисляем последовательно о, г, и, а затем по формулам (2.2.1!) Х, у, 2.
Для решения уравнения Кеплера обычно используется метод последовательных приближений, При этом в качестве первого Вместо е иногда рассматривают элемент [р, определяемый формулой е=в!п[о 4 кз11 Гл, В ОснОВные ФОРмулы неВОзмущенного дВижения аз (2.2.12) В=а(соз Š— е), (2.2.13) х= Р„К+ Яд, д=Руг.+ Яэт[, Е=Р В+ Я,П. (2.2.14) Здесь $ и и — орбитальные координаты, а направляющие коси. нусы Р„, Ру, ..., Я, определяются через элементы И, гэ, ! сле- дующим образом: Р„= сов гэс05 Б1 — Б!п газ!п Б! соз(ю Р„= соз Б!п 11 + Б!и гэ соз 11 соз1, Р,= Б!па Б[П1, Ях = — Б!п гв соз 11 — соз гэ Б!и ~ соз гю Я„= — Б!Пгэз1П й+ созга соз 0соз1, (2.2.!6) Я,=созвз[п!. (2.2,15) Для контроля вычислений используют равенства Р+Р+Р,'=1, 1 Як+ Я;+ Я;=1, РД„+РД,+РД,=О.
При массовых вычислениях формулы (2.2.12) — (2,2,16) имеют преимущество по сравнению с формулами (2,2,08)— (2.2.11), ибо величины ЄЄ...,, Я, не зависят от времени и (2.2.17) приближения для Е принимается М или некоторая величина, для которой в зависимости от М и е построены специальные таблицы. Для значений эксцентриситета, близких к единице, приведенные выше формулы малопригодны. Модифнкация формул для этого случая дана в $ 1.03 ч. 1П. Достаточно полный обзор работ, посвященных способам решения уравнения Кеплера, содержит статья [6). Вспомогательные таблицы приводятся в [7[ — [11).
Кроме того, можно указать также таблицы для значений а — М в зависимости от М [12)— [15]. Для вычисления положений ИСЗ И. Д. Жонголовичем и В. М. Амелиным составлены таблицы, дающие Π— М с точностью до 0',01 [!6). Радиус-вектор г и прямоугольные координаты х, у, е можно вычислять и по другим формулам, не требующим знания истинной аномалии и. Эти формулы имеют вид г=а(1 — есоз Е), ч и. зхдлчх двхх тел 224 для каждого момента нужно вычислять лишь Е, сов Е и вйп Е, после чего легко находятся г, 3, т1, а затем и х, у, г. 3.
Скорость в эллиптическом движении. Пусть У вЂ” скорость, ӄ— радиальная скорость н У вЂ” трансверсальная скорость. Тогда '= ~-'. --.') У,= ~( — ев!по, lи Р У =л Ы (1+е сове). (2.2.18) (2.2. 19) (2.2.20) Дифференцируя по времени формулы (2.2.11), найдем х= ~ У„+(-в1писовй — совив!пйсов1) У„, т у'= — "У,+( — в1пивгпй+совисовйсов1) У„, ~ (2.2,21) г = — У, + сов и в(п1 ° У„. Г Эти формулы позволяют вычислить проекции скорости на оси координат. Для вычисления У имеем формулу У' = х'+ у' + г', (2.2.22) которую можно использовать для контроля. 5 2.02. Круговое движение Круговое движение имеет место, когда (2,2.23) где !х = 1(пвэ'+ п!), ге н Уз — начальные эначениЯ модУлей Радиуса-вектора и скорости.
1. Элементы орбиты. Поскольку е=О, положение перицентра не определено. Поэтому можно положить в =0 и круговая орбита будет характеризоваться следующими элементамк: ив радиус, 1 — наклон, й — долгота узла, М, — средняя аномалия в эпоху (см. 5 2.01).
Вместо Мв можно рассматривать среднюю долготу в эпоху е, определяемую формулой (2.2.05). Вместо а можно ввести среднее движение и или период обращения Т по формулам (2.2.03). 2. Вычисление прямоугольных координат. Все формулы кругового двкжения можно получить из формул эллиптического движения, если В них положить е = О, оу = О. В случае кругового движения имеем и=о=Е= М. Поэтому формулы (2.2.06) — (2.2.11) переходят в следующие: М=я(! — !о)+ Мо» (2.2,24) х = а(сов М сов аг — в1п М в1п!гсов !), у = а (сов М яп 4) + в1п М сов !) соз !), (2.2.25) г=аяпМВ!пй Вместо формул (2.2.13), (2.2.14) будем иметь я=аР,СОВ М+ а»г, в)НМ, у = аР„сов М + а! 1„В1п М, г = ар, сов М+ ОЯ,яп М„ (2.2.26) так как $=асовМ, у!=аз)пМ. (2.2.27) Здесь Р„, Р„, ..., 1г, определяются формулами (2.2.15) и (2.2.16). 3.
Скорость в круговом движении. Дифференцируя формулы (2.2.25) по времени, получим х=ап( — в1п Мсов(г — сов М яп !гсов!), у = ап( — япМ в1п (г+ сов М сов !и сов !), (2.2.28) 2=лисов М в!НЕ Скорость у найдется по формуле Уа хи+Уз ! 22 и и (2.2.29) 3 2.03. Гиперболическое движение Гиперболическое движение имеет место, когда Ь>0, уо~) ~, счьО, (2.2.30) та гДе й — постоаннаЯ энеРгии, го и Уо — начальные значениа модулей радиуса-вектора и скорости. !. Элементы орбиты. Гиперболическая орбита характеризуется следующими элементами. "а — действительная полуось, е — энсцентриситет, ! — наклон, 1г — долгота узла, оу — угловое расстояние перицентра От узла, т — момент прохождения через перицентр (см.
3 1.04). Иногда рассматривают модификации В Пав аев. Г. Н. Дубашиив $ ХОЗ! ГЛ. 2. ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ НЕВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ 22З Ч. и. ЗАДАЧА ДВУХ ТЕЛ Вместо элемента в часто рассматривают элемент и=11+в, называемый долготой перицентра. 2. Вычисление прямоугольных координат. Пусть движение тела Р рассматривается в относительной системе координат Р,хух. Тогда для вычисления прямоугольных координат х, у, г могут служить следующие формулы: /1 е ЗЬ Н вЂ” Н = и (1 — т), о /е+1 Н 1и-, =,~~7 — 1) —, 2У'е — !2 а (е' — 1) 'Г= 1+е сье е ' и=о+в, х=т(совисов11 — в(пив)пйсов(), у = г (сов и в)п Ае + в! пи сов ье сов 1), (2.2.37) а=гв)пиып1.
(2.2.32) (2.2.33) (2.2.34) (2.2.35) (2.2.36) Здесь о — истинная аномалия, и — аргумент широты. Для решения уравнения (2.2.33) пользуются методом после. довательных приближений. Приведенные формулы требуют вычисления истинной аномалии.
Можно, однако, воспользоваться формулами, по которым радиус-вектор и прямоугольные координаты вычисляются без предварительного определения о. Эти формулы имеют такой вид: г = а (е сЬ Н вЂ” 1), (2.2.38) (2.2.38) х= Р;ь+ Я.е), у= Рев+ Яет), г=Р в+ Я,е), (2,2.40) ' где й и и — орбитальные координаты, а направляющие косинусы Р„, Р„,..., Я, определяются формулами (2.2.15) и (2.2.16).
этих элементов. Так, вместо а вводят параметр орбиты р или элемент д по формулам р = а (е' — 1), с) = а (е — 1). (2.2.31) $2ЛН ГЛ. 2. ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ НЕВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖВНИЯ 227 3 а меч а ни е. Если в формулах эллиптического движения заменить а на — а и ~/ — 1 Е на О, то мы получим соответствующие формулы гиперболического движения. 3.
Скорость в гиперболическом движении. Для вычисления проекций скорости на координатные оси нужно воспользоваться следующими формулами: х= — "У,+( — в(писовИ вЂ” созив)пИсов1)У„, ~ у= — У,-(-( — в)пив1п И+ созисоз Исов1) У„, ) (2.2.41) 1 2= — У +совив1п1' У, где радиальная У, и трансверсальная У„составляющие скорости определяются уравнениями У,= ч —" ев(по, (2.2.42) р У„= ч М (1+ есозо). (2.2.43) и р Скорость У находится из формулы У' = хз + у'+ г'. При этом для контроля можно пользоваться интегралом энергии (2.2,44) $2.04.
Параболическое движение Параболическое движение имеет место, когда 6=0, Уа= ~, с чь О, е=1, (2.2.45) где Ь вЂ” постоянная энергии, гз и У — начальные значения модулей радиуса-вектора и скорости. 1. Элементы орбиты. Параболическая орбита характеризуется следующими пятью элементами: р — параметр орбиты, 1 — наклон, И вЂ” долгота узла, в — угловое расстояние пери- центра от узла, т — момент прохождения через перицентр (см. $1.04). Часто вместо параметра вводят элемент у 2 ' (2.2.46) В случае движения относительно Солнца а называется перигелийным расстоянием, а при движении относительно Земли— перигейным расстоянием.
8" и ыи Ч. П. ЗАДАЧА ДВУХ ТЕЛ 223 (2.2.47) 52+ 8 2 ь 1 зь 3 (2.2.48) О т=двес' —,. 2 ' (2.2.49) (2.2.50) и=о+в, х = т (сов и сов й — в1п и в|и й сов !), у = т (сов и ей и И + в! и и сов И сов 1), г=тв)пив1п1. (2.2.5!) Кубическое уравнение (2.2.48), называемое иногда уравне- нием Баркера, всегда имеет единственный действительный ко- рень. Вспомогательные таблицы можно найти в [7) — [11). Вместо формул (2.2.48) — (2.2.51) можно также воспользо- ваться следующими формулами: 3 ! т=о(1+ ов), 5=а(1 — ог), т1=2да, (2.2.52) (2.2.53) (2.2.54) =Р,5+А) ь, У = РУК+ Яет! = Р.5+ Я*У[ (2.2.55) где $ и  — орбитальные координаты а = 15 †. а ЄЄ,..., Я, е даются уравнениями (2.215) и (2.2.16). 3.
Скорость в параболическом движении. Для вычисления проекций скорости на координатные оси имеем следующие формулы: х = — У, + ( — в(п и сов И вЂ” сов и в!п И сов 1) У„ х т у= — "У,+( — в!пи в!пй+ совисовйсов1) У„, т г = — У, + сов и в)п( ° У„, (2.2.56) Вместо элемента гь иногда рассматривают долготу аерицентра и = й + в.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
