Справочное руководство по небесной механике и астродинамике. Под редакцией Г.Н. Дубошина (564382), страница 61
Текст из файла (страница 61)
2 й 5.08. Полиномы Гегенбауара. Коэффициенты Лапласа О п р ед ел е н и е. Полиномами Гееенбауэра называются коэффициенты С,(!) разложения (1 — 2)а+ а') = 2", С„(1) а". (4.5.90) С помощью функций Ламе выражаются так называемые эллинсаидальные функции, являющиеся решениями уравнения Лапласа, преобразованного к эллипсондальным координатам. Более подробно о функциях Ламе см.
книги (16). зв! гл. а. спьцилльные Функции в а.оа) С помощью гипергеометрического ряда они представляются формулой Основные рекуррентные соотношения для полиномов Гегенбауэра: (п + 2) С„+а (Г) = 2 (А + и + 1) !С„+ ~ (Г) — (2Х + п) С„(а), пС„(!) = 2Х [)С,+ [(!) — С„о (1)~, (2А+ п) С„(г) =2Х[С~+~ (!) — !С~+[ (!)~, пСл(!) =(2),+п — 1) !Сл" ~ (Г) — 2Л(! — !') Сл-а(Г). (4.5.92) Тригонометрическое представление для С„(!)а л 'Г~ %~ Г(Л+л)Г!Л+л — Ь) С„(сов ф) = ~ ~ ! ),, сов (2)а — п) ф. а=о л о Кроме того, отметим, что полиномы Гегенбауэра ортогональны на отрезке [ — 1, !) с весом (! — !а) О и р е де л е н и е.
Коэффициенты Ь„разложепия <и л (1+го — 2гсовХ) ' = 2 ~~' Ьл'~совМ (4.5.93) (Ь~„") = Ь~, )) (л Р~= л2 ~ гак(л л+в, ь+! га), (л ( —, а1 /л л — ла л Ь7'= " ' '(! — ') 'р~ ' Ь+'=,) !1, л) (4.5.94) где ( —, Ь) — символ Аппеля (4.5.23). л2 а называются коэффициентами Лапласа. Они выражаются через гипергеометрический ряд с помощью формул Ч !Ц ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ !% Е.зз Первый из рядов (4.5,94) сходится (см.
$5.0!) при (г) ( 1, а второй — при ~г((2 ~*. Для больших значений й применение первого ряда (4.5.94) более выгодна, поскольку в этом случае его коэффициенты быстро стремятся к нулю. Если ! г ! > 2 то второй ряд (4.5.94) расходится, но для любого конечного й им можно пользоваться, так как он является асимптотическим. В развернутом виде ряды (4.5.94) имеют вид В частности, +(2) +( 2 4 ) + Основные рекуррентные соотношения для коэффициентов Лапласа: Ь(г+ц 2Й т, -!)Ьм) 2Й+ л — 2 (ы-н 2й — л+2 Х ! т Л 2а — л+2 л(! — г ) (Ьдлд+Ьл+ги) = — (2й+ и) ܄— (2й — и+2) Ьп э л ( ! — г~) (Ь ~+)е — Ь„+г' ) = (2й + и) Ь„'" +(2й — и + 2) Ь„ л'ьы! (4.5.95) Соотношения (4.5.95) позволяют определить все коэффициенты Лапласа, если известны коэффициенты Ь)и и Ь('!.
2л ( — + 1) (- + 2) ... ( — + а — 1) ~ — + й (РМ 2 2 2 й! г~(+ л 2 ~+ 2 а+1 -"(т+') (4+ )(4+ +')„ + 2! (а+ 1)(а+2) + 2л( — +1) ( — +2)... ( — +й — !) д ! — — ! 4И+!)И-!)(-"- ) 1 + 2! (а+1)(2+2) 1 + ''3' р 1 — г'' (4.5.95) гл. ь, специхльные Функции 4 5.05) Интегральные представления для коэффициентов Лапласа: (М л (л + 2) ...(л + 2)5 — 2) 2 л (2)5 — !)П л ЕХ х )( а-;. )т:5«оаа)' ' "а« о л)2 ,(М ! 5 ~ 5(«55 Х 5()( й) 'у ! 55 оапа )( о (4.5.97) йР) = — „К(а), о)) 4 й) ) = — (К (а) — Е (а)), где К(а) и Е(а) — полные эллиптические интегралы 1-го и 2-го рода. Наряду с последним рекуррентным соотношением (4.5.96) применяется другое соотношение, выведенное Ньюкомом.
Введем величины «-) с' =а ' йцв с« =а «а 5 (Ь) 55 с„= —, , (о) )( с„ л (а((П»)5 ' ах —, а+г (л (Ь,т) т+) ГЛ ~ ~2 ' ) 5 («+55+4«-О (4,5.98) хт(5.)а.-",.)аа-.5.) <-а;5), ~ которые называются коэффициентами Ньюкома и функцией Ньюкома соответственно. Очевидно, что с'А)=с'" О' с' 5)=с(Ь). «« ' «« ' О с«' = — (и+ 22+ 4г — !)))с«~' г)+Ос« '+о 2 (л=1, 3, 5, ...; Й,г,э=О, 1, 2, ...). В аналитических выкладках использование с„ иногда ока. (ь) зывается более удобным, чем использование коэффициентов Лапласа.
Для «логарифмических производных» функций Ньюкома имеется рекуррентное соотношение ч. 1ч, теОРия возмушвннотб движения ЗВ4 9 5.09. Числа Коши Пусть имеется выражение у=х-р(х+Д~(х — Я, ~ 1, если 1+у — р=О, 1 О, если сумма /+ о — р отрицательна или нечетна, Фр 1 4 ( 1)4Ж р ч! Р О Ф ( ) (в+р) ~ч р) > (4.5.99) )у-р,! з ь 4 = Л~-р+ ~ ь 4 + 1у-р- ь ь 4 и, в частности, р,ьт 1о р+ье,е+ Ф вЂ” р-ьц,е где р — произвольное целое число, 1, д — целые неотрицательные числа. Определение.
Числами Коши назь4ваются члены, не зависящие от х в разложении / но степеням х. Для них принято обозначение Ж р,,ч. Для вычисления чисел Коши имеются следующие формулы и рекуррентные соотношения: Рлава б РАЗЛОЖЕНИЕ ВОЗМУЩАЮЩЕИ ФУНКЦИИ В задаче трех и большего числа материальных точек при аналитическом приближенном ее решении приходится иметь дело с разложением возмущающей функции в кратные ряды Фурье. Этот необходимый этап в теории возмущенного движения связан с трудоемкими вычислениями.
Для многих практических задач можно использовать разложения, приводимые в этой главе. Наряду с разложениями, включенными в главу 6, в небесной механике применяются разложения с использованием канонических оскулирующих элементов. Их можно найти в ряде пособий, например, (б) — (У). й 6.01.
Разложение возмущающей функции в задаче о движении двух планет (случай круговых орбит) О и р е д е л ение. Планетной задачей и тел назовем задач у о движении и — 1 тзл (планет) Рь Рм ..., Р ~ с массами шп тм..., гл„~ соответственно относительно центрального тела Ра с массой тд под действием сил взаимного тяготения, причем будем считать, что тд к. тд (й = 1, 2,..., и — !). Таким образом, планетный вариант аадачи трех тел — это задача о движении двух планет Р~ и Рм с массами т~ и шз соответственно относительно центрального тела Рз с массой сна(т~ ь. шс, тз д. гно).
При решении задачи можно воспользоваться различными формами уравнений движения, приведенными в главе 1. Однако при интегрировании дифференциальных уравнений для оскулирующих элементов необходимо иметь явное выражение для возмущающей функции через оскулирующне элементы, В двухпланетной задаче в уравнениях движения планеты Р~ относительно центрального тела Р, в качестве возмущающей функции фигурирует функция 13 под ред, Г, н.
Дтбоаида 355 Ч. 17. ТЕОРИЯ ВОЗМУШЕННОГО ДВИЖЕНИЯ !$6.61 а в уравнениях движения планеты Р2 фигурирует возмущающая функция )с =)т — — ) (4.6.02) 1 1~ ! где Л = '1) (х! хг) + (1/! — (/2) + (г! — 22)2 или , = ~(г 1.7*1. *' ((= ( !) (хн ун г( — прямоугольные координаты планеты Р, в системе Ргхуг, хь у,, гг — координаты планеты Р2 в той же системе), Введем обозначения !2ь' х-! х!х! + у(у! + г(гг л~(=Л гг 1 х!х, + у(у! + г,г, ! ° (4.6.03) 2= З = — %.2. Величина Л ' называется главной частью возмущающей функции и.ее разложение представляет наибольшие затруднения.
Выражения )т), ! и )сг 2 называются дополнительной частью возмущающей функции. Из рис. 65 имеем )6=о(+6!!+!)!) )!2=ог+622+(гг) )1 Л1+т! Х2 Л2+т2 сов (гн г2) = сов Л, сов Лг+ 5)п Л! 5)п Лг сов 1 (4.6 04) сов(ги гг)=сов(Л, — Л) — 2о'5(пЛ! в)пЛ„ или где у а = 5(п —. 2' Взаимный наклон 1 и углы т! и тг определяются следующими формулами: у 5)ив 2 у 5(ив 2 (4.6.05) 1 С05— 2 ~~) ~ (* — у 5(п 2 С05 (( * — ~))(* -~~ 51П (х! — и!) — (т! — и!) С05 (т! Й!) (т! 02) =в)п в)п —, и! и! ° 22+ 0 2 2 2 ! = 5)П СОВ П! ~1 !2+ !1 2 2 1! — 1', = сов 2 сов —.
2 б б.01! гл. а, разложение возмущающая функции 387 Существуют три метода разложения возмущающей функции: аналитический, численный и нолуаналитический. . Рвс. бб. определение вспопогательнын величин. ! и, а,— долгота воснодашего узла орбиты планеты Рн тг, т,— наклоны орбит Пь Пз — перипечтры орбит, "ц,П, ыг, ЦгПг ы,— аргументы пгрнпентров; игр~ сь тргрг о,— истинные аномалии пйанет Рь Рг! Я,Р~ нь пгрг=нг — аргументы широты, "м — азаииныа наклон; TЙРг=м ') цгРг йз— истинные долготы йланет в орбите; НР~ Ль НР и;вставные долготы плвмгт а орбите, отсчитызаемме от точки Н; ягиг НП Оге Мг', аг+ Н~ тг' аг+ Нг тт.
Сначала мы приведем основные формулы для аналитического разложения возмущающей функции в планетной и лунной теориях. Введем обозначение Ло=~тт!+Рза — 2т,т соз(Л, — Л И1. Тогда очевидно, что 4е'угу, а!и Лг в!и Лз а или Ь =Ло ~! +~~' (! (4т,ттз!ПЛ,з(ПЛр) (,— ) (4.6.06) Ф=! где ( — —, й) — символ Аппеля [см.
(4.6.23)]. ! Ряд (4.6.06) сходится абсолютно, если т ~ (г! Пй бе~ге (4;6.07) !Зч ч. 1ч, таогия возм1 щенного движения [2 2.21 Для больших планет Солнечной системы условие (4.6.07) всегда выполняется. Разложение (4.6.06) не является окончательным, так как оно представляет величину Л ' в виде явной функции о2, а для окончательного разложения необходимо выразить 21, 22, о1, с2 также в виде явных функций оскулирующих элементов. Для дополнительной части возмущающих функций Я,! и К, 2 как явных функций о2 имеем следующие представления; 12; 1=~ — '2(соз(Л,— Л2) — азсоз(Л! — Л2)+азсоз(Л1+Л2)), Г! (4.6.08) Я, 2 = — ' (соз (Л,— Л2) — оэ сов (Л, — Л2)+аз соз (Л, +Л2)]. Рассмотрим простейший случай круговых орбит (е! — — е2 — О), в котором 21=а,=сопз1, 22= аз=сопз1, 1!=1„Аз=12, (4.6.09) где 11,!2 — средние долготы планет Р! и Р2 в орбите.
Для этого случая разложение (4,6,06) принимает вид Л '=Л!! + ~~ (4а!с221пЕ121пЕ2)2 — +,, (4.6.10) 2=1 где Е1 11 21 Е2 12 22 Пользуясь коэффициентами Ньюкома с!„'! 1см. (4.5.98)), бу. дем иметь е~-! ОО (а,а,) ' Ла =-а ~ со!сова(Е! — Е2)= (4.6.1 1) 2!-1 с„=а 2 5„, а= — (а, <а2) (2! а! 22 (а2 = 1, 3, 5, 7, ...), где с2„*! — коэффициенты Лапласа (см.
(4.5.93)). 9 6.9» Гл. 6. Разложение Возмущающеи Функции 339 Подставляя выражения (4.6.11) в (4.6.10), после преобразо. ваний получим Л ' = 2 ~А®" сов(УА9 — зЕ>)+ + О ~~' Ав'Сов[(3+1) 19 — (3 — 1)~))+ з 9 + о4 ~~> 4()сов[(з+2)Ц (3 2) ( Д+ в 9 з + об~~~ А(9'сов[(в+ 3) Лв — (3 — З)Е>)+ з-о з + оз ~~> А(') сов [(3 + 4) Ц вЂ” (з — 4) Е([ + ... (4.6.12) Коэффициенты А~~, ..., А(4) выражаются формулами а А(,") =с",) — озс)з "+ — о4(с(' 9>+ 2с(з)~— 9 в 4 Б ) — — ов(с(з з) + йс'в ')) + — ов (савв-4) -[-! без И+18ф))— а 4(» с14) ов Гс (в-»+ с(з+)))+ ов Гс[з-9)+Зс(з)+с(з+9)) 32 (9 — — о' (с('-'> + бс('-'> + бф+') + св+91 -1- 9 ) а А(9) С(з) Ов /ф-» + С(в+(>) + 43613(в + 34 ов(Зев--и+8сй-")+Зев('+9)) — ..., а А("= — с(в> — — о'(си '>+ с(в+'>)+ ...
35 13 з 32 9 9 3 и А(4), с[з) 9 з 123 (4.6.13) Формулы (4.6.13) позволяют выписать в явном виде разложение основной части возмущающей функции с точностью до оз включительно, Ч. Ш. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ и 6.02 390 Дополнительные части возмущающих функций Й1ь ~ н К, в выражаются конечными формулами ЯН1= —,' [(1 — о~)сов(7., — 7.,)+ овсов(Л, + 1.в)], (4.6.14) !св, в = — ' [(1 — о~) сов (7., — Лх) + овсов (7., + Л,)].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
