Справочное руководство по небесной механике и астродинамике. Под редакцией Г.Н. Дубошина (564382), страница 122
Текст из файла (страница 122)
На фаэовой плоскости 6, 6 ему соответствует сепаратриса. Либрационное движение описывается формулой в(п 6 =- й вп (о (1 — 1,), й], (9.1.63) в которой модуль эллиптического интеграла равен йе= Зсес(А — С) ' (9.1.64) 3 (А — с) о=со =,/ в (9.1.66) Период колебаний спутника равен Т= — К(й). (9.1.66) В случае малых колебаний Т т —. ек о (9.1.61) Если орбита центра масс эллиптическая, то дифференциальное уравнение движения спутника относительно центра масс будет иметь вид есб . аб ос (1+есово) — — 2еяпо — + — яп20=2ев(по, (9.1.68) но* ео 3 где по = 3(А — С)/Е, е — эксцентриситет орбиты, а о — истинная аномалия центра масс спутника. Полагая 2 6= 1+е сов о ' (9.1.69) вместо (9.1.68) получаем следующее уравнение Хилла: ао+ а=2еяпо.
(9.1.Т0) 1+есоео Принимая теперь за независимую переменную эксцентриче- скую аномалию Е, приходим к уравнению асб . аб А — С (1 — е сов Е) — + е в1п Š— + 3: в(п () сов б = еЕ' еЕ в =2пае ~~~ яп Е, (9.1.11) в котором )с — гравитационный параметр притягивающего цент- ра, а р — фокальный параметр орбиты. тбб ч. ~х. движение относительно центах месс 5 см ГЛ. Ь УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ 767 Либрационные движения спутника подразделяются на нерезонансные и резонансные. Последние исследованы В. В. Белецким [10), В. Г. Деминым и Р. Б. Сингхом [17). В работе [17) поз 1 з казана существование резонансов при аз= — й' для любых 4 целых значений й. Малые пространственные колебания спутника в случае круговой орбиты описываются уравнениями а" + Зозз а" = 0 А — С В у'+4оз' А у +оз( А — 1)а'=О, [ (9.1.72) аз= 3озз— А — С В Ф+3 + А Л зВСВА аз= 4о>з С (9.1.74) Малые пространственные колебания на эллиптической орбите описываются следующей системой дифференциальных уравнений: е29 (1+ е сов и) — „„, + [есово+ а, (4+ е сов оЦу— — (1 + е сов и) а, — + е в1п о ° аза = О, ао (1+есово) — „, +[есово+Ь, (1+есово))а+ ый + Ьз(1+ есови) — — ев(п о Ьзу=О, Во (9.1,75) где  — С+А аз= А  — С а|= А А+С вЂ” В аз= А А+С вЂ” В Ь, С В+С вЂ” А Ьз=  — А Ь!= С Свойства пространственных колебаний определяются корнями характеристического уравнения (лз + лз)(А4 + а,3Р + аз) = О, (9.1.73) в котором уба ч.
~х. движение относительно ценгех мхсс ф»зз 5 1.06. Задача о поступательно-вращательном движении двух гравитирующих динамически симметричных тел Рассмотрим движение двух взаимно притягивающих абсолютно твердых тел М~ н Мь обладающих осями динамической симметрии. Движение тел будем относить к системе координат О»ХУХ с началом в центре масс тела М| и с фиксированными направлениями координатных осей. Относительное движение центра масс тела будем определять в канонических элементах Делоне Е, О, Н, 1, д, Ь (см.
формулы (4.3.21) ). Движение тел М; относительно их центров масс зададим каноническими переменными Лндуайе (см. $1.02) Ь» О» Н» 1» д» Ьз (1 = 1, 2). Дифференциальные уравнения поступательно-вращательного движения тел в этих переменных имеют гамильтонову форму [141: Н.~ аз (9.1.76) ан, дз дз 1, 2). Гамильтониан Р дается формулой з з з Р= 1 лиез 1 ~-~~6; А; — С, Д вЂ” — ~ — '+ Е~(+ У вЂ” Уз, (9,1.77) 2(е,+т,)Л' 2 2.г~ А; А;С, причем У вЂ” Уа — — 2,' (2Аз+ Сз — ЗХз) + —,' (2А, + С, — 31,), (9.1.78) где момент инерции уз относительно прямой О,О, определяется соотношением 7~--= А~(а~~+ ~~) + С~у; (1 = 1, 2), (9.1.79) в котором через а» 6» уз обозначены косинусы углов, образуе- мых прямой 010з с главными центральными осями инерции тел М» дР' д! дР дд дР дЛ дР дН ' дР аа, ' дР ааз ' (1 = дР дЕ аР дб ' дР дН ' дР дР ао,' дР дН~ ' 2 !Лз! ГЛ. !.
геРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ Указанные направляющие косинусы вычисляются по форму- лам (9.1.80) где х, гг, а -- координаты точки О, в системе ОгХУХ. В канонических переменных коэффициенты в выражениях для направляющих косинусов задаются формулами сгз — — —,!7.! 6! — Нгз!п Ь, + !г! ! Г 2 2. а2 + у' 6! — 7.! (6, згп и! соз Ь, + Н, згп Ь, соз 8 !)1, сгг = —, ! — Г.! 6! — Нг сов Ь,+ го ! Г г 2 аг + '~( 6! — Ь! (6! згп 8! Вгп Ь, — Н, соз Ь, соз ф!)1, сгг = — 22 гН! — 1,6! — Ь!) (6! — Н!) соз ~!). а! (9.1.81) Разложение гамильтониана (9.1.77) в ряд имеет следующий вид; 2 2(де + дг )Дг 2 А22 Ага! 2 ,(3! — 42~4-!! —,) г (! — э — )!е ! 2 2,! ! И Ид!аг — И Н И ай!а; — Н ! а' — и' Га2-Н,' и,! 1 2аг аг б ! ! 6 2 + 2~~~~ 2~~~ ~ 4! 2 М+'')+ Я ~в 082+ )~' ( ' ' !2!=! /=! где агг, агг, а22, ае,г, ага — функции канонических переменных 2З Под ред.
Г, Н. Дгбешеее тто Ч. 1Х. ДВИЖЕНИЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ЦЕНТРА МАСС !$ !л! 5 1.07. Вращение Луны Характерные особенности в движении Луны были изучены Домеником Кассини (см. ч. 1, $4.08). Законы Кассини легли в основу физической либрации Луны. Впервые им было дано объяснение на основе линеаризованных уравнений движения Лагранжем (У) н Лапласом (8). Более строгое математическое обоснование было дано в работе (18) на основе асимптотических методов теории колебаний. Там же ис. следовалась устойчивость решений, соответствующих движениям по Кассини. Раздельное изучение вращательного и поступательного движения Луны приводит к следующим формулам (Ц: 0 з! и ~р = —, з( и (с + п 41 — Я) + 33 2Н + Не — 31! + 3(1+ бе) — з(п(й — И), н+» 0 соз ф = — ), соз (с + пе1 — Я) + 3!Р + — (! + 0е) с (ы ь)).
3 ре р= — Зне((+де) + з1п(й — Ы), н о = — — а4 (!+бе) — соз(й — Я)— 3 ()е 2 н+» 2н+ н' — Зфт4 (! 1 )(2 +, 33 соз(с+в~(1 Ф (9.1.83) которое приближенно дает 3!() / не ()+н)(2н+н'-33) '~1+Н+ 2 . (9.1.88) В формулах (9.1.83) 6 — угол нутацин, ф — угол собственного вращения, пе — среднее движение Луны, с+Н41 — ее средняя долгота, е — эксцентриситет лунной орбиты, 1 — ее наклонность, й — долгота перигея лунной орбиты, 1) — долгота ее восходя.
щего узла, Н вЂ” козффициент в вековом неравенстве долготы ь — В ь — А восходящего узла лунной орбиты, а =— и — А у = — . Постоянная бе удовлетворяет уравнению е Ре)' ге 2~~.е (1 + Н)е (2Н + Н' — 3())~ 2 + — ( +„' е) (()з+4аз), (9,1.84) $ ьсв! ГЛ. !. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ Если принять [!) р =0,004019, у = 0,008455, !' = 5'08'44", бс = 1'31'22", а =0,000299, 5 =0,000614, то формулы (9.!.84) †(9.1.85) принимают еид б в! и !р = — 5493" в(п (с + п г1 — Я) + 947" ып (й — Я), 0 сов!р= — 5471" сов (с + па! — Я) -)- 972" сов (й — Я), р = — 947" пг в!п(й — Я), у — 972" пс сов(й — Я) — 44»па сав(с+ п41 — Я).
(9.1.86) Введем обозначение Ф=!р — с — пг1+ Я вЂ” 180'. Тогда формулы вращательного движения Луны приведутся к виду б =ба — 11" сов2(с+ п41 — Я)— — 12" сов(с + п41+ й — 2Я) — 960" сов (с + п4! — й), Ф ыпбс=1!" ып2(с+ пс! — Я)+ + 12" в1п(с+пг!+ й — 2Я)+ 960" ып(с+пс( — й), ф = с + п г г — Я вЂ” Ф + 180', ф = ф — с — п41+ 180'+ 22" в!и ([ — !33" в!НЯ, (9.1.87) где ([ и Π— соответственно средние аномалии Луны и Солнца, ф — угол собственного вращения. $1.08.
Дифференциальные уравиения движения деформируемого иебесиого тела 25« В небесной механике возникает необходимость исследования движений малодеформированных планет (например, их свобод.Ной нутации). В этом случае движение тела относят к так называемым «средним осям» [!). Одним из способов выбора барицентрической системы координатных осей Охуг состоит в нахождении минимума суммы квадратов отклонений отдельных материальных точек, образу!ощих планету, за время !!! от положений, которые бы они занимали в случае «затвердения» рассматриваемой системы.
Это условие сводится к уравнению ~ гп! [(х,— дг!+ гу,)'+ (у, — гх, + ра,) + (е! — ру, + дх!)') =- ппп. (9.1,88) ч. ~х, движяния относитяльно цянтях масс и ям ттг Составляющие момента количеств движения системы по ко- ординатным осям обозначим через Л, р, т. Тогда Л = Ар — Нл — 6г, р= — Нр+ ВЧ+ Рг, (9.1.09) т = — 6р — Р'0+ Сг, где А, В, С, 6, Р, Н вЂ” центральные осевые и центробежные мо- менты инерции небесного тела. Дифференциальные уравнения вращательного движения не- бесного тела записываются в форме лл ~ — г1 +9т=Т, ~ — р~+ гЛ=М ии Ыт — „— дЛ+рр=Н (при подстановке в систему (9.1.90) значений Х, р, т из (9,1 09) следует иметь в виду, что компоненты тензора инерции непо- стоянны).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
