Справочное руководство по небесной механике и астродинамике. Под редакцией Г.Н. Дубошина (564382), страница 58
Текст из файла (страница 58)
ДИФФЕРЕНЦИЛЛЬНЫЕ УРЛВНЕНИЯ ЦЯИЖЕНИЯ ЗЛДЛЧИ о ТЕЛ 353 й 4.06. Уравнения возмущенного движения в канонических элементах Делоне Для описания относительного движения точек Рн Рз, ..., Р„, (см. 5 4.05) можно использовать также канонические элементы Делоне Ем 6», Н», 1м д», й» (й = 1, 2, ..., и — 1) (см. 5 3.07): Е =~/!4»а > О» лу7!4»а»~1 е») в й» и» 11»в Н» = ~/р»а (! — Ез) соз 1», Ь» = еввв», (4.4.!3) н» ~»= з Н»Ез 1» = л» (1 т») (й = 1, 2, ..., а — !). Введем гамильтониан «-1 в (4.4.14) где возмущающая функция (7' выражается равенством (4.4.09).
Тогда уравнения для элементов Делоне примут канонический вид (4.4.!5) (й= 1, 2„ Эти уравнения описывают относительные движения, поскольку кеплеровские оскулнрующие элементы отнесены к координатной: системе Рзхрг. $4.07. Две системы канонических элементов Пуанкаре Наряду с каноническими элементами Якоби и Делоне в задачах небесной механики (при малых эксцентриситетах и пахло.
нах) применяются канонические элементы Пуанкаре. !а Нов Рел. Г. Н. Дубошиив Ы» дг" НУ ду Ы1» две И дН» д дл» ' и = д», две д» дн дев» ' ду дн» , и — 1). Ч. ПС ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ !$4лт Первая система канонических элементов 47уанкаре: Ь»= Яа», р~ »= 4/Й»а»1,1 — ф ед) .=чк.о =Ж<»-"") Л» = л» (! — Т») + л», (4А.16) ыь» л»» р» 4»»» — »»»» р»ь» (й 1, 2, ..., л — 1). Вторая система канонических элементов Луанкаре; Ь» — —,4,(Р»а Л»=л»(! т»)+л» = ~/2р»» сове, 4!В» — — 1/2РП» з!пан„, ~а»=~/2р,,»соз»з„», ен»= 1~2р,,»в!паз,,„, р» л» = »4»ь» з (й= 1, 2, ..., л — 1), (4.4.17) Формулы (4.4.17) выражают элементы второй системы Пуанкаре через элементы первой системы. Связь между элементами второй системы Пуанкаре и кеплеровскими оскулирующими элементами относительного движения дается соотногпениямя Ь =,«/р»а», соз и, ь»» Л» = л» (! — Т») + н», сов 0 , (4.4.18) з!ил, т!Н»= 5! П»4» (А=1,2, ..., л — 1).
$4ли Гл. 4. диФФКРенциАльные »РАВнения дВижения ВАдАчи 4 тел 355 С помощью элементов (4.4.16) и (4.4.17) уравнения возмущенного движения точек Рь Р„..., Р„, можно написать в виде др4» дР дрл» дР дг даь» ' д4 двь» ' дм4» дР дФ4» дР. дг дрь» ' дг дрь» (й = 1, 2, ..., л — 1); И., д Н4 д»» ' ЛА» дР (4,4,1 9) д4 дс» Н.~ дР И~,» дР д~,,* дР дГ дх» ' д4 дпь» ' д4 дчь» ' а» дР ЛЧ, » дР дпь» дР ,И ж„д4 а;,, ' д4 д:-,, (й=1, 2, ..., и — 1), (4.4.20) $4.08. Уравнения возмущенного движения в переменных Лагранжа для случая малых эксцентриситетов Второе и пятое уравнения системы (4.4,06) имеют особенности при е, = 0 (з = 1, 2... и — 1), поэтому их использование в случае эксцентриситетов, близких к нулю, затруднительно.
Для устранения этих особенностей Лагранж предложил вместо оскулирующих элементов е„и, (з = 1, 2, ..., а — 1) ввести переменные й„в, по формулам л,=е,з(пи„ й,= е,соз и, (а=1, 2, ..., а — 1) (4.4.21) Введем теперь вместо систем эллиптических кеплеровских элементов а„ е„ 1„ И„ пь В, (з = 1, 2, ..., л — 1) новые системы оскулирующих элементов а„ й„ 1„ й„ й„ е.. В этих элементах уравнении возмущенного движения системы материаль- где гамильтониан Р выражается соотношением (4.4.14). Канонические системы уравнений (4.4.08), (4.4.16), (4,4.19), (4,4.20) имеют порядок бл — 6 и определяют (если воспользоваться формулами $ 3.09) положение точек Рь Р», ..., Р„1 в координатной системе Р,хуе.
Если движение точки Р» в абсолютной системе известно, то легко определяется абсолютное движение всей системы л материальных точек. ч. !и. теОРия ВОзмущеннОГО дВижения 356 ных точек Рь Рм, Р 1 относительно Рв имеют вид над 2 адгд а,ад дв, ' ал, л/! — ь'; — й', у а!1, Ф а,а, '(~ дй, Л, дддд, ~1 1+,д ('! Ье й~ дед,l 2 адГд + ада, ! — Ь,'- — й, дг д!1д аид па, 1 — Л вЂ” й в!и т ? 2 1я— 2 д 9 9 а,а, ! — Л; — й; 1 (4.4.22) а,а,чГ! — Л вЂ” й в1ед д1д е,(1 — Л,' — й' гдЛд (,.аь, й, ддг, 1 1+Ч/! — Ь'-йе ае ) 2 дЯ, а,, /! — Л,— й.
2 д 2 Т дд Зу 2 ддГд 2 дддд + п,а, да, „ ат ! Лт йг дгд ад д —,.— г т,/! — Ь,'- — й', Г аД, аг, + 1Ь,— '+ й,— '1. „Р1,д Ч'~- д д )( дд, дд,) В уравнениях (4.4.22) возмущающие функции )г, (з = 1, 2,... ..., п — 1) должны быть выражены в виде функций перемен- % 4.09. Уравнения в переменных Лагранжа для случая малых наклонов Устранить особенности 1, = 0 (з = 1, 2,..., а — 1) в третьем и четвертом уравнениях системы (4.4.0б) можно при помощи введения переменных Лагранжа Р„д, по формулам Р,=1я 1,ебп И„ д, = 1д 1, соз й, (4.4.23) (з = 1, 2, ..., а — 1).
В новых переменных,а„е„р 4„я„е. уравнения Возмущенного % 4Л01 ГЛ. 4. ДИФФЕРЕНИИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ЗАДАЧИ а ТЕЛ 357 движения системы материальных точек Рь Рм..., Р„, тельно Рз имеют вид ааа 2 дд!7а а1 аааа де, ' де, ~1 — е~ д!74 е,и~1 — е, 'д!7, др, (1 + р~~ + д~) ' д!7, з ~/~ еа дча 4 + ) р* А1+ ра+ цх) а, а, а; —;г — 7а1 (а„а.,а дд (! +р~~+ а1~) ' дйа ча(1+Ра+д',) (д!74 дйа, ! аз ~~ з ( + /1+ а+ Я) чдаа деа/' .+,~ 4!и 1+ ра+ а!а ф! — е~ д!74 а,а".е, де, ' нее 2 д!7а 1+рз+д~ 1 ,х а,а, да, „ ,4 ~; †††;Г , + (з = 1, 2, ..., и — 1).
относи- (4.4,24) Как и в случае (4.3.29), не следует путать переменные Лагранжа Р, (з = 1, 2,, и — 1) с фокальными параметрами конических сечений. В уравнениях (4.4.24) возмущающие функции !т, должны быть выра>ясны в виде функций переменных аа, е„ра, д„п„е„и !.
й 4.10. Уравнения возмущенного движения в переменных Лагранжа (общий случай) Для случая малых эксцентриситетов и малых наклонов (е, ж О, 4 ж О, з = 1, 2, ..., п — 1) удобнее рассматривать вместо оскулирующих элементов е„(„И„п, переменные Лагранжа Ь„а„р„д,. Тогда уравнения возмущенного движения системы материальных точек Рь Рм ..., Р -4 относительно Ра !з 1,10 ч. 1у, теОРия ВОзмущеннОГО движения в пеРеменных а„«„Р„д„«„ез имеют Вин лаз 2 ддкз д1 азаз дез д«, Е('! — «;.
— «г ( длз «, др азаг г,д«, ! ! ! «г «г де з «,(!+р';+4,') ! ( дЯ, др, + ' Р* +Чз др, (! + рг+ ЕД'* др, да, (!+р~~+д~) ' дзе, г /! «г «г(!+ ~!+ г+ г)~ ' д«, 'д«, дез/' (4 А. 25) (дз, 1з~/~ — А — з д ) «(!+Рг+Ч) ! Г др, дл~ Рз + 41з— а аг~/! — «г «г ! ! з/! 1 рз ! г~ до* даз/' де, 2 д«~ — '= — — — + д1 езаз даз !+р,+ч', 1 ~ д«зз д!г ') + г ~! «г «г! ! /! ! г ! г~ дрз 'ддзф (з=1,2, ..., л — 1). В уравнениях (4.4.25) необходимо выразить возмущающие функции !!', через аь «„р„д„«„е, и 1, В заключение укажем, что и в случае многих материальных точек связь между каноническими элементами Пуанкаре (4.4.16) и (4.4.17) и переменными Лагранжа «„й„, Рь а, выражается.
приближенными равенствами (4.3.32). Глава б СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ В задачах небесной механики и динамики космического полета весьма часто приходится пользоваться специальными функциями. К их числу относятся эллиптические функции Якоби, функции Бесселя, сферические функции, гипергеометричегкие функции и т. д.
Функции Бесселя нашли применение в разложениях координат невозмущенного кеплеровского движения (см. ч. 1!, гл. 3), в теории движения ИСЗ в сопротивляющейся среде (см. ч. Ч1, гл. 2). Сферические функции и, в частности, полиномы Лежандра используются в теории притяжения (см. ч. Ч1, гл. 1). Большие удобства дает применение гипергеометрической функции при разложении возмущающей функции в классических задачах небесной механики (см.
гл. 6). Через эллиптические функции Якоби выражается решение задачи о движении ИСЗ с учетом возмущений от фигуры Земли [19]. В этой главе содержатся основные сведения из теории специальных функций. Дополнительные сведения можно найти в учебных пособиях и монографиях [13] — [16]. Кроме того, можно рекомендовать таблицы и справочные руководства И. С. Градштейна и И. М. Рыжика [17], А. М. Журавского [18], Е.
Янке и Ф. Эмде [19]. $5.01. Эллиптические интегралы н эллиптические функция О и р е д е л е н и е. Эллиптическим интегралом 1-го рода на. зывается функция меч и=Р(Ф, й)= = ~ - . (4.5.01) о Лтогл й~ —,ЧΠ— и*1' е ч. пс тгогия возмтщгнного движения !4 Б.а! зао Ф в!и Ч Е((р, А)=1 )/1 — йзз(п') Ю.= 1 Ых.
(4.5.02) Определение. Эллиптическим интегралом 3-го рода называется функция П((р, и, й)— (! + и Ми' )() !/! — йв в(и' Х в(и Ч ((х и ~-.*'( в~г~П.—. в ~( (4.5.03) Величина и — параметр эллиптического интеграла 3-го рода. Полный эллиптический интеграл 1-го рода: К(в( и( —, Й) ( . (4.ввв( Полный эллиптический интеграл 2-го рода: и(в(=в( — ", в)=(в(à — и ( "Твв. ((во!! а Полный эллиптический интеграл 3-го рода: П вЂ”, и, )г1 — '! . (4.5.06) р., Я 2 ,г ! (! + и и(и' а) З/! — йв Ыи' Л а Величина (а называется модулем эллиптического интеграла, Величина (г'= ~l! — й' называется дополнительным модулем. Целесообразно рассматривать лишь 0 = й «= 1 и 0 ( й' ~ 1. Определение.
Эллиптическим интегралом 2-го рода называется функция гл. б. специлльные фтнкцни $ б.бп Функциональные соотношения для эллиптических инт Р( — ф, й) = — Р(ф, й), Е( — ф, й) = — Е(ф, й), Р(пиаф, й) =2пК(й) ~= Р(ф, й), Е(пп~ф, й) =2пЕ(й) ~ Е(ф, й), др(ф,й) 1 Е(ф,й) — й'Е(ф,й) йылфсобф ) егр алов: дй й' ( й дб( (й) Е (й) )( (й) (4.5.07) дй йй' й дЕ (ф, й) Е (ф, й) — Р (ф, й) й дЕ (й) и (й) — )((й) дй й Р(ф, й) = — „К(й) ф — в!пфсовф~ао+ — а, в(п ф+ 2 Г 2 + — а,в!п ф+ ...), 2 ° 4 4 3 3 2 Г (2л — 1) 01б бл а,= — К(й) — 1, а„=а„, — (ь „1 ~ й и л — л- ( 2лл1 Е(ф, й)= — „Е(й)ф — в!пфсовф(до+ 3 й,в!пбф+ (4.5.08) При й близком к 1 удобнее пользоваться разложен Р(ф, й) = — К(й')1п!5(ф2 + — )— 1яф / 2, 2'4 4 — — !со — — с, !д ф+ — с,!и ф — ...), собф ~ 3 3 3 2 Г (2л — 1)111б,ь, со= — К(й') — 1, с„=с„, — 1ь „, ) й' и л л- ( 2лл1 Е(р, й)= — 'Е(й') !п!5(ф+ — ")+ + — (,г( — — 2 !а ф+ —.(б!а ф — ..), 1яф/ 2424 боб ф 3 3 ° 3 (2л — 1)!! =1 3 5...
(2п — 1). иями (4.5.09) В приложениях часто используются следующие тригонометрические н степеннйе разложения: ч. 1у. теОРия Возмущенного движения !2 з.з! Зб2 Для полных эллиптических интегралов 1-го и 2-го рода имеются разложения — /! — й„', — з + л~~! — йз Введем Обозначения: Е„(х) = з/(! — х!) (1 — й!з') Н (х)— ! —.! ~(~-*!(~ — ! к ! / (и = О, 1, 2, ...; !п = 1, 2, ...). (4.5.10) Функции (.„(х) и Н (х) удовлетворяют рекуррентнз!л! соотно- шениям (2п — 1) йЧ.„— (2п — 2) (йз + 1) Л„, + (2п — 3) 1.„ а -з /(1 «з) (1 йзхз) (2пз — 2)(- а + (йз + 1) аз йзаз).Н вЂ” (2пз — 3) (1 — 2а(йз+ 1) + Зйзаз*!Н, + +(2пз 4) ((йз+!) Зйза] Н -з (2пз 5) йзН -з = — ' „, ~/ (1 — «з) (1 — й'хз) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
