Справочное руководство по небесной механике и астродинамике. Под редакцией Г.Н. Дубошина (564382), страница 69
Текст из файла (страница 69)
Теория Хилла — Брауна с учетом внесенных в нее поправок (см. (49), (50)) наиболее полно учитывает в пределах точности, принятой при вычислениях, гравитационные эффекты в движении Луны, В этой главе мы изложим результаты теории Делоне и теории Хилла — Брауна.
Ч. 1Ч. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ [4 10.01 444 $10.01. Уравнения основной проблемы в теории движения Луны Основной проблемой в теории движения Луны называется задача о движении Луны под действием притяжения Земли и Солнца при условии, что все три тела рассматриваются как материальные точки, а Земля (или, точнее говоря, центр масс системы Земля — Луна) движется относительно Солнца по эллиптической орбите. Поскольку центральным телом в этой задаче Рис. 60. Система Земли-Луна-Солнце. С-центр масс Зенлн и Луны; О-центр Земли; Š— Луна; З вЂ” Солнце.
является Земля, то принимают, что Солнце описывает вокруг центра масс Земли и Луны эллиптическую орбиту Пусть ОХУХ вЂ” неподвижная прямоугольная геоцентрическая система координат, причем плоскость ХУ совпадает с плоскостью эклиптики, ось ОХ направлена к точке весеннего равноденствия, ось ОХ вЂ” к северному полюсу эклиптики. Обозначим через тг и тз массы Земли и Солнца соответственно.
Если пренебречь массой Луны, то ее движение в рамках основной проблемы описывается уравнениями дгХ з Х дц дгл У дгт = — йзт — + —, — = — й~тг — + —, дуг Г Гз дХ г дуг Гз дг' (4.10.01) Ггд и дгт — = — йат — + —. „Гг — Г,з ди' где возмущающая функция записывается в виде (4.10.02) причем Хв, Уж Хз =' 0 в координаты Солнца в выбранной системе координат, г = ~/Хи + Уз + Яз†расстояние от Земли до лт, газа-т1 — р з а с а,а= (Х вЂ” Хз)'+ (У вЂ” Уз + ХР— расстояние от Луны до Солнца. в ~о.а1 гл.
и. твогия движения лгны 445 Если масса Луны учитывается, то при составлении уравнений движения Луны в рамках основной проблемы используют систему координат Якоби (см. в 1.04). Координаты Луны Х, У, Х отнесены к системе ОХУХ, рассмотренной выше. Координаты Солнца Х', У', Г отнесены к си. стеме СХ'У'Г, начало которой совпадает с центром масс С Земли и Луны и оси которой параллельны осям системы ОХУХ (рис. 66). Уравнения движения Луны записываются в виде — „, =-й ~тг+тд — „+ —,„, Х дк + —. дя ду ' дк + ° дг — 2 У вЂ”,= — йх(лтг+глг) —,, (4.10.03) ~Ни и — „= — й' (глг + лтс) ~ где ать — масса Луны, Л вЂ” возмущающая функция, определяе- мая формулой (4.10.04) причем [й~ на рис.
66 совпадает с гв). Если а' — большая полуось орбиты Солнца относительно центра масс С Земли и Луны н а'— среднее суточное движение Солнца, то й (гнг + лгс. + гнз) = н о (4.10.06) й 10.02. Разложение возмущающей функции в основной проблеме теории движения Луны Возмущающую функцию 1т, используемую в уравнениях (4.!0.01) и определяемую формулой (4.10.02), можно записать в виде )1= — з~~) ( — ) Р,(сова), з 0 — 2 3 где Р,(соз о) — полиномы Лежандра (см.
формулы (4.5.34)1 а— (4.10.07) '=( '-...,')'+('-.,7.,)'+('-.„.,) 1 гз — (Х'+ + Х) + (У'+ + У) + (Х'+ +~ Х) (4.10.06) ч. пч твовия возмущенного движения 1З юдг 446 угол между геоцентрическнми направлениями 05, ОА на Солнце и Луну соответственно (см. рис. 66). Так как согласно (4.10.06) гг г й'тз = (4.10.08) + юг+ ига и (те+ ть)/тз ж 1/330000, то обычно заменяют йзтз в (4.!0.07) гг гз на и'а'. Функцию Я можно разложить в ряд по элементам орбит Луны и Солнца. В качестве таких элементов орбиты Луны используются эксцентриситет е, долгота перигея л, долгота восходящего узла И, средняя долгота в орбите Л, наклон к эклиптике ~ (точнее говоря, в1п1 нли з!п(1/2)). В качестве элементов орбиты Солнца берутся эксцентриситет е'„долгота перигея л', средняя долгота в орбите Л'.
Разложение функции й с точностью до членов порядка ег, е , уг = з!пг †, †, записывается в виде /т = п ае ~ — + — ег + — е — — у + з з, з 8 8 2 гз 15 !з,г 3 + ~ — — — ег — — е' — — уг) сов(2Л вЂ” 2Л') + Л4 8 8 2 ГЗ 1 9 + е~ — соз(ЗЛ вЂ” 2Л' — л) — — сов(Л вЂ” л) — — сов(Л вЂ” 2Л'+ л))+ 14 2 4 + е' ( — сов (2Л вЂ” ЗЛ'+ л ) + — соз (Л' — л') — соз (2Л вЂ” Л'-л')~ -1- 18 4 8 + ез ( — сов (2Л' — 2л) + — соз (4Л вЂ” 2Л' — 2л) — — сов (2Л вЂ” 2л)~ ~- "8 4 8 + ее'! — сов (Л вЂ” Л' + л — л') — — сов (Л вЂ” Л' — л + л')— [8 4 — — соз (Л+ Л вЂ” л — л ) + — соз (ЗЛ вЂ” ЗЛ вЂ” л ! л') 3 г 21 г 4 8 — — сов (ЗЛ вЂ” Л' — л — л') — — соз (Л вЂ” ЗЛ'+ л + л')~ -1- 8 8 + е' ~ — сов(2Л' — 2л') + — сов (2Л вЂ” 4Л'+ 2л')) + + уг! — соз (2Л вЂ” 211) + — соз (2Л' — 211)) + + — г ~ — соз (Л вЂ” Л') + — сов (ЗЛ вЂ” ЗЛ')1 ~, (4.10.09) Гл.
!О, теОРия движения луны 447 4 10,031 Наиболее полное разложение возмущающей функции с точностью до членов шестого порядка относительно е, а', у и третьего относительно а(а', содержащее 324 члена, имеется в (5Ц. Разложение по полиномам Лежандра возмущающей функции, используемой в уравнениях (4,10.03), записывается с точностью до членов пятого порядка в виде )т=,з (Н Рх(сова')+ "+ Н Р,(сова')+ 3 ч мт — мгя4ь+ '% ~ г 44 )з 1/) 4 (4.10.10) где а' — угол между направлениями СЯ и СЬ (см.
оис. 66). При решении основной проблемы функцию 44 заменяют функцией )4, а йзтз — величиной и' а' и используют разложение вида (4.10.09). После. нахождения окончательных формул для возмущений в них вносят поправки, обусловленные такой заменой. й 10.03. Решение Делоне основной проблемы в теории движения Луны Исследования Делоне содержатся полностью в (БЦ. Изложение математических основ метода, применявшегося Делоне, имеется, например, в (У), (4Ц, [42). Делоне рассматривает в качестве исходных канонические уравнения движения вида (4.3.22) относительно переменных Л, б, Н, 1, я, й.
Эти переменные связаны с оскулирующими элементами орбиты Луны вокруг Земли: большой полуосью а, эксцентриситетом е, наклоном 4, долготой перигея и, долготой восходящего узла ь), средней долготой в орбите Х по формулам (4.3.2!), так что Х=1+д+й, я =у+ Ь, 14 = Ь, о4,; !1 н (4ЛОЛЦ 42 тле 14=й'(тт+ ть). Выше мы кратко указали (см. 5 8,04) на принцип метода Делоне. В соответствии с этим принципом Делоне выполнил 49? последовательных канонических замен переменных ((... и)- ((."', ..., 14Н4) (1.", ..., йР)- ..., Ч.
!Ы, ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ [0 [0.0 [ 450 2 1 0 7 0 ! 0 2 5 (2у 2уе 4у +з у + 4уе 4 уе')Х Х в[п (к + 1) + (2уе — — уе') в|в(д+ 21)— 5 — 2уе в!и д+ 4 уезз!В(ф+ 31)— в — 4 уе'з[п(К вЂ” 1)+ з уе'в!п(К+ 41)— — — уе в!п(д — 21) — — у в!п(33+31)— ! 2 0 6 3 — узе в!п (Зд + 4Е) + узе в!п (33 + 21), ( |+(е 8 е)сов|+(ез 3 е)сов21+ 1 1 1 1 + — езсовЗЕ+ — е'сов41~, 8 3 (4.!О.!4) ЯГ з|п ре=- —, Г У =А + (2е — — е'+ — е') в|п1+ 2 5 + ( — е — — е') з|п 21 + — е' з|п 31+ l5 2 11 13 ~4 24 [ 12 + — е' в|п 41+ ( — у' — у~+ 4у'е') в|и (23+ 21)+ + ( — 2у'е) в|п (23+ 31) + 2у'е з|п (23 + 1)— — — у 02 в|в(23+ 41) — — у езв|п 23+ + у431п(43+41) где ат — экваториальный радиус Земли.
одинаково), то можно было бы получить решение исходных уравнений движения в явном виде. Делоне не р асом атр навет подсбные формулы. Его цель — получить формулы для сфер ических координат Луны: истинной эклиптической долготы У, эклиптической широты р и синуса горизонтального и ар алл акса Луны з1прс. Формулы, связывающие У, р, в|п рс с элементами орбиты Луны в невозмущенном движении, т. е.
с первоначальными переменными а, е, у, 1, К, Е[, следующие (коэффициент при в[п1 в выражении для У и коэффициент при в|п (н+ 1) в выражении для 3 выписаны по Делоне полностью, а остальные коэффициенты с точностью до членов четвертого порядка относительно у, е): 9 !КЭЗ! гл, гк теояия движения лэны В соответствии со своими 497 операциями Делоне преобразовывает эти выражения я получает формулы зависимости р от окончательных переменных в следующем виде: и для 1/г аналогичное разложеняе по косинусам, гда о зависит от угловых элементов орбиты Солнца. Члены А 31п 1 и В 3!п(у+ 1) в этих рядах для У н р называются гловныл! эллиптическим членом в долготе и главным членом в широте соответственно, а их коэффициенты А, В обозначаются соответственно через Уь (!е. Далее Делоне выполняет еще одну замену переменных а, е, у, чтобы в новых переменных (обозначаемых снова через а, е и у) 1) коэффициенты У~ и ре, т.
е. коэффициенты при едп1 и 3!п(и+1) в рядах для У, !1, соответственно имели тот же вид, что и в формулах (4.10.14) невозмущенного движения; 2) сумма ! + д + Ь, определяемая с помощью уравнений (4.10.12), выражалась так же, как в невозмущенном движении 1+ и+ Ь = п1 + сопз(„п' = ~ (~7+ ~с) Формулы Делоне такой замены переменных, если ограничиться в них наиболее существенными членами, запишутся в виде а -ь а ( ! — !ч- — Зуз + — ез + е ) т— /2 3 ы~ ~3 / 81 67 г 341 г 99! ~ !28 !6 !28 !28 Г 57 293 г 991 з !03 'ч !28 !28 256 !28 ) (4 10 161 где т = п'/и, (Если обозначить новые переменные справа другими символами и написать вместо — знак равенства, то мы получили бы обычные формулы замены переменных.) 15ч У =1+ и+ Ь+ ~„А(а, е,у,п)едп(Ь,1+ ЬЯЯ+ Ьзй+о), ! ) (4.10.15) р =) В(а, е, у, п) 3!п(Ь!1+ Ьги+ ЬзЬ+ д) ! м ~о.оз 452 Ч.
4Ч. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ Сумма 1+д+й рассматривается как осредненная средняя долгота Луны Х, а и в выражении для этой суммы как некоторое среднее значение среднего углового движения Луны. Выраженные согласно (4.!0.12) переменные 1, и, й рассматриваются как осредненные значеннч или вековые части соответствующих исходных переменных. Прк этом а, й определяют осредненные значения й, Й оскулирующих долгот перигея и узла лунной орбиты ()=й, й=д+й, а 1 = Х вЂ” й — осредненная средняя аномалия.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
