Справочное руководство по небесной механике и астродинамике. Под редакцией Г.Н. Дубошина (564382), страница 115
Текст из файла (страница 115)
ч. П, Я 2.03, 2.04). й 4.02. Уравнение для базиса-вектора на участке нулевой тяги при движении ракеты в ньютоновском поле тяготения Базис-вектор р, коллинеарный вектору тяги Т (см. $ 3.03), удовлетворяет векторному дифференциальному уравнению (8.3.21) — ~ (р, б). (8.4.04) Если внешнее поле потенциально, то уравнение (8.4.04) принимает вид (20] д14 =(р, 'рб).
(8.4.05) где 41б — скалярное произведение вектора 41 и вектора б. Мож- но показать (4], что справедливо тождество ]дг' д (8.4.06) где — означает дифференцирование по направлению базисад дз вектора р. Тождество (8.4.06) позволяет придать уравнению для базиса. вектора (8.4.05) форму 44гя д6 — =] р! —. (8.4.07) Уравнения (8.4.05) и (8.4.07), определяющие базис-вектор р(1), справедливы для любого потенциального внешнего поля.
Если движение ракеты происходит в ньютоновском поле, то б= — — г. (его гг (8.4.08) 7зо ч. ч111. оптимАльные и кРАеВые 3АдАчи АЕТРОдинАмики и ЕОЕ Гл. с межОРБитхльные пеРелеты 731 Пользуясь (8.4.08), уравнение (8.4.07) можно привести к виду — = — (р, т)т — — р. л2Р з(Р44 1Л44 ЛР 4 4 (8 А.09) Однако ни одно нз уравнений (8.3.21), (8.4.05), (8.4.07), (8.4.08), рассматриваемых изолированно, не определяют базис- вектор р(1), так как они содержат и другие неизвестные (например, т), поэтому указанные уравнения нужно рассматривать в совокупности с уравнениями Эйлера (8.3.20) и уравнениями движения (8.3.13).
На участке нулевой тяги движение ракеты в ньютоновском центральном поле происходит по коническому сечению, поэтому зависимость радиуса-вектора т от времени 1 известна (см. ч. П, $3.06). Это облегчает решение уравнения для базиса-вектора. Лоуден доказал (20], что компоненты дх, 47т, дг (в системе координат ОХИ ось ОХ направлена по радиусу-вектору ракеты; ось ОУ лежит в плоскости орбиты по направлению движения ракеты; ось ОХ перпендикулярна к плоскости ОХУ) вспомогательного вектора 47, связанного с базисом-вектором р равенством (8.4.10) р=~ т ~у, определяются из системы уравнений А Чх "'~г З' * — 2~ — — 4 " чт ~ах — + 2 — =О, ле- 'ле (8.4.1 1) где р — параметр орбиты, 6 — полярный угол ракеты в неподвижной системе координат. Полярный угол 6 определяется интегралом площадей (см.
формулу (2.1.19) ) т —, = у~л2,р, 2 8 7 поэтому его также можно считать известной функцией времени. В книге Лоудена [20] приведены компоненты р, рх, р, базиса-вектора как явные функции истинной аномалии. Явная зависимость р от времени содержит бесконечные ряды, так как переход от истинной аномалии ко времени связан с решением уравнения Кеплера (см. ч. П, $2.01). 73я ч.
Рнг. ОптимАльные и кРАеВые 3АдАчи АстРОдинАмики [$4,аэ 3 4.03. Уравнение для базиса-вектора иа участке промежуточной тяги при движении ракеты в ньютоновском поле тяготения Рнс. 34. уаасто» сронсжтговсой гага РГО подвнжнвв прнноугольнва скоттов ксорднпст, основнва ось которой РГ панравлсна вдоль тата Т. "рт — — и П1' О,И— )пга а — — 51П1р га э Йпо — СОБ 1Р, гт (8,4 13) (8.4.14) ( )— о ар хй (пес — л1 = — (1 — 351пйф), гИ л г' (8.4.16) — — Б1П ф С05 ф, З(гпс (8.4.16) Лг ие Пт= — Б1Пф+Г о. Б1Пфе05фг ггг ге .
по — — — — соз ф + г — Б (п ф. гИ гм (8.4.!7) (8.4.18) Уравнение (8.4.12) очевидно (см. рис. 84). Уравнения (8.4.13) и (8:4.14) описывают движение ракеты [см. (8.3.01)[ в системе координат РТЯ. Уравнения (8.4 18) и (8.4.16) определяют проекции базиса-вектора р на осн РТ и Р(1. Уравнения (8.4.171 и Нахождение явной зависимости базиса-вектора от времени для участка промежуточной тяги в общем виде представляет собой неразрешимую задачу.
Однако, как показал Лоуден [20), [77), [78), если участок промежуточной тяги лежит в плоскости, проходящей через притягивающий центр, то такое решение может быть получено. Участок промежуточной тяги полностью определяется семью неизвестными — и- функциями времени: поляра ные координаты ракеты г и тт, компоненты скорости ракеты и в системе координат РТЯ (рис. 84), пт и пйь углы 1р и ф и абсолютная величина реактивного ускорения а = слт(М (лй — секундный расход топлива, с — модуль скорости истечения газа, М вЂ” масса ракеты). Перечисленные семь неизвестных функций определяются из следующих уравнений: 2 + (8.4.12) ГЛ.
А МЕЖСРБИТАЛЬНЫЕ ПЕРЕЛЕТЫ 733 (8.4,!8) выражают связь между проекциями скорости ракеты ит, пч и радиальной и трансверсальной компонентами скорости ракеты г и гЬ. Интегрирование уравнений (8.4.12) — (8.4.18) существенно упрощается, если время перелета не фиксировано. Соответствующие результаты можно найти у Лоудена [20), [77] — [79). В частности, Лоуден показывает, что для малых углов ф тяга на участке промежуточной тяги направлена по биссектрисе угла между касательной к траектории и трансверсалью РЦ. ф 4.04. Уравнение для базиса-вектора на участке максимальной тяги пРи движении Ракеты в ньютоновском поле тяготения Участок максимальной тяги полностью определяется теми же семью величинами, которые приведены в $4.03, с той лишь разницей, что модуль реактивного ускорения а принимает максимальное значение С/П и= М (8.4.19) где лг — величина, ограничивающая секундный расход топлива [см.
(8.3.16)]. В силу этого на участке максимальной тяги необходимо решать те же уравнения (8.4.12) — (8.4.18) с заменой т на т. Принципиально трудности, встречающиеся при интегрировании уравнений для участка промежуточной тяги, остаются и здесь. й 4.05. Метод р-траекторий. Структура оптимальной траектории В книге Лоудена [20) рассмотрено движение ракеты по оптимальной траектории при следующих допущениях: а) оптимальная траектория — кривая, лежащая в плоскости, проходящей через центр притяжения; б) поле тяготения ньютоновское; в) время перелета не фиксировано и подлежит оптимизации; г) все участки максимальной тяги суть точки соединения. Предположение а) означает, что базис-вектор р является двумерным.
Предположение в) упрощает интегрирование уравнений для базиса-вектора Р (см. Я 4.02, 4.04), так как согласно замечанию из $3.03 первый интеграл (8.3.25) уравнений для базиса-вектора имеет более простой вид. Предположение г) означает, что максимальная тяга аппроксимируется импульсами. Если уравнения для базиса-вектора проинтегрнрованы и, следовательно, известна явная зависимость проекций базиса- вектора рх и рт от времени или от другого параметра (например, от истинной аномалии), то, исключая время, получим уравнение р-траектории, содержащее модуль базиса-вектора. Аналитический вид уравнения Р-траектории весьма громоздок даже для участка нулевой тяги [20[, а для других участков оптимальной траектории получение уравнения р-траекторин встречает непреодолимые трудности, связанные с интегрированием уравнений (8.4.12) — (8.4.18) . Исследование на экстремум модуля базиса-вектора как функции истинной аномалии, выполненное Лоуденом [20[, [77), [78[ для определения постоянной Р (см.
$3.03), позволяет сделать вывод: если один из участков оптимальной траектории является пассивным и представляет дугу конического сечения и он начался (или закончился) в результате действия импульса, приложенного в апсидальной точке и направленного по касательной к орбите, то тогда и все остальные участки траектории являются пассивными и точки соединения всегда совпадают с их апсидальными точками.
В частности, если дуга круговой орбиты является частью оптимальной траектории, то и все остальные пассивные участки оптимальной траектории являются дугами конических сечений с совпадающими осями. Таким образом, оптимальная траектория состоит из пассивных участков (дуг конических сечений), началами и концамн которых являются точки соединения. й 4.06. Связь между величиной импульса и элементами эллиптической орбиты Формулы задачи двух тел позволяют написать следующие соотношения (рис.
85): и,=д 1~1тор еб[п(и — ы), пи в '1/1лгоР д сов (и — га) = в — Р-', (8.4. 20) по= в4 1гноР в1п<р — 441глор в(п (и — в) сов 1р, (8.4.21) ог = в 1/'1глоР вес 1р — п„1п 1р, (8.4.22) где 1 е в=— г Р (8.4.23) р — параметр эллипса. В результате действия мгновенного импульса Т положение ракеты и проекция пя остаются неизменными, а изменяются 734 Ч.
ЧП1. ОПТИМАЛЬНЫЕ И КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ АСТРОДИНАМИКИ Я СМ тэй ГЛ. З МЕЖОРЕИТАЛЬНЫЕ ПЕРЕЛЕТЫ лишь элементы орбиты р, г), в и, конечно, в первую очередь от. Если обозначать через рг, г7г, вг элементы новой эллиптической орбиты, то очевидно, что (от)г =з 1/)гггорг зесф — оо1п гр (8.4.24) Рпс. йб. Связь между импульсом и злемектами орбагм. Π— притягивающий центр с массой жг; П вЂ” перицезтр зллиптичсской орбиты; Р— положевие аппарата в произзользмй моиеит времеви; о, ем †радиальваа и трзисзерсв.тьввя кемпозевтм ско.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
