Справочное руководство по небесной механике и астродинамике. Под редакцией Г.Н. Дубошина (564382), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Вычисление этих элементов производится следующим образом. 1. Вычисляются направляю[цие косинусы Х», ры У» (й = 1, 2) геоцентрических радиусов-векторов р), р» по формулам (3.2.01), а также прямоугольные геоцентрические координаты Солнца Хм Уж 2» на моменты 1» (Й = 1, 2). 2. Вычисляются величины ГЛ. К ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРВИТ 262 Последние две формулы, выведенные из геометрических соображений, определяют так называемое геометрическое значение г„,м Угла !. Вместе с тем, посколькУ небесное тело движетсЯ по круговой орбите радиуса а равномерно с угловой скоростью и = йа 'ь, то за время 1, — 1~ гелиоцентрический радиус-вектор опишет угол л(!з — 1~).
Следовательно, а *ь, й 0',98560767, (3.2.76) Я„= яз (ха — х,), Яя = дт (у, — у,), (3.2.77) Яя = та (за з ) Р„=д, (х, +ха), Р«=Ч~ (У~+Уз), 2 Ч! (в! + Ея)р где ! 2а С05 Г 2а в!и! При этом надо иметь в виду, что угол и, выписанный в (3.!.!5), представляет собой в данном случае угловое расстояние между восходящим узлом орбиты и точкой, в которой небесное тело находится в момент !а, т.е. аргумент широты в этот момент. Этот угол обозначается через иа. 5. Вычисляем по формулам (3.2.45), (3.2.46) направляющие косинусы перпендикуляра к плоскости орбиты в эклиптической Последняя формула определяет так называемое динамическое значение 1и„Угла г, Соотношения (3.2.75) и (3.2.76) образуют систему двух уравнений относительно двух неизвестных а и !.
Ее нетрудно решить, например, путем варьирования значений а н последующего ин. терполирования. При каждом заданном а можно вычислить непосредственно динамическое значение !ия„согласно (3.2.76), затем по формулам (3.2.73) р, и ря и далее геометрическое значение 1, согласно (3.2.75). Искомое а должно быть таковым, чтп аггеям = ~яяя. 4. Ось 5$ орбитальной системы координат принимается направленной в ту точку круговой орбиты, в которой небесное тело, движущееся по этой орбите, должно находиться в момент !о = (!1+ !Е)/2.
Ось 5т! повернута по отношению к оси 5К, как обычно, на 90' в плоскости орбиты по направлению движения небесного тела. Векторные экваториальные элементы орбиты Р„,..., Я, (см. (3.1.15)) вычисляются при таком выборе орбитальной системы координат по формулам это ч. пь методы опгвдвлвния н тлтчшения огвит и вл1 системе координат Я„й„, Л,. После этого ных (3.2.47). $1п1$1п И = Й„, в!П1 сов И = — Я„, $1п 1$1п и, = Р, сов в — Ра $1п в, $1п 1 сов пр = Я~ сов в Яа $!п в из формул, аналогич- сов 1= )с„ (3.2,78) й 2.11.
Вычисление элементов гелиоцентрической орбиты по положению и скорости в начальный момент Пусть известны в начальный момент 1$ прямоугольные координаты (экваториальные) хм ув, ха и компоненты скорости хш ум хв небесного тела. Укажем, как вычисляются элементы невозмущенной орбиты, соответствующей этим значениям. 1. Вычисляется величина (3.2.80) где (3.2.81) Положительному значению выражения, стоящего в (3.2.80) под знаком модуля, Соответствует эллиптическая, отрицательному значению — гиперболическая и нулевому значению — параболическая орбиты.
2. В случае эллиптической орбиты вычисляются эксцентрнситет е и эксцентрическая аномалия Ед на момент 1$ из соотно- шений в го а вш Ев = —, е сов Ев — — 1 — —, (3,2.82) а ч7а а где в = хвхо+ уоуо+ кото можно вычислить 1, И и пв. Искомая долгота 1$ в момент 1$ равна сумме И+ иа и представляет собой так называемую долготу в орбите. Для контроля вычислений служит формула (3.2.48), и которой!следует заменить ы на иа.
На этом определение всех четырех элементов круговой орбиты а, 1, И, 1$ заканчивается. Дальнейшее сравнение получен-ной орбиты с наблюдениями сопровождается вычислением гелиоцентрических экваториальных прямоугольных координат на любой момент времени. Такие вычисления производятся по формулам (3.1.14), в которых следует положить й = о сов и(1 — 1), т)= ав1п п (1 — 1$). (3.2.79) ГЛ. 2. ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОРБИТ а 2.П! Затем с помощью уравнения Кеплера 340 = Ео — е 51п Е, (3.2.83) вычисляется средняя аномалия в эпоху го, В случае гиперболической орбиты формулы для вычисления эксцентриситета, аналога эксцентрической аномалии Но и момента т прохождения через пернгелий следующие: еаЬ Н,==, есЬНо= — +1, (3.284) «ч/а о азу НО НО йа ! (10 т) (3.2.88) о' 1, е 1 Р=йго «2 2= 10 Е«рч'(,по+ З 4~) (3 288) где В по — — — —, з = кохо+ Уоуо+ еФо «17Р ' (3.2.87) 3.
Из соотношений й ь/Р 51п 1' 51п 12' = Уаео — еоуо, А1/р 51п1'созй'=хА — уойо, Й 1/р соз 1'=хойо — уохо (3.2.88) находятся элементы Е', й', отнесенные к экватору, а также параметр р. В случае параболической орбиты это значение р должно совпадать с тем, которое находилось согласно (3.2.86).
В' случае эллиптической или гиперболической орбит следует для контроля проверить соотношения р=а(1 — е'), р=а(е' — 1), (3.2.89) используя найденные значения а, е. 4. Экваториальный элемент 10' находится по формулам 4Р о 1 ~ еосооес1' «(Р го) хосоой +е021БЯ 01 =но — Оо, (3.2. 90) причем числители и знаменатели выписанных формул имеют знаки синуса и косинуса углов оо, ио соответственно. В случае параболической орбиты достаточно вычислить параметр орбиты р и момент т прохождения через перигелий. Формулы для вычислений следующие: 272 Ч. 1П. МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И УЛУЧШЕНИЯ ОРБИТ И К11 5. Переход к эклиптическим элементам выполняется по следующим формулам: з!и ! Б1п И = з!п !'з!и 11', Б1п 1 соз 0 = — соз1' з!п е + з!и 1' соз е соз 0', соз1 = соз !' соз е + з! и 113 з!и е соз Й', з1п!з!п11 = з!пез!пИ', а!п1созо = з!Н1'созе — соз1'Б!песоз й', Е1 = Е1' — Ы. 13.2.91) в [1], !31. В заключение заметим, что все формулы, приведенные выше в главах ! и 2, рассчитаны прежде всего на применение современной вычислительной техники.
Формулы, где встречаются ряды, выписаны так, что очевидна структура общего члена и можно проводить вычисления с необходимой точностью. Для облегчения некоторых вычислений, например, при определении среднего углового движения п по заданной большой полуоси орбиты а и наоборот, при решении уравнения Кеплера и т.д. можно рекомендовать специальные таблицы, имеющиеся Глава 3 УЛУЧШЕНИЕ ПЕРВОНАЧАЛЬНОИ ОРБИТЫ Способы, изложенные в предыдущей главе, позволяют получить лишь предварительную орбиту. Ошибки элементов такой орбиты обусловлены недостаточной точностью наблюдений, потерей точности при вычислениях. Кроме того, поскольку фактическая орбита любого небесного тела не является невозмущенной (кеплеровой), элементы предварительной орбиты представляют собой, по существу, некоторые средние элементы кеплеровой орбиты, приближенно представляющей возмущенное движение, наблюдаемое на данном интервале времени.
Методы улучшения первоначальной орбиты небесного тела преследуют цель нли уточнения предварительных элементов кеплероаой орбиты в предположении, что движение остается невозмущенным, или нахождения как можно более точных значений оскулируюших элементов орбиты на тот нли иной момент временн в предположении, что имеет место возмущенное движение. Наряду с учебными пособиями ))), )2) для более подробного ознакомления со способами улучшения орбит можно рекомендовать )7) )8). $ 3.01.
Дифференциальное исправление орбнт. Постановка задачи В настоящее время для улучшения первоначальной орбиты наиболее эффективным является так называемый дифференциальный метод исправления элементов орбиты, рассчитанный на применение современной вычислительной техники и позволяющий использовать всю совокупность набл1одений данного небесного тела. Пусть имеются наблюденные значения геоцентрических экваториальных координат а<"', бьы () = ), ..., и) на моменты Пусть имеется таблица значений а<', У,"', геоцентрических расстояний р)"', а также прямоугольных экваториальных гелиоцентрических координат хьо, у)', г)", вычисленных на этн 274 Ч.
П!. МЕТОДЪ! ОПРЕДЕЛЕНИЯ И УЛУЧШЕНИЯ ОРБИТ »4 ЗЛ! же моменты по элементам предварительной орбиты, отнесенной к моменту га. Обозначим через Дао Дб», Дхь Дуь Дг» ошибки вычисленных координат, так что Да — а»в)»к(в] Дб — б»в) б»в) ! ! а ° »»» в = х — х»в) Ду = у у»в] ДХ = х — Х»в] С» ° »»» ' »»» ° (3.3.01) где ао б», р» — вычисленные значения (индекс «в» для сокращения записи опускаем). В свою Очередь зависимость Дх», Дуо Дг» от поправок к элементам предварительной Орбиты выражается с точностью до членов первого порядка формулами Дх»=~~~»~ ( — ) ДЕы ! Х (ддк)к1 Дх»=~' (д ) ДЕ ! (!'=1, 2, ..., п), (3.3.02) Гдк~ где Е], ..., Е« — элементы орбиты, а ( — к), ... — значения ~ дЕ« к» ' частных производных х, у, х по Ев на момент 1». Членами порядка выше первого в формулах (3.3.01), (3.3.02) Относительно Дх, Ду, Дх и ДЕ« пренебрегают.
В формулах (3,3.02) часто для где х,'., у», х', — значения х, у, х, точно соответствующие наблюденным а»в], б»"]. Предполагается, что ошибки Да», ..., Дг, малы и зависят только от погрешностей элементов предварительной орбиты на момент 1а Зависимость Да», Дб» от Дхь Ду», Дх, выражается с точностью до членов первого порядка формулами 1 . 1 соз б, ° Д»к, = — — з!па, ° Дх» + — соз а» ° Ду„ Р! Р» 1 1 Дб» = — — з(п б, соз а! Дх» — — з(п б,з(па» ° Ду»+ Р» Р» 1 + — соз б» ° Дх„ Р» ГЛ. 3, УЛУЧШЕНИЕ ПЕРБОНАЧАЛЬНОЯ ОРБИТЫ удобства вычислений в качестве Ен ..., ЕБ принимают некоторые функции элементов. Вычисление координат а<'~, б)к1, х)'1, у<'>, е)м может производиться по формулам невозмущенного движения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
