Справочное руководство по небесной механике и астродинамике. Под редакцией Г.Н. Дубошина (564382), страница 55
Текст из файла (страница 55)
2 2.0У! ГЛ. 2. УРАВНЕНИЯ ПОСТУПАТЕЛЬНО.ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ЗЕН н 2.06 ч. пс твоеия возмвщенного движения азо $2.06. Каноническая форма уравнений поступательно-вращательного движения системы тел Рассмотрим в качестве обобщенных координат абсолютные прямоугольные координаты $с, По Ьс центров масс бс и эйлеровы углы системы фо фс, бь Принимая во внимание, что кинетическая энергия системы тел в абсолютной системе координат выражается равенством сс-1 Т= — ~[тсЩ+ йвс+~вс)+ А,Р', + Всс!вс+ Ссг~], (4.2 24) с о (4.2.25) В этих переменных уравнения поступательно-вращательного движения системы сс тел Мсь' Мь..., М„, имеют такой вид: сСвс дН асс дпс дН ай дн см дхс дпс ан дчс и ачс дН дЦс дН афс ' сСьс дН сСС дйс (4.2.26) ~ЬФс дН ис аф', афс дН сСС дф, дфс ' ддс дН дС дд (!=Ос 1 с ''' и !)с введем соответствующие обобщенные импульсы 5с,, с!"„~; и ф',, ср'„0,' с помощью формул ф дТ , дТ .
° дТ $'= — в=та с!'= —.=-тс1ч ь'= —.= ь с д$ сс' с д с с,' "с йс йс ° дТ = — =А,р, в!и ф в!п О,+В,с!с сов фс в(пб,+С,г; сов бь дфс ат ф = —.=Ссго с аф ° дТ 0' = —. = А,р, сов фс — Всс!с вйпф, с дй (1=0, 1, ..., и — 1). $ 2,06] Гл, к уРАВнения поступАтельнО. ВРАщАтельнОГО дВижения за1 где гамильтониан н=т — и, причем кинетическая знергия Т выражается через импульсы формулой л-1 т= —,'~~ — 'ф +),'+~",)+ и=о + 1 ' (ф,'е(пф — ф, соеф~соз41.
+6 созф. В(пб,) + + "' ' ' (ф",созф, — ф',сазф,созб, — 6,'з(пф, В(пб,)'+— Система уравнений (4.2.26) имеет десять первых интегралов, которые можно получить нз (4.2.19) — (4.2.21) заменой скоростей импульсами по формулам 1 = — ~' 1 ! 1 ° . 1 р,.= " ' ' (ф',.В!пф, — ф',.В(пф,созб. +6',сазф,з(пб,), д, '(ф,'созф,.— ф',созф,созб,.— 6;.В(пф,з(пд,), ) 1 ° С ~! (4.2.27) (1=0, 1, ..., п — 1). Аналогично можно написать в канонической форме и дифференциальные уравнения поступательно-вращательного относительного движения системы а тел. Глава 3 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ ТЕЛА ДЛЯ РАЗЛ ИЧ Н ЫХ СИСТЕМ ОСКУЛИРУ]ОЩИХ ЭЛЕМЕНТОВ В главе 3 рассматриваются дифференциальные уравнения возмущенного движения одного тела, получающиеся методом вариации произвольных постоянных.
Приводятся различные формы уравнений для различных систем оскулирующих элемен- тов. Рассмотрены случаи потенциальных и непотенциальных возмущающих сил. Приведены канонические формы уравнений возмущенного движения. Приведенные формы уравнений дви- жения используются как в классической небесной механике, так и в астродинамике.
Различные способы выводов этих уравнений даются в 11] — 17]. й 3Л11. Метод Лагранжа вариации произвольных постоянных Пусть точка Р движется в пространстве под действием при- тяжения некоторого центрального тела Ро и добавочной возму- щающей силы, являющейся произвольной функцией времени, положения и скорости движущейся точки. Обозначим через х, у, а прямоугольные координаты точки Р в системе координат Рохуа с неизменными направлениями осей, через Хо, Уъ Хо— проекции ускорения, вызываемого действием силы притяжения точки Р центральным телом Ро, через Х, У, Х вЂ” проекции возму- щающего ускорения. Тогда дифференциальные уравнения движения точки в вы- бранной системе координат имеют вид Если Ро — материальная точка или шар со сферическим рас- пределением плотностей, то Хо= — ° Уо= о Хо= ~з их иу (4.3.02) г'= х'+ у'+ а*, р = 1 (оп+ поо), 4 В.ОЦ ГЛ, 3.
УРАВНЕНИЯ ВОЗМУ1ЦЕННОГО ДВИЖЕНИЯ ТЕЛА ззз где / — постоянная тяготения, гп — масса точки Р, гпс — масса. тела РО. Если положить Х = О, У = О, Х = О, то система (4.3.01) обращается в систему уравнений невозмущенного кеплеровского движения е3х их Веэ Яв — — — — — — — — (4.3.03) Е13 г3 3 Ер .3 В13 3 общее решение которой выражается равенствами х=га, — = т/ — 1ьаев(пэ+ — (1+есово)~, ее /13 Г . Ва ) В1 'Ч Е'В у = гб — = . в/ — ) ре 51п о + — (1 + е со5 6)), к=ту, — = т/ — ~уев(по+ — (1+есово)~, в1 'Чя (.
Е'В Р 1 + е ООО 6 а = сов и сов Я вЂ” вбп и 51п Я сов 1, р =сов ив(п 11+ нп исав 11 сов1, у = ебп и в! и 1, и = о + В3, яч ( ,а = .1/1, г (1 + е сое А)3 ' О (4.3.04) Общее решение (4.3,04) уравнений невозмущенного движения зависит от шести произвольных постоянных, например, Я, 1, О3, а (или р), е, т (или ме) для эллиптического движения (см. ч. 11, гл. 1, 2). Согласно методу Лагранжа решение уравнений (4.3.01) отыскивается в том же виде (4.3.04), что и решение невозмущенной системы, лишь с той разницей, что й, 1, О3, р, е, т рассматриваются в формулах (4.3.04) не как постоянные, а как функции времени, определяемые таким образом, чтобы удовлетворялись уравнения возмущенного движения (4.3.01) . Следовательно, формулы (4.3.04) можно рассматривать как формулы перехода от старых переменных х, у, и, х, у, г к новым переменным 13 (1), 1(1), О3 (1), р(1), е(1), т(1).
Если такую замену осуществить, то вместо дифференциальных уравнений возмущенного движения (4.3.01) будем иметь !З ЗЛ» Ч. !Р. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ новую систему дифференциальных уравнений ен Р» а! в! =Р и'в Зг (4.3,05) 4!В = Рз и где Р,=Р,(1, л'л, 4, оу, р, е, т) (! = 1, ..., 6), равносильную системе (4.3.01). Траектория возмущенного движения в каждый момент времени соприкасается с траекторией невозмущенного движения для этого же момента и представляет собой огибающую семейства траекторий невозмущенных движений. Траектории семейства невозмущенных движений называются оскулирующими орбитами, а их элементы — оскулирующими элементами.
Система дифференциальных уравнений (4.3.05) может быть названа системой уравнений для оскулирующих элементов. Возмущенное движение может рассматриваться как непрерывно изменяющееся кеплеровское движение, а возмущенная орбита — как непрерывно изменяющаяся оскулирующая орбита. 3 3.02. Уравнения Ньютона для кеплеровских оскулярующих элементов (общий случай) Назовем оскулирующей плоскостью плоскость, про. Лг ходящую через радиус-векРнс.
64. Проекннн вовмущвющего ускорение. ТОР У ТОЧКИ Р И ЕЕ ВЕКТОР Э вЂ” проекпнн на Раннус-нтктор треки Р, à — на скорпсти У Введем трансверсаль, %' — на бииормаль оскулирующе» орбиты. ную прямоугольную систему координат РБТРУ следующим образом (рнс. б4): ось РБ направим по радиусу-вектору у точки Р, ось РТ выберем в оскулирующей плоскости перпендикулярно к РБ и направим ее так, чтобы при совмещении РБ с Ррх ось РТ можно'было бы совместить с осью Р,у; ось РУР направим перпендикулярно к оскулирующей плоскости таким образом, чтобы выбранные осн составляли правую систему. Направляющие косинусы новых осей в системе координат Рохуг выражаются формулами (1): сов (5, х) = а = сов исоа 1« — в(п и в1п !е сов!, соз(Я, и) =р =сов ив(п(«+ вбп исоа йсов1, сов(5, г) =у=в(пив(п1, сов(Т, х) = а'= — з!п исоа И вЂ” сонин!п 1« сов!, сов(Т, у)=3'= — в)пив)п11+совисовйсов1, сов (Т, г) = у' = сов и в 1п 1, сов (ИГ, х) = а = в)п зев(п1, сов (Я7, и) = рм = — сов 1« в~п т, сов(а7, г) =у"=сов!.
(4.3.06) Обозначим проекции возмущающего ускорения на три новые координатные оси через 5, Т, нР соответственно. Тогда, очевидно, Я=аХ+рУ+ уЕ, Т = а'Х + р'У + у'Х, 1(Р = а"Х + р«У + уыХ (4.3.07) Х = аЯ + а'Т + а" М7, у=ля+(ут+ реуу, Х = уЯ+ у'Т + у"Ю. (4.3.08) Дифференциальные уравнения для оскулирующих элементов, которые могут быть названы уравнениями Ньютона «), имеют вид (1), (3) — = 2гТ нр ес с1е .
г тт- —, = в(п о ° 5 + ~соз н + (соз н+ е) — ~ Т, ен т — = — сов и ° 117, Ж р е'й à — = — в(п и совес1 ° йг, Ле р ны соло - Мне / тх— — Я+ — ~1 + — ) Т вЂ” — в!пис(а! ° В', ~И е е ~ рл р / ~ т сИ е У р 1. — — ~ — ~(еИ в)п в — сов н) 5+ — ИТ вЂ”,, т 3 р (4.3.09) ') М. Ф. Субботин не»млеет етн уравнения «уренненннмн Эйлера» (3).
й з.м! гл, а нрлнннния воэмнщкнного движения талл 333 В ВАЧ! ГЛ, Э, УРАВНЕНИЯ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ ТЕЛА звг Уравнения Ньютона имеют в этих элементах вид да 2еа'в!по -+ 2а'- —,- Т. — = в!и о ° 3 + (сов о + сов Е) Т, и г — сов и ° йг", Р г — в!писовес( Я7, сове вгао I гт г — — ° 5+ — ~1 + — ) ° Т+ — в!и и !и — ° !У, е е ~ рг р 2 — 2 — т/1 — ез.
Я + — в!и и !и — Ф + р 2 (4.3.13) + ~ совр'5+в!по(1+ — )'Т~ ° 3 3.04. Уравнения Лагранжа для кеплеровских оскулирующях элементов (общий случай) Пусть существует такая возмущающая (аертурбационная) функция )с(х, у, г, !), что проекции возмущающего ускорения Х, У, Х определяются формулами дй дй дй Х= —, У= — 3= —, дк' ду' дг' 2 ~/р дй и/й да 1 — е' дй р дй ре дт сов ! дА' е т/рр дзв 1 дрс 1/рр ип ! дп 1 дгс й/рр з!и ! д! сов ! дй 1/рр в!и ! двв (4.3,14) 2ПГр да+ 1 — е' дл 1/р др е П/рр де т/рр в!и ! д! р дл ре др' В этом случае проекции возмущающего ускорения 3, Т, !у В уравнениях Ньютона (4.309) могут быть выражены через частные производные функции гс по элементам, и мы получаем !1) Ч.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
