Справочное руководство по небесной механике и астродинамике. Под редакцией Г.Н. Дубошина (564382), страница 123
Текст из файла (страница 123)
Уравнения вращательного движения планеты с учетом ее ма- лых деформаций в предположении, что планета обладает осью динамической симметрии, имеют вид А — ~ + (С вЂ” А) пд — п —, -1- Рп' = я,, (9.1.91) А — — (С вЂ” А)пр — п — — 6п = М, ) И1 ЫР И1 а (9.1.90) где п — постоянная угловая скорость вращения планеты вокруг оси динамической симметрии, а Ь, М вЂ” моменты внешних сил. Согласно Ляву (19) приближенно будем иметь Р= — бщ, 6= — бпр, (9.1.92) где и — постоянная, зависящая от упругих свойств планеты, ее размеров и распределения плотности. Период вращения планеты Т вследствие упругих деформаций удлиняется на величину ЬТ= (9.1.93) $1.09. Теория фигур небесных тел Теория фигур равновесия небесных тел состоит в изучении формы, которую принимает жидкость, частицы которой взаимно притягиваются по ньютоновскому закону при отсутствии внешних сил.
ГЛ. 1. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ $1.в1 1 др дУ =~ — +Йу — Й г— х дх дг г г — в„(в„х + в„у + в,г) + хвг, 1 др дУ вЂ” — = — + й,г — й,х— х ду ду — в„(в„х + в„у + в,г) + увг, 1 др дУ вЂ” — = — +Й х — Й у— х дг дг — в,(в„х+ в„у+ в,г) +гвг, (9.1.94) где р(х, у, г) — давление жидкости в текущей точке, У вЂ” потенциал сил притяжения, х(х, у, г) — плотность, в„, в„, в, — компоненты мгновенной угловой скорости.
Т е о р е м а П у а н к а р е. Единственно возможным движением жидкости, ари котором она находится в состоянии относительного равновесия, является нерманентное вращение ее вокруг одной из главных центральных осей инерции. Если в = (в„в„, в.), то, направляя ось аппликат вдоль вектора в, приведем уравнения (9.1.94) к форме (9.1.95) 1 др д дат х дг дг где + 2 ( +у)' (9.1.96) У вЂ” потенциал силы тяжести.
Теорема. Если изолированная идеальная жидкость находится в состоянии относительного равновесия, то ее эквипотенциальные (уровенные) поверхности одновременно являются Основной вклад в эту теорию был сделан И. Ньютоном, Клеро, Лежандром, Лапласом, Маклореном, Якоби, А. Пуанкаре и А.
М. Ляпуновым Последовательное изложение можно найти в работах )20) — )26). Приложения теории фигур планет в гравнметрии даются в книге Н. П. Грушинского )27), а звезднодинамические аспекты обсуждаются в монографии К. Ф. Огородникова )28). Фигуры равновесия небесных тел изучаются на основе уравнений деформируемого тела (см. $1.08), динамических уравнений Эйлера и гидродинамическнх уравнений. Последние имеют вид поверхностями изобарическими (равного давления) и изостерическими (равной плотности). Следствие.
Жидкая масса, находящаяся в состоянии относительного равновесия, ограничена уроненной поверхностью. Если жидкость однородна и несжимаема, то уровенная поверхность удовлетворяет уравнению Вавра » ~ ' ) до =вт(х — „+у Я, (9.1.97) в котором 5 — поверхность„ограничивающая жидкость, йз= = (дх, Ну, дг), Но — элемент поверхности, п — внешняя нормаль. Т е о р е м а Л и х т е н ш т е й н а.
Фигура относительного равновесия однородной вращающейся жидкости обладает плоскостью симметрии (экватором), которая проходит через ее центр инерции и перпендикулярна к оси вращения. Следствие. Единственной фигурой равновесия невращающейся однородной жидкости является сфера. Приводимые ниже теоремы накладывают ограничения на угловую скорость вращения жидкости, находящейся в состоянии относительного равновесия. Т е о р е м а П у а н к а р е. Относительное равновесие жидкогти может иметь место только при угловых скоростях ее вращения, не превосходящих «/хп)».
Теорема Кр удел и. Если жидкость, находящаяся в состоянии относительного равновесия, ограничена выпуклой поверхностью, то ее угловая скорость не может превосходить 1/п~~~. Рядом авторов при различных постановках задачи изучены азличные типы фигур равновесия вращающихся жидких масс. з них наиболее важные астрономические, гравиметрические и геодезические приложения имеют эллипсоидальные фигуры равновесия. Условие, прн котором эллипсоид к' з' г' — + — + — =1 (9.1.98) с постоянной плотностью Зж »=— 4»аьс (9.1.99) является фигурой равновесия, сводится к уравнению ОЭ в' 1 и (1 — и)гвг 1 ь (1 — ь) гаг зя(к 5 11 + г) 11 + »1) о — 5 П + П1 + ьг) о (~.~.
~®~) е Я 774 ч. ~х. движение относительно пентгх масс 1$ С09 Гл. с уРАВнения дВижения $ пгэ! 776 В этом уравнении использованы обозначения и = ( —,), о = Я, 1= —... (9.1.101) причем через з обозначена переменная, удовлетворяющая уравнению х2 У х — + — + — =1 а2+э Ь2+э сг+В (9.1.102) Уравнение (9.1.100) допускает два типа эллипсоидальных фигур равновесия: 1) и = о — эллипсоиды Маклорена, О 1ВГ 2) и чье, ~ (1 — и — о — ио1) —,=0 — эллипсоиды Якоби. 03 о (9.1,103) Существуют два типа эллипсоидов Маклорена: сплюснутые и дискообразные.
В зависимости от величины угловой скорости, точнее, значений параметра !7, имеют место следующие случаи: 1) 0 е: Я ( 0,1871 — два эллипсоида Маклорена и один эллипсоид Якоби; 2) 0,187! ~ 11 ( 0,2247 — два эллипсоида Маклорена; 3) й = 0,2247 — один эллипсоид Маклорена; 4) й ~. 0,2247 ии одного равновесного эллипсоида. Из теорем теории фигур равновесия вращающихся жидких масс вытекают некоторые важные гравиметрические результаты. Ниже приводится ряд соответствующих теорем и формул.
Теорема Стокса. Если вращающаяся жидкая масса находится в состоянии относительного равновесия, то сила тяжести на ее поверхности и вне ее однозначно определяется заданием массы жидкости, угловой скорости ее вращения и уровенной поверхностью. Формула Брунса: З,, — ( — + — ) =2(в~ — 2и~и); (9.1.104) здесь д)дп — производная по нормали к уроненной поверхности, 14ь 17г — главные радиусы кривизны уроненной поверхности, и— ускорение силы тяжести. Редукция Фая. Из (9.1.104) для Земли при 1 = 6,67 1О, х, = 0,013, в = 0,000073, где х! — плотность воздуха, получаем формулу для приведения в свободном воздухе: = О,ЭОВ6 (1 + 0,00071 сов 2ср), (9.1.106) Потенциал силы тяжести для уровенной поверхности, ямеющей форму эллипсоида вращения, равен ЯГ = — агсс1д 51! и!+ (а! С сс2а2 + з зь,, ' ь ((951!С!С +!) Егсс1Н 51! и! — 951!в ССС1я — — 3— С! Ь с — — 51п' и, (9.1.106) где использованы эллиптические координаты и, т, !е, связанные с геоцентрическимн прямоугольными координатами формулами преобразования (27] х=св1пив(пос)!ю, у = с 5! п и сов о 51! в, е = с сов и 51! те, (9.1.107) Р,(сови) — полинам Лежандра второго порядка, а уровенная поверхность соответствует следующим значениям (27): а ь с)т и!= —, 51!Се= —.
С С Из приведенного потенциала силы тяжести вытекает формула для вычисления ускорения силы тяжести на уроненной поверхности в функции геодезической широты, именуемая формулой Пичетти — Сомильяна: ЕсасассВ+ЕСЬМС В Ы= 5/ас Тасс В + Ь' Мас В в которой д„др — ускорения силы тяжести на экваторе и по- люсе соответственно, а  — геодезическая широта. 77В ч. !х. движение Относительно центРА мАсс щ !,Оа Глава 2 УСТОЙЧИВОСТЬ И СТАБИЛИЗАЦИЯ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ИСКУССТВЕННЫХ НЕБЕСНЫХ ТЕЛ В этой главе приводятся без доказательств критерии устойчивости в смысле Ляпунова различных режимон вращения относительно центра масс искусственных спутников планет и космических аппаратон, которые вытекают либо из строгого, либо и из линейного анализа уравнений движения.
Описываются различные способы стабилизации вращения космических аппаратов. Даются только результаты исследования ограниченных задач динамики космического полета, полученные в предположении, что вращательное днижение спутников не оказывает никакого влияния на нх орбитальное движение. Основные результаты этой ветви астродинамики последовательно изложены в [10) и [16). Достаточно полно результаты указанных исследований освещены н прекрасном обзоре В. М. Мо. розова [29). ф 2.01.
Устойчивость движения спутников я грааитационном поле сил Задача о вращательном движении небесного тела относительно его центра инерции н ньютоновском поле тяготения допускает н качестве частных решений положения относительного равновесия, при которых главные центральные оси инерции спутника, движущегося по круговой орбите, ориентированы вдоль радиуса-вектора центра масс, касательной к орбите и нормали к плоскости орбиты (см. ф !.05).
Впервые эта проблема была изучена Лагранжем [У), который в 1780 г. указал необходимые условия устойчивости отмеченных частных решений. В современных терминах решение задачи дано н [1]. В последнее время н нелинейной постановке она исследовалась В. В. Белецким (10), который указал и .проанализировал достаточные условия устойчивости. Как оказалось, 778 Ч. 1Х.
ДВИЖЕНИЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ЦЕНТРА МАСС ы вм для устойчивости относительного равновесия тела на круговой орбите достаточно, чтобы его наибольшая главная центральная ось инерции была направлена вдоль радиуса-вектора его центра масс, наименьшая — по нормали к плоскости орбиты, а средняя — по касательной к орбите. Из анализа интеграла Якоби вытекает, что существует четыре устойчивых положения относительного равновесия спутника на орбите, которые можно получить одно из другого посредством поворотов спутника на !80 вокруг радиуса-вектора и нормали к плоскости орбиты.
При этом должно выполняться не- равенство В> А>С. (9.2.01) При помощи теорем Кельвина и Н. Г. Четаева В. В. Румянцев (16] показал, что при выполнении одного из неравенств В > С > А, С > А > В, А > В > С (9.2.02) положения относительного равновесия спутника неустойчивы, а при выполнении одного из неравенств С > В > А, А > С > В (9.2.03) возможна их гироскопическая стабилизация. Положения устойчивого относительного равновесия спутников на круговых орбитах являются центрами либраций. Границы либраций спутников были оценены В. Б. Белецким [10). Области либрации определяются неравенствами 3 [(А — С) у'+ ( — С) у") ." ( — А) рз + ( — С) р" я= ф, 3 (А — С) уз + ( — А) бт .
(9.2,04) Ряд работ посвящен исследованию устойчивости положений относительного равновесия спутников, снабженных роторами, т. е. спутников-гиростатов. Рассматривались два типа гиростатов. В первом типе постоянной во все время движения остаетсв в которых использованы обозначения $1.05 и которые надлежит рассматривать совместно с тривиальными геометрическими интегралами для относительных направляющих косинусов. Более точная оценка границ либрации несимметричного спутника приводится в работе Ликинса и Роута 130) и опирается на анализ неравенства 3 ((А — С) Ут+( — С) У')+( — А)~з+( — С)~" (-з. (9.2,05) аз.оп гл з.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
