Справочное руководство по небесной механике и астродинамике. Под редакцией Г.Н. Дубошина (564382), страница 57
Текст из файла (страница 57)
а, у = ь ~сов (о + б,) в!и йь + — в1п(о + () ) сов 3 ~ г= в!п(о+р.) )/аь ь— аьь ь ь 2а,аь аь (' ао ,=:,/'1+, 1+1= н аь ~ (1 + е соь о)ь ' о (4.3.33) Связь между (х, у, г) и каноническими элементами Делоне имеет внд аь г Н х= ( + [сов(о+у)совй — в!п(о+у)в!пй — ], у= ![сов(о+а)в!ой+в!п(ц+д)совй — ], аь г Н г= 6 И (1 + е соь о) в!п(о+3) 1/г1ь оз (4.3,34) с' ( (.' 3 (1+ е соь в)ь о аь е= т/1 — —,, дь и наклона 1 (точнее, с точностью до 2 з!и — 'ж !и 1) будем иметь ч. пл теооия возмящянного движения (4 з.в )л (! + е соа е) + ~соз(о+в,— в,)созв + (( — ял)' + з(п(о + ве — в,) 4(п в, (и — ял)е (л (! + е соа о) — сов(о+в,— в,) з!иве+ +з(п(о+в,— в,)савве ял (л'], сл.,"'„л ~ ( л — ",)М,(~ — л,) — л(, ь ,~/ф(2-ф).
д+,=(! — ф) ~„+,'"„„, а (4.3.35) Связь между координатами х, у, я и каноническими злементами второй системы Пуанкаре имеет следующий вид: Х= (2л'. — (а~ + ЧЯ Еесоз(о+ в)+ 4)л (1 + е сое о) лД+ Че~ $2+Ч2 1 2Ь вЂ” ~$) + Чл) Л 4)л (! + е соа о) о/$~+ Че 1 2л. — (а(+ т)л) .ю )~ л/4л'. — 2(зе(+ т!',) — Я+ Ча), е= ~~' ~! — — (яе+Ч',)1 Соз 4л'- + Члч, з(ив = ли — Ъ' ~Д$( + Ч!)($2+ Че) 1/($1 + Ча()(42+ Че) л — и — =(~ — „',') ) „ а (4.3.36) Связь между х, у, я и каноническими элементами первой системы Пуанкаре имеет такой вид: Глава 4 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ ЗАДАЧИ и ТЕЛ ДЛЯ РАЗЛИЧНЫХ СИСТЕМ ОСКУЛИРУЮЩИХ ЭЛЕМЕНТОВ В этой главе приводится сводка уравнений, которые наиболее часто встречаются в теории движения больших планет Солнечной системы.
Некоторые практические рекомендации можно найти в главе 3, Способы применения этих уравнений в астрономических задачах подробно изложены в монографиях [2) — [7). $4.01. Уравнения Ньютона для кеплеровских оскулирующих элементов (общий случай) ель — = 2г„Ты аг ееь, - Г Гь — =в!по, ° 3, + [сове, +(сова, + еь) — ~ Ты е'! г — = — сови,- )ры Н е„ еп — =- — в!пи,совес1ь )(ты 41 р„ 1 (4.4.01) В главе 3 приведены уравнения Ньютона для оскулирующих кеплеровских элементов орбиты одного тела, движущегося под действием притягивающего центра и возмущающей силы. Если материальная точка Рч притягивает каждую из материальных точек Р„Рм ..., Р„~ в соответствии с законом всемирного тяготения и в этой механической модели действуют еще какие-либо возмущающие силы [например, силы взаимного притяжения тел Р; и Р; (1 Ф 1', 1, 1 = 1, 2,..., и — !), сопротивление среды и др.), то возмущенное движение тел Р„Рэ ..., Р„, можно описать дифференциальными уравнениями Ньютона [1]: 5 4.01 Ч.
НС ТЕОРИЯ ВОЭМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ ом» сове» вгоо Г г» в— = — — Яа+ — ~1+ — ~ Та — — в!пи»с!д!» РТ», ев е е 1, р» г' р Р» lра Г Р» -1 га — = — У вЂ” ~(е, М» В!и о» вЂ” соз оа) 5» + — М»Т»~ —, е'1 е» о' Р га Ра (4.4.01) . /Р, 1(Р» = ~/ 2Р» ра = ) (ово+ ов») (А=1, 2, ..., и — 1), е1 РВ ( сов О» ЛО» (1+ васо»о ) а о (4.4.02) Если система уравнений Ньютона проинтегрирована, то положение точек Р1, Рв, ..., Р„, в системе координат Р,хуа для любого момента времени определяется равенствами х» —— г» (сов иа сов Йа — В1п иа и!и Йа сов 1»), уа = га (сов и» в!и !1» + В!и и» сов аз» сов 1»), и» вЂ” — г» в!и иа в!и !», иа — — о»+ вы (4.4.03) 1+ в»созе» ' о» Р»а' ~ Оо» с .~/1в (1+ е» ово») (й = 1, 2, ..., и — 1).
Оскулирующими элементами орбиты точки Ра являются рм еа, !а, !1», соа, та! пРи этом начало основной системы кооРдинат Р,хуа совпадает с притягивающим центром Ро! Оа, Т», йга — суть проекции возмущающего ускорения для точки Ра на подвижные оси координатной системы, отнесенные к плоскости оскулирующей орбиты точки Ра. Величина й!» Определяется равенством ф 4.02. Уравнения Ньютона для вллиптических кеплеровскнх оскулирующях элементов Для движений эллиптического типа удобнее рассматривать оскулнрующие элементы орбиты Р»' аь еь 1ь йь пь еь В этих элементах уравнения Ньютона имеют вид 2е а„4|по 2ай 4 З + — Т, Р» Г» ие» вЂ” = з!п о» ° Яй+ (сов о»+ сов Е») Т», е!й 㻠— = — соз и» ° й7», 4и рй Гй — а!п и» соэес 4» ° !е'й, Р» 'Е'Ей - »ЬЭЕ»/ Г»Ъ - Г» Бй+ 1 ! + — ) Т»+ — 51пий 1а — Гл е е 1 р) р 2 Гй у.— — — — Г '» — 2 —,4~1 — е' 3 + — з!пи 1й — В'й + р 'е' й й р» 2 (4.4.04) е» + ~ — соэ о» ° Яй + з1п ой ~! + — ) Тй ~ 1+,ф ей 1.
~ Р») .1 (й=1, 2, ..., п — 1), в» = "»+ Мй р =ай(1 — е'), П» = »4» + 4»йр М» = в, — пй + ~ л» 411, (4.4.05) Ой О» ел» вЂ” + (1 — 1»)— еи еи Ей Здесь М໠— средняя аномалия точки Р» в эпоху, М» — возмущенная средняя аномалия точки Рй.
За меч ание. Может встретиться случай, когда движение одних тел принадлежит к эллиптическому типу, а движение других не принадлежит к этому типу. В таком случае возможно сочетание уравнений (4.4.01) и (4.4.04). К такого типа движениям относятся межпланетные полеты, а также движения в некоторых кратных звездных системах, $4,Щ ГЛ. 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ЗАДАЧИ л ТЕЛ 349 14 4.04 Ч. 1У, ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ 350 $4.0Э. Уравнения Лагранжа для кеплеровских оскулирующих элементов (общий случай) Если возмущающие силы потенциальны, т.
е. дц» ац» Х»= —, у»= —, дх» ' дк» ' дц» е» дг др 2 /р» ая» в 4!Е» 1 — е» дЯ» р» дц» вп е».~/р»р» д4» и е дт» вн» 1 дц» сов 4» » де дя !~И»р» в!а! дЯ 1 ац» Н»р» вьп 1» д4 .1/Й»р» в!и !» (4.4.06) 1 — ев дк» е .~/р р де 1/~, ан» сов !» дя» д4 .у~я»р» в!и 1 дГ 4/44 др„ дс„р ая» И И»е» де» (й = 1„ 2, ..., и — 1). Связь между оскулирующими элементами и относительными прямоугольными координатами точек Р„РИ ..., Р„, выражается формулами (4.4.03).
й 4.04. Уравнения Лагранжа для эллиптических кеплеровских оскулирующих элементов Лля исследования движений эллиптического типа при наличии возмущающих функций удобнее пользоваться следующими уравнениями Лагранжа: да» 2 ад» И ц»а» дв» ' де» е/1 — е» дц» (4 4.07) е„ /1 — е' ая и„' (1+ „„l1 е' а'» ц»а»е» дц» то вместо уравнений Ньютона (4.4.01) обычно используются уравнения Лагранжа: !!»ЕЭ! ГЛ.
» ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ЗАДАЧИ е твл ЗЗ! 1 д!!» 2 / 2,, ди л»ае ~! 1 е» э!Вэ» 1„ 'я е ~м» и») л„а е/1 е д1!» д1» ' ! л»а' »11 — е» Мл!» дл» 'я э ад» 1 — еэ, дЛ» + / (4А.07) ! 2 л„а»»! 1 — е» а1» 2 л„а»е» де» '» 1я ~ ал» дв» 2 дА! л»а» да» е» е/1 — е» а!! 2 л,а 11+»/~ — ед) '!е» $4.05. Уравнения возмущенного движения в канонических элементах Якоби В 3 3.06 приведены дифференциальные уравнения относитель.
ного возмущенного движения одного тела, записанные в канонических элементах Якоби. Аналогично можно написать канонические уравнения возмущенного движении тел Рн Рм..., Р„, относительно тела Рв, используя канонические элементы Якоби (см. э 3.06) а!», аэ», пэ», 5!», рэ», 52» тела Р» (й=1, 2,..., л — 1).
дополненными соотношениями (4,4,05), если необходимо найти другие характеристики оскулирующей орбиты. Заметим, что оскулирующие элементы, определяемые уравнениями (4.4.07), отнесены к системе координат Рвхуг. Как и в предыдущих параграфах, возмущающие функции Л» должны быть представлены в виде явных функций элементов аы еы 1», И», и», е». Если движение тела Рв в пространстве известно, то с помощью формул (4.4.03), дающих относительные прямоугольные координаты тел Рь Рм ..., Р„ь и с помощью формул преобразования координат можно найти положение всех Р» (Й=О, 1, ...
..., и — 1) тел системы в абсолютной системе координат. ч, !у, теОРия ВОзмущеннОГО движения (4. 4,08) ГДЕ ВОЗМУЩаЮЩаЯ ФУНКЦИЯ !з'" (ПРИ НаЛИЧИИ СИЛ ВЗЕИМНОГО НЫО- тоновского притяжения) выражается через прямоугольные якобиевы координаты формулой л — 1 л-з /1 !Ъ 1 злз,зл! (з'= ! ! Гзззпз» ~ — — —,~ + — 1 ~~~з — '.
(4.4.09) з»» Л' Г 2 Ь Т,з з М !лез Взаимные расстояния Ле» и Л,! выражаются формулами (4.1.!О) и зз зз зз Г» =Х» +У» +г ° (4.4.10) Связь между каноническими элементами Якоби и кеплеров. скими элементами относительного движения (начало координат основной кооРдинатной системы совпадает с точкой Ри) даетсн равенствами !з» (е» вЂ” !) 2!з !з» !зз» = ты / з аз» "з(!»»Р» Ра»» = »З»з а =л/р»Р» соз1», рзз = зз» » о» = ~~) пз! ! з (4.4.!1) лз»а )з~ = а» р» = 1пзелз»!з,.
(й = 1, 2... „и — 1). Для'движений эллиптического типа удобнее воспользоваться соотношениями !з» е — я» а㻠—— — —, рз» = !з + 2Н»а» ' а» .„=з7рДТ:-ф, З„=., и„ „-~/~", ДТ:З! л„и,=и„ и» =— Ч 4 (э=!, 2, ..., и — 1). (4.4.12) Эти уравнения имеют вид Ыаз» дУ' даз» дУ' и! дйз» ' и! дйз» ' дрз» дУ' дрз» дУ' и! даг» ' д! да,» ' (Й=!,2, ..., и— д з» аи' дйз» ' дбе» дЦ' Х! даз» 1), 4 4ЯВ! ГЛ, 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
