Справочное руководство по небесной механике и астродинамике. Под редакцией Г.Н. Дубошина (564382), страница 131
Текст из файла (страница 131)
Эти леммы также принадлежат Брунсу [58). Л ем и а 1. Если дифференциальные уравнения задачи трех тел имеют каноническую форму (10.2.01), то всякий алгебраический интеграл системы (10.2.01), не зависяи!ий явно от 1, имеет вид (!0.2.03) (10.2.04 В(>), р, и) =С, и =>0>+ гм+ т>ь где Я(д, р, и) — рациональная функция переменных >), р, и. Л е м м а 2, Всякий алгебраический интеграл системы (10.2.0!), не зависящий явно от 1, является алгебраической комбинацией интегралов вида =С, (10.2.05) Р, (ч, р, и) Л е м м а 3. Всякий алгебраический интеграл дифференциальных уравнений движения задачи трех тел вида (10.2.01), не зависящий явно от времени, является алгебраической комбинацией классических интегралов. Заметим, что леммы 1 — 3 установлены Брунсом для задачи и з.
2 тел, а не только для задачи трех тел. Л ем м а 4. Всякий зависящий явно от ! алгебраический интеграл задачи трех тел является алгебраической комбинацией алгебраических интегралов, не содержащих явно г, и интегралов вида ! — >р = с, где гс — алгебраическая функция переменных д', р' (д', р' — канонические переменные из % 1.14 ч. 1Ч, где они обозначены через >) и р), где Р>„Рз — многочленсч относительно д, р, и, обладающие некоторой однородностью, а именно: Р, (хго, х 'р, хги) — хчр> (>1, р, и), Рз(хг>), х 'р, хги) — = х'Р (о, р, и). В!4 Ч.
Х. КАЧЕСТВЕННАЯ НЕБЕСНАЯ МЕХАНИКА 15 2.03 Т е о р е м а Б р у н с а. Всякий алгебраический интеграл задачи трех тел имеет вид Р(1Н Тг, ..., 7„)=С, (10.2.06) где Ть !г, ..., Тм — левые части классических интегралов, данных формулами в 33 1.14 и 1.17 ч. 1Ч, а Р— алгебраическая функция аргументов 7ь ..., Т~ы 3 а м е ч а н и е. Теорема Брунса утверждает, что не существуют другие интегралы, алгебраические относительно канонических переменных, введенных в Я 1.14, !.17 ч. 1Ч, а следовательно, и относительно прямоугольных координат в инерциальной системе отсчета и их производных, так как последние выражаются через указанные канонические переменные алгебраическнм образом.
Но из этого вовсе не следует, что вообще отсутствуют какие-либо алгебраические интегралы. Пенлеве распространил лемму 4 на задачу и ) 3 тел. Подробное изложение теоремы Брунса содержится в [5), [58). й 2.03. Теорема Пуанкаре о несуществовании однозначных аналитических первых интегралов гамильтоновой системы Пусть имеется гамильтонова система 2п-го порядка дх дН ду дН дг ду ' В1 дх (10.2.07) где функция Гамильтона Н(х, у, р) обладает свойствами: 1) непрерывна н однозначна относительно 2я + 1 аргумента х, у, р (р — скалярный параметр) в (2п + 1)-мерной области 2) аналитична относительно р при ) р[( ры 3) периодична относительно у.
Н(х„у+ 2п, р) — = Н(х, у, р). В силу условий 1) — 3) Н(х,у, р) можно представить рядом Н(х, у, р)=Но(х)+ Цр'Н,(х, у), (10.2,08) сходящимся при [р~ < р, для любых херил', у я( — оо, оо) . Теорема Пуанкаре. Если Не=Не(х) и гессиан 1..'.. Ф О, то уравнения (10.2.07), кроме первого инте- дН, ! хил 8!8 ГЛ. К ПРОБЛЕМА ИНТЕГРИРУЕМОСТИ грала Н(х, у, р) = С, не имеют в области 17, с:77, вообще говоря, другого однозначного аналитического интеграла (см. (2)). Исключительные случаи, когда могут существовать другие однозначные аналитические интегралы системы (10.2.07), также исследованы Пуанкаре (2).
Из теоремы Пуанкаре следует, что в планетном варианте задачи трех тел (т1 ч' ,тм т, ~ тпг) не существует других однозначных интегралов, кроме интеграла энергии и интегралов площадей. Результаты Пуанкаре были распространены Пенлеве на задачу и тел. Подробно эти вопросы изложены в учебнике Г. Н. Дубошина (5). $2.04. Случаи иитегрируемости уравнения Гамильтона — Якоби методом разделения переменных Теорема Гамильтона — Якоби (см. ч.
1У, $1.20) устанавливает эквивалентность проблемы интегрируемости канонической системы (4.1.52) и уравнения Гамильтона — Якоби (4.1.67) или (4.!.68). Это обусловило интенсивные исследования по проблеме отыскания полного интеграла уравнения Гамильтона — Якоби, прежде всего методом разделения переменных (104), Изложим кратко историю вопроса: В 1843 г. Якоби !105) нашел методом разделения переменных полный интеграл уравнения вида Х( — '„)'= Р. Лиувилль (106), [107) показал, что интегрируемо более общее, чем (10.2.09), уравнение Гамильтона — Якоби, а именно: — ( — ) — 2(7, (о,)~ = 2Ь ~~~ 5; (д,) .
(! О.2. 10) ! 1=1 В 1880 г. Г. Морера (108) нашел методом разделения переменных все случаи интегрируемости уравнения +а (ди дЬ)( — ) — У(оь от)=Ь. (10.2.11) В 1891, !893 гг. П. Штеккель !109) исследовал проблему интегрируемости уравнения /двтхг а~(дь дм ЧА)~~,„~ — 2У(уь ум ..., д„) =2Ь. (10,2,12) гм 816 Ч. Х. КАЧЕСТВЕННАЯ НЕБЕСНАЯ МЕХАНИКА !Б ЯЛ! Доказано, что если уравнение (10.2.12) допускает эаазделение переменных, то необходимо существует система й функций Ч!!!(д!) (й/=1,2, ..., Й) и система й функций Ч',(д!) (! = = — 1, 2, ..., й), обладающих тем свойством, что коэффициенты а;(д,, дм ..., дА) и силовая функция (7(д!, дм ..., дч) представляются соотношенвями У = ~~! Ч',а„ ! ! а = д е1 (!р!!].
1 дЛ а =- —— з ар н Этн условия являются и достаточными [1!О]. После работы Штеккеля осталась найти случаи пнтегряруемостп уравнения Гамильтона — Якоби, содержащего, помимо квадратов импульсов, также произведения импульсов с различными индексами, импульсами в первой степени и явно время в характеристической функции, т. е. представляло интерес уравнение Гамильтона — Якоби вида э! +т Х вч!(Чн" ЧА)(а )(а )+ аю + Х б (Ч, ° ° ° Ч ) — (7(д, ° ° ., ЧА) =Ь.
~! (10.2.13) Очевидно, что возможность интегрирования уравнения Гамильтона — Якоби целиком определяется аналитической структурой коэффициентов а;!(д!, дъ, дА), й (д!, Чъ, ЧА) и силовой функции (7. Это побудило Т. Леви-Чивита [!! Ц вывеств необходимые н достаточные условия, которым должны удовлетворять коэффициенты уравнения (10.2.!3), чтобы оно была интегрируемым методам разделен!Ея переменных. Для случая трех степеней свободы (например, для пространственной ограниченной задачи трех тел) эти условия выписаны и исследованы Ф. Даль-Аква [112].
В 1911 г. П. Вургаттн [113] выписал функциональные зависимости импульсов от координат, приводящие к интегрированию уравнения Гамильтона — Якоби. Н. Д. Моисеев [114] и В. Г. Демин [87] указали на два обобщения уравнений Лиувилля и Штеккеля, также интегрируемые методом разделения переменных.
Вопросы интегрируемости уравнений в частных производных первого порядка исследовал В. Г. Имшенецкий [12Ц, идеи которого были использованы М. С. Яров-Яровым [122] для интегрирования неавтономного уравнения Гамильтона — Якоби. 22МП Гл. 2. пРОБлемА интегРиРуемости 817 й 2.05. Теорема о неприводимости уравнения Гамильтона — Якоби для плоской ограниченной круговой задачи трех тел к уравнению типа Штеккеля Уравнение Гамильтона — Якоби для плоской ограниченной круговой задачи трех тел в эллиптических переменных и, о (5.2.56) не имеет форму уравнения Штеккеля (10.2.12), поэтому правомерен вопрос о существовании такой замены переменных, которая делала бы возможным такое преобразование. Для случая двух степеней свободы назовем уравнением типа Штеккеля уравнение [1«1)~ЕЧ +~~(~~)]+~2(42)~д, + "(У2)] - ~«~)+ 2«2) (10.2.14) где дь д2 — обобщенные координаты.
К такому уравнению сводится уравнение Штеккеля (10.2.12) для й = 2 и Обобщение В. Г. Демина[115). Т е о р е м а [116). Не существует никакая невырожденная дифференцируемая замена переменных и =и(вп в2), ~ "= " (Ч1 Ч2)* ) (10.2.15) й 2.06. Соударения Пусть в абсолютной прямоугольной системе координат 0621~ рассматривается задача и тел (Р2(т;; яь т!ь "„2) ! = О, 1, 2, ... ..., и — 1), и пусть А(ч, 21, ь) — некоторая конечная, но нефиксированная точка в Оат[~. Обозначим через г; расстояние АРБ О и р е дел е н и в. И-кратным соударением (или столкновением) точекр„ь Р„,,..., Р„„(0 п| (и — 1, 0 п2( и — 1,..., 0 ( пь ( и — 1; и; ~ пь если 1чь 1) в конечный момент времени !называется явление, описанное условиями Игпт„,=О (з=!, 2, ..., й).
(10.2.16) Точка'А называется точкой соударения, Т вЂ” момент соударения. Оченпдно, что наименьшее значение й равно 2 и мы имеем парное илп двойное соударение, наибольшее значение й равно ц преобразующая уравнение Гамильтона — Якоби (5.2.56) в уравнение (10.2.14) . Замечание. Если вместо уравнения (10.2.14) рассматривается оно же, помноженное на общий множитель Х(дь д2) Ф О, то можно доказать, что утверждение теоремы остается в силе.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
