Справочное руководство по небесной механике и астродинамике. Под редакцией Г.Н. Дубошина (564382), страница 120
Текст из файла (страница 120)
Волкова [9], В. В. Белецкого [10], А. Депри Ю [1Ц, Ф. Бауже [12], В. Г. Демина л и Ф. И. Киселева [13], Е. Б. Би- бика [14] и др. РРР. 1М. КРР ЭЮЕРР. Введем углы Эйлера, характе- ризующие положение абсолютно твердого тела, относительно некоторой системы координат ОХУХ с началом в его центре масс и неизменными в неподвижном пространстве направлениями осей.
Пусть Охуе — связанная с телом система координат, оси которой направлены по главным центральным осям эллипсоида инерции. Углы Эйлера введем, как 4 ьвк гл. ь уравнения дВижения показано на рис. 102, на котором ~ХУ и ,гху суть дуги боль- ших кругов„а У вЂ” восходящий узел. Тогда ф = м МХ вЂ” угол прецессии, ф= ~ Мх — угол собственного вращения, 6= л', хМХ вЂ” угол нутации.
Обозначая теперь через Т живую силу тела, а через У вЂ” си- ловую функцию и вводя канонические импульсы, сопряженные с углами Эйлера р,=с, рв = — Ар сов ф+ Воз!п ф, (9.1.10) р, =(Арв!пф+ Восовф)в!пб — Сгсовб, приходим к следующей системе канонических уравнений вра- щательного движения небесного тела; Первая система канонических уравнений: дф дК др д! дрф ~й дВ дК вр й дрв' дф дК Ир, ~й др, ' Ыв в которых гамильтонова функция К К =Т вЂ” У. дК дф дК дВ ' (9.1.11) дК дф равна (9.!.12) Соответствующее системе (9.!.!1) уравнение Гамильтона— Якоби имеет вид (9.1.1Э) Другие системы канонических уравнений движения тела вокруг его центра масс связаны с выбором невозмущенного движения, интегрированием надлежащего уравнения Гамильтона— Якоби и каноническими преобразованиями.
Один из способов выбора невозмущенного движения связан со случаем Эйлера — Пуаисо. Считая моменты сил, приложенных к небесному телу, малыми, можно в исходном приближении в качестве невозмущенного решения принять движение по Эйлеру — Пуансо. В этом случае, полагая в (9.1.!3) У = О, после его 756 ч.
~х. движение относительно центах масс н с02 интегрирования получим формулы, определяющие невозмущенное вращательное движение тела. Пусть для определенности А ( В < С. Положим а= ~/ ( . Ь= ~/ — и —, с= ~~ с, (9.1.14) /6г 2АН / С(2СН 6 ) ~l С(С А) Ч (С В)(6 2АН) где 6-- модуль кинетического момента поля, а Н вЂ” его живая сила, и введем вспомогательную переменную )( так, что р=в'апсоз)(, д=вЬпз(пу„ т = в' ~/1 — супу з! пу ь. (9.1.16) Общее решение невозмущенной (упрощенной) задачи„определяющее эйлерово движение тела, тогда запишется в виде )(=аш(и, й), р=в'апспи, 9=в'Ьпзпи, т=в'Йпи в = в'~/! + а'пз — а'Ь'с'и' зп' и, и=аЬв'(1+й), й =со. (9.!.17) уйь= ~-~ ХьН, фа= '~ Нх, ()ь — — с'. И'НИ. (9.1.!8) Положение неизменяемой плоскости относительно старой системы координат задано следующими угловыми величинами: уР'= уХМ', б'= ~ Хй('К, д= ~ у М'Хв (9.1,19) Невозмущенное движение небесного тела удобно относить к системе координат, основной плоскостью которой служит неизменяеяая (инаариантная) плоскость К У' Лапласа, нормальная кинетичеКс скому моменту тела.
Основные плоскости и линии К новой системы координат изображены на рис. 103 в пересечении со сферой единичного радиуса. Неизменяемая плоскость пересекает единичную сферу по большая в у д у м у к р у г у К . П у с т ь Х ь — т о ч к а пересечения новой оси абсцисс с атой сферой. По определению эйлеровых углов для новой системы отсчета имеем $!,Щ Гл.
и упАансиия движения 757 Имеют место следующие соотношения, связывающие все введен- ные величины: з!и 6 з!п (ф — ф') = з!п б, з!п (фа — д), З1пб сов(ф — ф) =созбаз!пб'+ з1пбосозб'соз(ф, — и), соз 6 = соз бо сов 6' — з1 п ба гбп 6' соз (в(20 — д), з!пбз!и(фа — ф) =з!пб з!п(2(20 — и), З1п 6 соз (фа ф) 3!и 60 соз 6 + соз ба з!п б соз (фа — Д). (9.1.20) Теперь запишем полный интеграл уравнения Гамильтона— Якоби (9.1.13), определяющий эйлерово невозмущенное движе- ние: 5 = — Н(+ Рф + ~ р, с(ф + ~ ра2Ю (9 1 21) Здесь Н = — , '(Ар'+ В42+ Сгв) Р = (Ар з)п ф + В27 соз ф) з1п 6 — Сг соз 6 ро = Сг = 6 соз ба, (9.1.22) ра = — Ар сов ф + В27 з!п ф = 6 з!пбаз!п (фа — ф) ВБ = Авр'+ В22)Б + Свгв.
Если ввести дуги Ч'= с2 НМ~ Ч'а=п — 2 НН', (9.1.23) то полный интеграл (9.1.21) примет внд Н( + (ч2 Чс) Р + В (Чга + ~ сов ба псфа) (9 1 24) соз 6 соз ба + з(п 6 з1п 60 соз (фа — ф) /Б!02фв Л. СОБ2 ро 1~ 2Н 1 А + В С)=ав С (9.1.25) сов 6 — сов 6 сов 6' соз Ч'а— в!Пб, Мп6' сов бр — сов б сов б' соз Ч' Б!и б Бвп б Р сов бо + О сов б 'тlйв Р2 Мп бв Р сав б + 6 сов бо В/6~ — Р' 22п б Связь между двумя системами углов Эйлера и постоянными интегрирования дается формулами ч. ~х. движения относительно цантрв мвсс и ьвв Полный интеграл Гамильтона — Якоби приводит к следую- щим трем первым интегралам невозмущенного движения: дз , дя „ дд — =Ь дР '' дй йо дН в которых )ь дь Ь, — произвольные постоянные, Вместо (9.1.26) можно также записать — гв'а(г(1+ й,) =К(!(, й), 1 еуг (9.1.27) От старых канонических переменных (эйлеровых углов и соответствующих им импульсов) можно перейти к новым каноническим переменным Р, а, В,1 6о 0=81 — и.
(9.1.28) При рассмотрении возмущенного движения небесного тела относительно его центра инерции переменные (9.1.28) могут быть приняты в качестве оскулирующих элементов. Уравнении возмущенного движении при этом будут иметь вид Вторая система канонических уравнений: дге дК до дК дг дВ ' и дн ф, дК дя дК ду дР ' ги да ' Рее. 1М.
Кеееееееееее угловые ееремеееые Аехуеее. в которых функция Гамильтона К должна быть выражена через время и шесть новых переменных. Развитие изложенного и его приложения к задачам астрономии можно найти во втором томе сочинения Ф. Тиссерана (Ц. Иной выбор канонических переменных предлагается М. Андуайе (2). Позднее к нему же обращается А. Депри (! Ц. Последний вводит новые переменные следующим образом (см. рис. 104). Рассмотрим систему координат ОХУЕ и Охи. 759 гл.«. тяхвнения движения а «ла Линию узлов плоскостей ОХУ и Оху обозначим через 01««. Введем углы Эйлера «р= .
ХН, ф= ~ «ух, 0= ~ У«уН. (9.1.30) Построим неизменяемую плоскость Лапласа, проходящую через точку О и пересекающую плоскости Оху и ОХУ соответственно по прямым ОН и О«У'. Пусть далее И= ~ ХОЖ', д= ~ Н'ОН; 1= ~ НОх, (9.1.31) а / — угол между плоскостями ОЛ"Н и ОХУ, Ь вЂ” угол между плоскостями Оху и ОУ'Н. Положим Н=Осоз1, «.=ОсозЬ, (9.1.32) где 6 — момент количеств движения тела. Величины 1., 6, Н, 1, д, й являются сопряженными каноническими переменными, причем старые канонические переменные связаны с новыми соотношекиями рв = (Ар з!и ф + Вд соз ф) яп 0 + Сг соз 0 = Н, р, = Ар сов ф — Вд яп ф = 6 яп Ь яп (1 — ф), (9.!.33) р, =Сг=1., а компоненты момента количеств движения равны Ар= Оэ!пЬ яп1, Вд= 6 яп Ь сов 1, Сг = 1..
(9.1.34) Гамильтониан задачи в этих переменных запишется следующим образом: К = — ( + ) (6 — И) + — — — и (1, а, й, т., 6, Н) . (9.1.35) где 6 — силовая функция. Гамильтонова система уравнений движения имеет вид д«'. дК дп дК дН дК 1 Щ д! ' д' дя' «И да' дЕ дК Ия дК да дК д«д«'. ' Н дп ' д«дН' й 1.03. Астродинамические дифференциальные уравнения возмущенного движения спутника относительно центра масс При рассмотрении задач динамики космического полета получили распространение более громоздкие, неканонические системы дифференциальных уравнений вращательного движения спутника в оскулирующих элементах.
Некоторые из них можно найти в монографии В. В. Белецкого [10]. 7бо ч. !х. дакжение Относительно центРА мАсс и !лз Дифференциальные уравнения движения записываются в «перигейной» системе координат ОХИ, ось аппликат Х которой коллинеарна радиусу-вектору перигея орбиты, ось ординат У нормальна плоскости орбиты, а ось абсцисс Х имеет танген- циальное направление (в сторону движения спутника). Для слу- чая спутника, обладающего осевой динамической симметрией А = В, уравнения движения были указаны В.
В. Белецким [10]. Они имеют следующий вид: на — =(М» з!и о. + Мх сов а)совр+ Мгяп р, пг нр — = — ((М» яп а + М; соз а) соз р — Ме Б(и р) „ ь — (М„сова — М;з!иа), и! О в!п р + ~ ( М» (с1Я 6 (соз а з!п зр + з!п а соз зр соз р) + нФ а г1! А С» + с!ь Р соз а) + Мг Яп Р С1к 6 соз ф + + Мх(С!96(Б1и а Б1п ф — соз асов рсоа ф)+ с!бараш а)), — =г — фсоз6— нр и! — а ( — зги зР яп 6 яп р + соз 6 соз р) + р соз зР яп 6, г!г 1 — = ~ (М»~ь + %4з + Моуз! (9.1.37) где Сг= О соз6, а направляющие косинусы аз, йл уз суть а =Б1пфа!ибсозряпа — сов зрз!пбсоза+соз6Б!ирз1па, ) рз =- — я и 1Р з!и 6 Б1п р + сов 6 соз р, ) (9.1.38) Уз=юи ф Б(и 6 соз Р соз а+сов фЯп 6 Б(и а+сов 6 Яп Р соз а.
) В уравнениях (9.1.37) †(9.!.38) использованы следующие обозначения: Π— модуль момента количеств движения спутника относительно его центра инерции, р — угол между моментом количеств движения и осью ординат перигейной системы, а — угол между осью апиликат и проекцией момента количеств движения на плоскость ОХЯ, М», МЕ„М» — проекции главного момента внешних сил на оси перигейной системы координат, ф, зр, 6 — углы Эйлера, вводимые стандартным для теоретической механики образом ").
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
