Справочное руководство по небесной механике и астродинамике. Под редакцией Г.Н. Дубошина (564382), страница 126
Текст из файла (страница 126)
Кроме того, изложены результаты об исследовании финальных движений в задаче трех тел и проблемы захвата. й 1.01. Метод малого параметра Пуанкаре Пусть имеется векторное дифференциальное уравнение — ", =Х(1, х, р), (10.1.01) где «(хь хгь ..., х ) — л-мерный вектор фазовых координат, Х(Хь Х„..., Х ) — л-мерная аналитическая вектор-функция ен ( — оо, оо), « ~ О„, р я л4 и периодическая по ! с периодом Т, à — скалярный аргумент, р — скалярный параметр. Кроме (10.1.01) рассмотрим векторное уравнение ех1м Х(! «пп 0) (10.1.02) называемое ларождоющим, или упрощенным, для уравнения (10.1.0Ц. Пусть векторному уравнению (10.1.02) удовлетворяет периодическая вектор-функцня «ов (1) =ф(!) (10. 1.03) с периодом Т: ~р(1+ Т) =— <р(Г), ! ~( — со, оо). (10.1.04) Решение (!0.1.03) также называется порождающим $1011 Гл.
с пеРиОдические и условно-пеРиодические Решения 739 Сущность метода Пуанкаре состоит в определении необходимых и достаточных условий существования Т-переодического решения уравнения (10.1.01), близкого к решению ф(!) в том смысле, что оно при р = 0 обращается в ф(!). Пусть искомое решение представляется векторным равенством х(г)=Ф(г, 1, б), (10.1.05) где л-мерный вектор р характеризует разность начальных условий для решения Ф((, р, р) и порождающего решения ф(!), т. е.
Р = х (0) — ф (0). (!0.1.06) Заметим, что периодического решения х(!) = Ф(1, р, р), удовлетворяющего начальному условию х(0) = ф(0), не существует, так как это противоречит теореме Коши существования и единственности решения (1), если вектор К удовлетворяет условиям этой теоремы. Необходимым и достаточным условием существования Т-периодического решения х(!) = Ф(О р, р) является выполнение векторного равенства Ф(Т, р, Р) — Ф(0, !с, Р) = О. (!О.!.07) Условие (10.1.07) представляет собой векторное уравнение с не. известным л-мерным вектором р, поэтому вопрос о существова- нии Т-периодического решения х(!) = Ф(1, !с, р) равносилен во- просу о разрешимости функционального уравнения (10.1.07) От. носительно р.
Введем Обозначения Мр, р) =Ф(Т, и, р) — Ф(0, и, (!), б(р,5)=""', о (Р) где символом о обозначен якобиан п-го порядка„ 1т (ф) Тогда имеет место Т е о р е м а П у а н к а р е. Если Л(р, б) ) З Р Р~О, то ло краиней мере при достаточно малых (р( уравнение (10.1.01) имеет единственное Т-периодическое решение, аналитическое относительно р и обращающееся в порождающее решение х!ю>(!) = ф(!) лри р=О.
Если доказано существование периодического решения, то целесообразно находить его либо в виде х,(!)=ф,(Е)+ Х Р( ' '"' ' )(!)О,'Р,' ... Р„"р, (10.1.10) ~1~ '' ~~ь~~>~ «!. Х. КАЧЕСТВЕННАЯ НЕБЕСНАЯ МЕХАНИКА |2 |Л2 Где компоненты 62, 62, ..., 6л Вектора [) получа|отся В Виде рядов 6,= ~: В."р- (10.1.1 !) в результате решения уравнения (!0.1.07), либо сразу в виде « к (!) = Е «|0! (!) 1Ал 0=0 где а|0|(1) суть Т-периодические функции й Вектор.
функция а|0|(1) определяется из неоднородного векторного уравнения '„,(" = А(1) «|0|(1) +)|!! |Я, (10.1. 13) (10.1.12) (10.1.14) $1.02. Метод Ляпунова Определение. Векторное автономное дифференциальное уравнение —,", =Ах+ Х(л). (10.1.15) в котором постоянная вещественная матрица А имеет вид о ... о о ...
о Π— А О А О О о о ап о оа„ а|2 .. а|,л-г «222 ' ' «22,Л 2 (10.1.16) о ал-г, 2 ал-г,г ал-г, л-г где А(1) является Т-периодической матрицей, а гс|0!(1) — известная Т-периодическая вектор-фуВкция. Более подробно эти вопросы изложены в [2) — [6). Если 22(0,0) = О, то вопрос о существовании периодических решений уравнения (10.1.01) и их числе становится чрезвычайно сложным, так как в этом случае не имеет места теорема о неявных функциях, на основе которой разрешается функциональное уравнение (10.1.07). Некоторые из этих особых случаев рассмотрены Пуанкаре [2] н изложены И. Г. Малкиным [3), [4), Г.
Н, Дубошпным [5) и К. Зигелем [6). Метод Пуанкаре позволяет искать н йТ-периодические решения системы (10.1.01), где й — некоторое целое положительное число. Для существования таких решений необходимо и достаточно выполнение условия Ф (йТ, 1А, ~) — Ф(0, 1А, ~) = О. и и-мерная вектор-функция Х(х) является голоморфной относительно х в некоторой и-мерной области 6,(хан 6„), называется системой Ляпунова. Теорем а Л япу но в а. Если уравнению (10.1.15) возможно удовлетворить рядами х (!) = ~, с х< ' (т), ь=! (10.1.17) коэффициенты х!">(т) которых являются тригонометрическими многочленами вида х~ '(т) = 2 (А~~мсоэ вт+ В~~~в(пвт), я=! еп И вЂ” го) Т (10.1.18) (!0.1.19) (10.1.20) г=ф(~ + ~ ьг) (с — произвольная постоянная), то ряды (10.1.17) абсолютно сходятся при всяком ! ен( — оо, ьо), если [с] ( сь, и поэтому они представляют периодическое решение уравнения (!0.1.15).
Период Т является аналитической функцией с в области !с~ ( сгй сь — некоторая положительная достаточно малая постоянная. Очевидно, что теорема Ляпунова устанавливает существование континуального множества периодических решений уравнения (10.1.15), так как — с, с ( с,. При доказательстве этой теоремы [3], [5], [7], [8] и развивается метод отыскания периодических решений, названный именем Ляпунова. Этот общий метод отыскания периодических решений получил развитие в работах [3], [8] — [11].
Эффективность метода Ляпунова значительно больше в тех задачах, к которым применима теорема Ляпунова о голоморфном интеграле [5], [7], [8]. Теорема Ляпунова о голоморфном интеграле. Пусть ), О, собственные значения матрицы А (10.1.15) не равны числам гпМ (пг = О, ~1, ~2, ...) и вектор-функция Х(х) является голоморфной в области 6„относительно х, разложение которой начинается с членов не ниже второго порядка. Пусть, кроме того, система Ляпунова (10.1.15) имеет голоморфный, не зависящий от 1, интеграл, в котором совокупность членов второго порядка содержит компоненты х~ и хт и-мерного вектора х. Тогда система А. л1. Ляпунова (10.1.15) всегда имеет периодическое решение вида (10.1.17) — (10.1.20). ч ьм) гл, ь пвеиодические и головне-пеьнодичгские вешания тв) $ ьгз Ч.
Х. КАЧЕСТВЕННАЯ НЕБЕСНАЯ МЕХАНИКА 792 $1.03. Периодические решения, полученные методом Пуанкаре Первые найденные в небесной механике пернодпческпе решения — это эллиптическое движение в задаче двух тел (см. ч. 11, $2.01) и лаграпжевы решения в задаче трех тел (см. ч. »", Я 1,02, 2,03), После того как Хилл доказал, что уравнения задачи, названной его именем (уравнения (5.3.16) ), допускают периодическое (почти-круговое) решение, Пуанкаре разработал достаточно общий метод — метод малого параметра (см. 3 1.01) и на его основе установил (2) существование трех сортов периодических решений в планетном варианте неограниченной задачи трех тел (тело РБ имеет массу т„значительно ббльшую масс и>> = ггн>, в>х = ггх1А планет Р, и Р„также отличных от нуля, сг> ) О, их ) О, 1А — малый положительный параметр).
Частными случаями этих решений являются периодические решения первого, второго и третьего сорта в ограниченной задаче трех тел (см. ч. 'Ч, 3 2.05). При 1> = 0 планетный вариант неограниченной задачи трех тел вырождается в две задачи двух тел (одна задача двух тел с массами в>Б и и>> = О, втоРаЯ заДача ДвУх тел с массами о>г и о>г = 0). Очевидно, что среди возможных движений в вырожденной задаче имеются кеплеровские эллипсы, описываемые нулевыми массами ⻠—— тг = О. Пусть, в частности, кеплеровские орбиты суть компланарные окружности. Пуанкаре доказал (2), что при 1> ч" 0 в плоской неограниченной задаче трех тел существуют периодические решения, близкие к круговым.
Точнее, взаимные расстояния между тремя телами будут периодическими функциями времени, а чтобы координаты каждого тела были периодическими функцпямп времени, необходимо рассматривать равномерно вращающуюся (с конечной угловой скоростью) систему координат. В неподвижной системе координат координаты трех тел не будут, вообще говоря, периодическими функциями времени. Если ввести для таких периодических решений оскулирующий кннематический параметр — эксцентриситет, то он имеет порядок величины 1А. Эти плоские периодические решения задачи трех тел были названы Пуанкаре решениями первого сорта, и они образуют четырехпараметрическое семейство решений.
Пуанкаре показывает, что все ао' множество периодических решений не богаче, чем однократное бесконечное множество периодических решений, так как одни семейства решений переходят в другие с помощью элементарных преобразований. Заметим также, что решение Хилла является частным случаем периодических решений первого сорта Пуанкаре. Периодические решения второго сорта — это периодические решения плоского планетного варианта задачи трех тел, выро- $1.03) ГЛ.
!. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ И УСЛОВНО ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ 793 ждающисся при )< = 0 в кеплеровскне эллипсы с отличными от нуля эксцентриситетамн (почти-эллиптические орбиты). Наконец, периодические решения третьего сорта — это пространственные периодические решения.
Доказательство существования периодических решений второго и третьего сорта в задаче трех тел сведено Пуанкаре [2) к исследованию на экстремум некоторой функции Рь смысл которой следующий: пусть уравнения движения в задаче трех тел записаны в гамильтоновой форме (см.
ч. 1У, $1.13) с аналитической по )< при ))<[ = )(0 функцией Гамильтона Р вида (р 4> )<) — Ро (р) + Х >» Р» (р (1) (10 1 2ц Р(р, (1 + (2И), )<) — Р (р, (1, )<). Удобнее всего в этой задаче пользоваться каноническими элементами Делоне (см. ч.
1У, й 4.06). Тогда роль переменных р играют 1,», бд, Нм переменных (1 играют 1д, (1», йд (й = 1, 2). Пусть при )< = 0 большие полуоси а",>, а<'> кеплеровских орбит планет Р( и Ро выбраны таким образом, что и',"Т и п~"Т (где п<,", п<0> — средние движения планет Р( и Ро) кратны 2гс Тогда вырожденная задача трех тел (т. е. две задачи двух тел) допускает периодическое решение с периодом 2я по долготе. Действительно, средние долготы планет11 и 10 за время Т из- (О) (0) менятся ровно на 2п независимо от начальных значений долгот 1(о, 1»о н от начальных значений канонических элементов Де(О) (О) лоне Н(а, Нм, Ы(0, йоо, йм, Ь)о (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
