Справочное руководство по небесной механике и астродинамике. Под редакцией Г.Н. Дубошина (564382), страница 60
Текст из файла (страница 60)
нием Р„(сов О сов О, + в!п О в!НО, сов(!р — ф!)) = Рл(сов 8) Рл(сов 8,) + л + 2 ~ л т, Рл„(сов 8) Рлт(сов 8,) сов ит (!р — !р,). (4.5.50) т-! Равенство (4.5.50) представляет собой теорему сложения для иолиномое Лежандра. Рекуррентные соотношения, интегральные представления и асимптотические разложения для присоединенных функций Лежандра можно найти в [13[, [15), $ в.05] ГЛ. Б. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ 373 0 5.05. Сферические функции Пусть задано уравнение Лапласа д-]7 дыт д 77 — + — + — =О. дхг дуг дхг (4.5.51) Оп р еде лен не.
Функции У„(9, ф) называются сферическими функциями Лапласа, или сферическими функциями л-го порядка. Функция У„(8, ф) является решением уравнения в частных производных дгу сьв 3 ду дгу Сферическая функция л-га порядка У„(8, ф) выражается формулой У„(0, гр)=аьР„(сов 0)+ ~ (а„совльф+Ь в!Птф)Р„„(совй), ы=г (4.5.54) где аь, аг, ..., а„, Ьг, ..., ܄— постоянные козффициенты. Определение. Функции У ь = Р (сов 9) называются зональными сферическими функциями, или зональными гармониками.
Функции У„„(0, ф) Р„„(сов 9) сав лф и У„'„(8, ф) = = Р„„(сов 8) в!и лф называются секториальными сферическими функциями, или сектариальными гармониками, а функции У„„(8, гр)=Р„(сов0)совтф, У„" (8, ф)=Р„(совй)в!Птф (О < т < и) называются тессеральными гармониками. Зональные гармоники обращаются в нуль на множестве параллелей, разделяющих единичную сферу на зоны: секториальные гармоники обращаются в нуль на множестве меридианов, разделяющих сферу на л секторов, а тессеральные гармоники равны нулю и на множестве параллелей и на множестве меридианов, О и р ед ел е н и е.
Сферическими многачленами Р„(х, у, г) называются однородные многочлены переменных х, Ь, г степени л, явля]ощиеся решениямн уравнения Лапласа (4.5.51). Уравнение (4.5.51) имеет 2п+ 1 линейно независимых решения Р„(х, у, г). В сферических координатах г, 8, (х = г в!и 0 сов ф, у = г в]п 8 в!и ф, г = гсов 8) сферические многочлены имеют вид Р„(г, 8, гр) = г"У„(8, гр), О(8(я, О (гр(2п. (4.5.52) Ч.
)У. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ !о Е.оз Свойства ортогональности сферических функций на единичной сфере выражаются равенствами паяй, п=й, п=й, и чай, и = я-, (4.5.55) $ $ У„(О,ф)У2,(0, р)е!ООйОйф=О, о о $ ~ 'т'л (0,)р))гоф(0, )р)В!ООйбй)р= " <(„~~ йлоб о о ~ У„'„(О, р) У;, (О, ф) з)п О йО йф =,— „'", (", +,", о о л 2л $ $ У„(0, ф) У, (О, ф) з!и 0 йО Ьф = о о О, (4.5.55) пни р4 л , ", [)Ч 4- ~ ! *.„4-4 ) )„"+",», = р. 4Л =1 Теорема. Всякая непрерывная и дважды дифференцируемая с непрерывными производными функция !'(О, )р), определенная на единичной сфере, разложима в абсолютно и равномерно сходящийся ряд по сферическим функциям. Другими словами, 1 (04 ф) = Х ~ А~орл (соа О) + л=О1 л -)- Ь )А, ф -)- В, Л ~ф) Р.„) ф)», 14.)А)) л) 1 л 2л 1 У„о(0)Уоо(0) В!ПейОй,= о о л 2л ( 4.„)ф, ф)ф„)ф, ф)ф 44444=[ о о л ол ~ У„'„(О, )р)Уоо(0, )р) и!ООйО бр= о о где Ь„„— символ Кронекера (14), О, 4л 2л+! ' О, 2л 2л+1' О, 2п (2л)! гл.
в. спешгхльные Функции 375 где Алз = 4+ ~ ~ 1 (О ф) Рл(сов 8) в!и ОйО йр, -л О я л ~ 1(0, ~р) Р„(сов 8) сов япрв!пОйО йр, -л О $1(8, ~р)Р„„(совО) в!пяирв|пОйОйр. -и О 2«+ 1 (л — в)1 А 2« (л + в)1 2«+ 1 (л — в)1 '(.+ )1 (4.5.58) 8 5.06. Цилиндрические функции. Функции Бесселя Оп р е дел е н не. Функцией Бесселя 1х(г) порядка 1. называется функция ( 1)л г л(г) =Х г(«+1)г(к+«+ Б (2) (4.5.59) 1 При Йе Х > — — справедлива соотношение 2 1х(г) = 1 1 ~ еы с«" в!пхх О йО. (4 5.6!) (-')" г(х+ — ) г( — ) Если ), = и — натуральное число, то функция Бесселя 1„(г) является коэффициентом разложения Е2 ч 41 Х 1л(г)1л (4.5.62) 'Г Функция е ' ~ '7 называется лроизводяи(ей функцией для функций Бессели.
1„(г) является аналитической функцией г при всех комплексных значениях г (кроме, быть может, г = О) и аналитической функцией ). для всех 2.. Функция Бесселя 1„(г) называется также цилиндрической функцией 1-го рода. Если Х вЂ” натуральное число, та вместо (4.5.59) будем иметь 1х(г) =~~~~ + ( — ), )г) < са. (4.5,60) и 0 гл.
в. специальные втнкцни С вой ство о р т о г о н а л ь н о с т и; если вещественное число Х = — 1, то $ г1ь (И,г) 1„(йвг) йг = О. о (4.5.71) ~ г1р.(И и) 1р,(й~г) йг=О, е (4.5.72) Пусть Вь(г) — общее решение уравнения Бесселя (4.5.69). Тогда имеют место рекуррентные соотношения — 1гЧР'ь(г)) = гЧР'ь- (г), — „(г 'йть(г)) = — г Ч(та+ (г), %'ь, (г) + %'х+, (г) = — %'ь (г), %'ь, (г) — %'ь+~ (г) = 2 М Ыать (г) (4.5.73) В частности, (»' (г) = ~вт'( ) ве .Теоремы сложения и умножения для функций Бесселя: %'ь(~/Я'+ т' — 2Тстсов~р) = Ф'ь(11) 1ь(т) + 2 ~ Ж„(11) 1„(т) совнф, в частности, О 1а('ай'+ т' — 2Юсов~р)=1оЯ)1о(т) + 2 2' 1„(11) 1„(т) сощур.
ь=! (4.5.74) При !г~() 8) имеем О Ф'ь(а+1) = Я %'„„(1)1„(г), %'„(г — 1) = ~: йг„„(Г)1„(г), е'ь'"'в= ~1„~ — 1 1 и + — )1"1 (йт) Р„(сов 0), — 'Ч ь. 2-~ т) .+ и Э 2 Для вещественных Х ) — 1 функция Бесселя 1ь(г) имеет бесчисленное множество вещественных корней. Если г = йь г = йд — два различных положительных корня уравнения 1„(г1) = О, то получаем второе свойство ортоеональности функций Бесселя ы 5.0з ч. >ч. теопня возмтщянного двнжяння 27В Наиболее употребляемые в приложениях асимптотические пред- ставления для функций Бесселя: з1 12 / Лп пх 1 — 1 1х(г)= ~~ — совр — — — — )+О~а з) (4.5.75) пг Л 2 43 или 1л(г) =- ~ — [соз (г — —" — — ) + О (г-')1.
(4.5.75) В теории движения ИСЗ с учетом возмущений от сопротивления атмосферы используются функции Бесселя от мнимого аргумента (или модифицированной функции Бесселя). Они могут быть определены с помощью формулы ! гг~х+з 1~(г) =Х Г(~+ !)Г(Л+ +!) (,2) [г[< ~ [аг2г[<к -о (4.5.77) н> Функция 1„(г) связана с функциями Бесселя от аргумента ге з: >>х> г л~ ~ 1х(г) = е ' 1Л Ье ' ). (4.5.78) Функции Бесселя от мнимого аргумента удовлетворяют дифференциальному уравнению В>в> ! Ев> г Л> х (4.5.79) Для них справедливы следующие рекуррентные соотношения: 1хы (г) г 1>,(г) 2Л (4.5.80) 1х > (г) + 1л+ > (г) = 21л (г), (4.5.81) 1 х(г) 1Л(г), Л=О, ~1, ~2, ..., (4.582) —, [г>1, (г)) = гх1, > (г).
а' (4.5.83) Интегральное представление для функции Бесселя от мнимого аргумента имеет вид > 1л(г) =Ы $ (1 — Р)~ ис!т!гд1. (4.5.84) п1пт(л+ 2) Можно также пользоваться асимптотическим представлением этих функций -г- х 1л(г) ~ — Ле ~ з) + е'1[1+ О (г ~)[ (4 5 85) Ч/2пг гл. а специхльныа Функции зтэ Функции Бесселя, порядок которых равен половине нечетного числа, выражаются через элементарные функции. В частности, / 2 б1п г /, (г) = М/ — —, и Ч/г / з(г) = ~~ — —, /2 боб 2 ч и ч/л /2 / б1пг сов г~ /-ч (г) = и ~/2 г '~/г Кроме функций Бесселя к цилиндрическим функциям относят функции Неймана (или функции Бесселя 2-го рода) и функции Ганкеля. Функцией Неймана порядка Х (Х ча О) называется функция л/„(~) = —, [/„(г) соз ),и — / (г)[, 1 а функциями Ганкеля 1-ео и 2-го рода называются соответ- ственно комбинации Нб (г) =/б(г)+ Ей/б(г), Н7 (г) = /б (г) — Е)Ух (г).
Описание других свойств цилиндрических функций вообще и функций Бесселя, в частности, можно найти в [13) — [16[. й 5.07. Функции Ламе О п р е дел е н не. Уравнением Ламе в форме Вейербитрасса называебся уравнение — —, + [ — а (и + 1) 1о (г) + В[ Л = О, (4.5.86) 1/(б (г) — е„.(/)о (г) — е„б/Д (г) — еб. Итак, для заданного и существует 2а+ 1 решение уравнения Ламе указанного вида, которые называются функб(иями Ламе ц-й степени 1-ео разряда. где 1б(г) — эллиптическая функция Вейерштрасса, л — целое неотрицательное число,  — некоторая постоянная.
Существует 2л + 1 значение постоянной В, для которых решение уравнения Ламе имеет вид либо многочлена относительно (о(г), либо произведения такого многочлена на множители вида Ч. 1Ч. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ !5 5.03 зво Если е1, е2, ео (см. $50!) вещественны (е, е2) ео), то о при чегном л имеется — + 1 вещественных и различных значе- 2 ннй В, для которых уравнение (4.5.86) имеет решение вида 2 2 Л(г) = Х Ьо()о(г) — е,)' 2=2 (4.5.87) Для нечетного л имеется (н+ !)/2 вещественных и различных значений В, для которых решение уравнения Ламе имеет иид 2 л(,)= Е Ьо(р() — е,)2 ". (4.5.88) Коэффициенты Ь2 выражаются через В с помощью равенства ( — 1)' В2 Ьо Х (2 )!!(Рк — !) (ок — 3) ° ° ° (оо — 22+!) (Ь~(н). (4.5.89) Для того чтобы уравнение Ламе (4.5.86) имело решения в конечном виде (4.5.87) и (4.5.88) относительна 12 (г), необходимо определять постоянную В из уравнений: для четного и из условия Ь =О, — +1 для нечетного и из условия Ьо+1 = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
