Справочное руководство по небесной механике и астродинамике. Под редакцией Г.Н. Дубошина (564382), страница 41
Текст из файла (страница 41)
2. Вычисление прямоугольных координат. Пусть движение тела Р рассматривается в относительной системе координат Р,хуг. Тогда прямоугольные координаты х, у, г могут быть вычислены по формулам $ О.ОИ ГЛ. 2. ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ НЕВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ 229 где радиальная У, и трансверсальная У„составляющие скорости определяются уравнениями У, = л — з!п о, У„= л т — (1 + соз о). (2.2.57) Для вычисления скорости У могут служить формулы уо .о+ .о+ .о уз+ уо ен г (2.2.58) Последней формулой следует воспользоваться для контроля.
й 2.05. Прямолинейное движение Прямолинейное движение имеет место, когда с=О, (2.2.59) где с — постоянная площадей, Положение прямой в пространстве можно задать тремя направляющими косинусами ЄЄ, Р, (см. (2.2.!5)), между которыми существует соотношение Р„+ Ро+ Р, =1. (2.2.60) Для прямоугольных координат х, у, а будем иметь следующие формулы: х=Р„г, у=Р„г,' Е=Р,г, (2.2.61) причем и= ~~~,, а и т — постоянные интегрирования; а характеризует наибольшсе удаление тела Р от Ро, т — момент времени, когда г = О.
где г — радиус-вектор. 1. Случай Ь = О. Здесь =Е' * — (-!эл' 3 '\~а о „г — о ) (2.2.62) где р = !(Воо + по), а га†значение радиуса-вектора в началь- ный момент ! = !о. Знак «+» нужно брать тогда, когда началь- ная скорость Уо направлена от тела Ро, и знак « — », когда Уо направлена к телу Ро.
2. Случ а й Ь (О. Для радиуса-вектора имеем г =а(1 — совЕ), где Е определяется нз уравнений Кеплера при е = 1, Š— и!ВЕ=л(! — т), (2.2.64) я злв ч. и. злдлчл двэх тзл 230. (2.2.68) 3. Сл у чай й ) О. Радиус-вектор задается формулой г=а(сЬ Н вЂ” 1), (2.2.66) где Н определяется из уравнения зЬ Н вЂ” Н =п(1 — т), (2.2.66) причем и= ~~ —, . а и т — постоянные интегрирования. /я — '~/ д1 Замечание. Приведенные формулы показывают, что пря.
молинейные движения при й ~ 0 можно рассматривать как вы- рожденное эллиптическое (Ь 0) и вырожденное гиперболиче- ское движение (Ь => 0), когда г = 1. 2 2.06. Вычисление эфемерид планет и комет Зфгмеридой называется совокупность геоцентричесних поло- жений небесного тела для ряда равноотстоящих моментов вре- мени. В случае гелиоцентрического движения за основную пло- скость принимают плоскость эклиптики, а за основное направ- ление — направление на точку весеннего равноденствия.
По- этому элементы Я, 1, ы будут отнесены и плоскости эклиптики и точке весеннего равноденствия. Обозначим через р, а, б соответственно ггоцгнтричгског рас- стояние небесного тела, прямое восхождение и склонение небес- ного тела. Для вычисления этих величин будем иметь следую- щие уравнения: р соз б соз а = АЛ + В хЧ + Х рсозбз(па=Аг$+ ВгЧ+У (2.2.67) рз1пб=АД+ Вгц+ Л. Здесь Х, У, 2 — ггоцгнтричгскиг прнмоуголвныг экваториаль- ные координаты Солнца, $ и Ч вЂ” орбитальные координаты небес- ного тела, А„= Р„, А„= Р„соз е — Р, з(п в, А,=Р„з1па+ Р,созе, В„= (г„ Вг —— (гг сОЗ е — Я, З1 П е, (2.2.69) В,=Я„з(не+ Я,созе, где е — наклон эклиптики к экватору, а Р„, Р„, ..., Я, даются формулами (2.2.15) и (2.2.16).
Значения Х, У, Я приводятся в ежегодниках, а формулы для вычисления орбитальных координат $ и Ч в случае эллиптиче- ского, гиперболического и параболического движений были рас- смотрены в $$2.01 — 2.04. Глава Я РАЗЛОЖЕНИЕ КООРДИНЛт НЕВОЗМУЩЕННОГО КЕПЛЕРОВСКОГО ДВИЖЕНИЯ В РЯДЫ При рассмотрении невозмущеннога кеплеровского движения, а также в теории возмущений (ч, 11г, гл. 6) возникает необходимость в явных выражениях координат невозмущенного движения (а также различных функций ат координат) через время, истинную, эксцентрическую и среднюю аномалии.
В подавляющем большинстве случаев этого удается добиться только прн помощи различного рода разложений в ряды [в первую очередь тригонометрические). Способы разложения в ряды описаны во многих курсах небесной механики, например, в [11 — [51 Коэффициенты наиболее употребительных рядов табулированы [171,[18[, Ниже приводятся основные разложения, чаще всего используемые на практике. й 3.01. Разложение функций эксцентрической аномалии в тригонометрические ряды по кратным средней аномалии Общее решение задачи двух тел (см.
формулы гл. 2) дает координаты тела Р в виде неявных функций времени. Приведенные в главе 2 формулы позволяют достаточно просто вычислять координаты и составляющие скорости для всех типов невозмущенного движения. Однако в некоторых случаях необходимо иметь выражения для координат в в и д е я в н ы х ф у н кц и й в р е м е н и. Поскольку связь между координатами и временем устанавливается через посредство вспомогательных переменных типа эксцентрической аномалии Е, связанных со временем 1 при помощи трансцендентных уравнений, такие выражения могут быть получены только в в и д е р я д о в "), В небесной механике известны два вида разложений координат эллиптического движения, пригодных для исследования движения на всем бесконечном промежутке времени.
«) Явные выражении для координат в к о н е ч н о м в и д е можно получить только в некоторых частных случаях, таких, напрвмер, как круговое движение и прямолинейное движение «параболического» класса, ч. 11. 3АдАчА двух тал [О О.О! 232 а) Разложения в тригонометрические р я ды по кратным средней аномалии М. Коэффициентами этих рядов являются некоторые функции эксцептриситета е. Эти ряды сходятся (но не абсолютно!) для всех М при 0 ( е ( 1 и для всех М при 0 ~ е ( е' (абсолютно), где е' = 0,6627434193492... Э Е = М + 2 ~~! й е з!п йМ.
А ! (2.3.01) 2) Разложение для соз Е и з!и Е: е, э,э !е ! (йе) — Хее, (йе) 2 ' Е~ й А 1 з1пЕ= — ~ — зш йМ. 2 х-э ХА(йе) е й (2.3.02) (2.3.03) 3) Разложение для соз тЕ и з1п тЕ: соз тЕ = ~~! — ]Х1,,„(йе) — ХА+Э, (йе)] соз йМ, (2.3.04) А-1 О з!и тЕ = ~~~ — ]ХА и (йе) + Хее (Ие)] з!п йМ, (2.3.05) А где т — целое число, большее единицы. называется пределом Лапласа. б) Разложение в ряды по степеням эксцентр иснте таа.
Коэффициенты этих рядов суть некоторые периодические функции М. Ряды эти а б с ол ю т н о с х о д я т с я для всех М и для всех е, не превосходящих предела Лапласа. Коэффициенты тригонометрических рядов только в редких случаях могут быть выражены через элементарные функции. В общем случае ови довольно просто выражаются через функции Бесселя. На практике, однако, как правило, приходится разлагать функции Бесселя в ряды по степеням эксцентриситета и пользоваться только их первыми членами. Приведем разложения наиболее часто употребляемых функций эксцентрической аномалии в ряды Фурье по кратным средней анемалии.
1) Разложение для эксцентрической аномалии: 4) Разложение для радиуса-вектора еч — =1 + — + е,) '~' А ' соейМ. (2.3.06) 2 А ! 5) Разложение для обратной величины радиуса-вектора: —, = 1 + 2 ~~~ ХА (йе) соз йЯ4. (2.3.07) 6) Разложения для орбитальных координат 5 и 31: $ е, Хт ХА-! (Ае) — ХА+! (Ае) Й Ф Аеч Ч 2Ч/1 — е' ~ ХЕ(ае) А ААИ (2.3.06) (2.3.09) Б приведенных разложениях функции Бесселя ХА(йе) даются следующей формулой: О е=о Приведем явные выражения для некоторых первых козффициентов ХА(йе): е l е' е' ее Х (е)= — ~1 — — + — — — + ...), 1 2 ~ 8 192 92!б е3 Е е' 34 еЕ Х (2е) = — ~1 — — + — — — + ...), 2 ~ 3 24 360 9е' е 9е' 81е' Х (Зе) = — ~1 — — + — — ...), 3 16 ~ 16 630 2е' е 433 4е' Х (4е)= — (,1 — 5 + — — ") 3 х 5 15 (2.3.1 1) 625е' е 25е' 625е! ХЗ(бе) = — ~1 — — + — — ...), 768 ~ 24 1344 8!е" Г 933 81е' Х (бе) = — ~1 — — + — — ...).
ВО ~ 7 112 Для вычисления функций Бесселя при других значениях й полезно иметь в виду рекуррентные формулы (4.5.35) и (4.5,36). 4 3,ОЦ ГЛ. 3, РАЗЛОЖЕНИЕ КООРДИНАТ НЕВОЗМУЩЕН, ДВИЖЕНИЯ В РЯДЫ 233 ч.п, 3АдАчА ЛВух тел 234 й 3.02. Разложение функций истинной аномалии в тригонометрические ряды по кратным средней аномалии 1) Разложения для соз о н Б1п о: Ю сов о = — е+ т Х„(йе) сов йМ, 2 (! — ее) сз (2,3.12) в!и о = 1Х 1 — ев Е [Х» 1(йе) — Х»+~(йе)[ з!п йМ.
(2.3,13) »»ч 2) Уравнение центра: о — М=Х Н»в!ПйМ, »-! (2.3.14) где (2.3.15) хе г г хе 3) Разложения величин~ — ) сов то и ~ — ) Б1п то, где л и е е т — целые числа: ( — ) сов то = ~~~ С»' сов йМ, »=о ( — ) з!и л10 = ~ Ю» Б1п ЙМ. (2.3.16) (2.3.17) Явные выражения коэффициентов С»'" и Ф с точностью до е' включительно для л = — 5, — 4, — 3, — 2, — 1, О, 1, 2, 3, 4 и т = О, 1, 2, 3, 4, 5 содержатся в таблицах Кэли [! 71 Выражения для этих и некоторых других коэффициентов с точностью ло еве опубликованы в работе [!8). $ аю! Гл.
а РАзлОжение кООРдинАт невозмущен. дВижения В Ряды 235 4) Коэффициенты Ганзена. Коэффициентами Ганзена Х»' называются коэффициенты разложения функции Я ехртш, где ! = 1/ — 1~ в ряд вида л ( — ) ехр !то = ~ Х»' ехр !йМ. (2.3.18) Выражения коэффициентов Ганзена с точностью до ем можно найти в работе (18). Общее выражение для Х»' имеет вид Х»' =(1+5) Х Е»' ~3р(йе), (2.3.19) где Е»'-р = ( — и) р Х 2(г"(й — р — л — 1, — т — л — 1, й — р — т+1; 34), (2.3.20) причем (2.3.21) ! + ч/à — е' а через Е(а, Ь, с; х) обозначена гипергеометрическая функция.
$3.03. Первые члены рядов по кратным средней аномалии для некоторых функций е'х »2 3 Е = М + (е — — ) з!п М + — з!и 2М + — ез З1п 3М, в,! 2 8 о = М + (2е — 4 ) з!п М + 4 ез!п2М + — !2 езз!п 3М, (2 3 23) г ер г 3 х ер 3 — = 1 + — + ( — е + — езр)! соз М вЂ” — соз 2М вЂ” — е' соз 3М, а 2 ~ В / 2 в (2.3.24) 1+(е 8)созМ+етсоз2М+ в езсоз3М, (2,3.23) Приведем явные выражения для наиболее часто употребляемых функций эллиптического движения с точностью до е» вклю. чнтельно: ч. и.
ВАдАВА дВух твл 14 Зли 286 з у з /е е'~ 2 1. 8 ( — = — — е+ (! — — ев) сов М + ( — — — ) сов 2М + ~2 3) ез + — е'сов ЗМ + — сов 4М (2.3 26) а ( 8 — = ! ! — — е11 в!п М + 1 — — — е1) в!п 2М + (2 12 ез + — е~ в!п ЗМ + — з(п 4М, (2.3.27) ()= ГАА 3 е'Х еа е~ ) =! ! — ев+ ( — 2е+ — ) созМ вЂ” — сов 2М вЂ” — соз ЗМ, а! 2 4 3 2 4 (2.3.28) ( — ) =! + — е'+(2е+-ев)совМ+ — е'соз2М+ 4 евсовЗМ, (2.3.29) () — )созе= — — е+(! — — ев) совМ+ е,) 2 ~ 8 е~ уЕ Е'А з + — сов 4М+( — — — )сов 2М+ — е созЗМ, (2.3.30) ( — ') жп о=(1 — — ев) в1пМ+( — — — ев) з1п2М+ + 8 евв!пЗМ+ з в(п4М.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
