Справочное руководство по небесной механике и астродинамике. Под редакцией Г.Н. Дубошина (564382), страница 114
Текст из файла (страница 114)
оМ Лоуденом показано [20), [88)„что при 1' = сопз1 и — „= сопз1 70Я Ч УП1, ОПТИМАЛЬНЫЕ И КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ АСТРОДИНАМИКН |Я 0,07 й 3.07. Общая вариационная задача для движения ракеты в однородном поле тяжести Исследуется движение ракеты при и е) $3.06. Тогда система уравнений с условием (8.3.17) имеет впд — =и — =о, ау гй = сй еи ськ — = — соя 6, а! Ат ь'0 СЫ вЂ” = — я|пй — а !й М лм — = — т, т(т — т) гй допущениях а), б), г), д) движения ракеты вместе (8.3.46) — аг = О. Ф о р м у л и р о в к а з а д а ч и.
В классе функций х (1), у(1), и(1), о(1), М(1), т(1), а(1), 6(1), удовлетворяюи|их уравнениям (8.3.46) и некоторым граничнььч условиям (число граничных условий не должно превышать 12), найти систему функций, минимизируюи(ую некоторый функционал 1. = 1. (1, х, у, и, о, М) . Заметим, что среди искомых функций т(1) определяет программу расхода топлива, а 6(1) — программу ориентации вектора тяги.
Функция Лагранжа (8.3.19) для данной задачи имеет вид г"= — р — сояй — р ! — Ебп6 — у~ — Л и — Л о + к М Р~ М / к я + чт + |А [т (т — т) — ае], (8.3.47) ьрк арг — = — Л вЂ” = — Л, 0! к' !й Я' вд ь'Ае — =0 гй — =0 !й —,= —,(р,сояй+ рея!пй), ЬЧ 0Ы (8.3.48) 0 = — — (р, соя 6+ р„я|и 6)+ т+ |А(т — 2т), 0= — 2|ла, О=р,я|ой — ресояй. Анализ уравнений (8.3.48), выполненный различными автарами [12], [56] — [58), [66], [67], позволяет сделать следующие выводы: а соответствующие обобщенные уравнения Эйлера — Лагранжа (8.3.20) принимают форму х з,м! Гл. к некОтОРые ОптнмАльные зАЛАчн дннАмнки пОлетА 7»З 1) дуги экстремалей, проходимые прн промежуточной тяге, отсутствуют; 2) угол 6(1), определяющий' направление вектора тяги относительна Оси абсцисс, Определяется формулой с — с~ где Сь Ся Сз, Сз — постоянные интегрирования; 3) если функционал 7.
не зависит явно от и и о, та угол 6 постоянен; 4) оптимальная начальная скорость параллельна вектору тяги (если 7. = й (1, х, у, лг) ); 5) если Т. не зависит от х, то тангенс угла 6 является линейной функцией времени. Используя функции переключения к(1) н Ь(1), связанные с множителями Лагранжа формулами к(1) = — (р„саз 6+ ре з(п 6) — т, Ь(1) = р„сов 6+ р„з1п6, можно показать [12[, что экстремаль состоит не более чем из трех участков и разрыв в направлении вектора тяги возможен только при условии р» = р„= О. Задача об оптимальном запуске искусственного спутника, рещенная Лоуденом [20), является частным случаем изложенной задачи.
й 3.08. Общая варнационная задача для движения ракеты в однородном поле тяжести при наличии аэродинамического сопротивления Пусть движение ракеты исследуется при следующих допущениях (см. рис. 82): а) Земля считается плоской и ускорение силы тяжести постоянно, д = сопз1; б) скорость истечения частиц с постоянна; в) сила сопротивления атмосферы Я зависит ат высоты ракеты над горизонтам у, скорости о и от подъемной силы г„; г) вектор тяги Т(Т„, Т„) лежит в вертикальной плоскости Оху, проходящей через точку запуска О; д) на величину секундного расхода топлива пг(1) наложено ограничение (8.3.16) или, чта то же самое, (8.3.17).
уо4 ч. унь оптнмлльные и нолевые зхдлчи ьстзодиньмикн и злв Тогда уравнения движения ракеты вместе с условиями связи (8.3.14) и (8.3.17) имеют вид д» Ие — =асов!р, — =отдпф, д! — = — й в)п ф+ — сов у— до . спс 0(в, о, Р„) Н! М М дф Е сов ф ! Рс+ с!по!и у д! о Мо с!М вЂ” — т (!), сИ т(т — т) — аз = О. (8.3.49) Ф о р мул и ров ка задачи. В классе функций х(1), у(!), о(!), ф(!), М(!), т(!), а(!), у(!), Р (!), удовлетворяющих уравнениям (8.3.49) и некоторым граничным условиям (число которых должно быть менее 12), найти такую систему функций, которая минимизирует некоторый функционал Е=Е(х,у,о,ф,М,!).
Функция Лагранжа (8.3.!9) и соответствующие уравнения Эйлера — Лагранжа имеют вид — Л„о сов ф — Лоо в1п ф+ от + р [т(т — т) — аз), (8.3.50) ддз р, д0 О, г! М дд — Л сов <р — Л в(пф+ — —— ро д0 » о М до дд д! дрс в! род соз ф ро (Р„+ сы з!и у! о' + Мо' др! Рсе з!и ф — '=р усов ф — + Л„ов1пф — Лаосов ф, до 0 — сы соз у Р„+ сы з!и у д! !о М' +РО Мо (8.3.5!) р,с соз у р,с з!п у 0=— М + о+ р(т — 2т), Мо 0 = — 2ра, р,сову д0 Ру О=р,в(пу —, О=р, др В формуле (8.3.50) р., р, Л„, Л„, у, р — множители Лагранжа. Анализ уравнений (8.3.51) прн различных предположениях относительно функционала Е, силы сопротивления !г и размер- !а Е.я гл.
3. Иекотогые оптимАльные ЕАдАчи динАмики полетА тей ности задачи, выполненный Миеле [68], [69], Лейтманом [70], Брайсоном н Россом [7!] и др., позволяет сделать следующее заключение. 1) Прн наличии сопротивления атмосферы оптимальная траектория состоит пз участков нулевой тяги, максимальной тяги и промежуточной (переменной) тяги. 2) Оптимальная программа подъемной силы г, является непрерывной функцией времени.
3) Функции переключения величины тяги и направления тяги определяются формулами р мптт х(г) = ~рьсоэу+ ] у (8.3.52) ь (!) = р„сову+ Если уравнения Эйлера — Лагранжа разрешены относительно искомых функций, то равенства (8.3.52) позволяют задать функции переключения как явные функции времени. 4) Для планирующих траекторий (Т=О) оптимальная программа полета достигается в том случае, когда сила аэродинамического сопротивления минимальна по отношению к скорости при постоянных значениях уровня энергии и подъемной силы.
Достаточно подробно эта задача изложена в главе 1Ч монографии [12]. Полное решение простейшей вариационной задачи (задачи о максимальном движении ракеты в сопротивляющей атмосфере) дано А. А. Космодемьянским [47]. Можно также указать на интересные результаты Оберта [5!], А. А.
Космодемьянского [72], Д. Е. Охоцимского [73]. 9 3.09. Определение оптимальной программы тяги при вертикальном подъеме ракеты в неоднородном поле тяготения в сопротивляющейся атмосфере Формулировка задачи. Найти такую программу для величины тяги, которая обеспечивала бы максимальную высоту вертикального подъема ракеты при следующих предположениях: а) поле тяготения неоднородно (у = у(й), Ь вЂ” высота ракеты); б) сила аэродинамического сопротивления — известная функция Ц = !г(й, 5); в) вектор тяги направлен вертикально вверх; г) секундный расход топлива гп(1) удовлетворяет условию (8.3,!7). Система уравнений задачи имеет такой вид: (8.3.53) в! (т — а!) — ае = О. Функция Лагранжа и соответствующие характеристические уравнения записываются следующим образом: Р = — — (ст — Я вЂ” Мй) — ЛАо + чн! + и (т(т — т) — аз], (8,3.54) РА дрА р, д0 1~А + — — ~ д! М до дт см — 0 Рь (8.3.55) С 0 = — — рэ + ч + !! (т — 2а!), 0 = — 2ар.
Полное решение вариационной задачи для функционала й = й! (й, — высота ракеты, достигаемая при ! = !!) дано Лоуденом (20]. Предполагалось, что Я(й, й) и й(й) — монотонно убывающие функции высоты й, а (А, 8, у — некоторые параметры; А зависит от миделева сечения ракеты, 5) 0). Как показал Лоуден, оптимальная траектория состоит либо из двух участков (участок максимальной тяги в!(~) = Ж и участок нулевой тяги о! = О), либо из трех участков (участок максимальной тяги, участок промсжуточной тяги и участок нулевой тяги). См. также (65]. й ЗАО.
Задача о максимизации полной энергии космического аппарата Формулировка задачи. Требуется найти такой маневр, чтобы полная энергия ракеты была максимальной в некоторый (свободный для выбора) момент времени 1 = !!. тяа ч ч1н оптимАльные и кРАевые ЗАдАчи АстРодинАмихи и 310 Ф ЭЗО! ГЛ. Э. НЕКОТОРЫЕ ОПТИМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ ПОЛЕТА 727 Задача решается при следуюших предположениях: а) внешнее силовое поле консервативна; б) начальная точка траектории г(1э), начальная скорость о(1э) и начальная масса ракеты Мэ заданы: в) масса ракеты Мр (без топлива) известна; г) конечная точка траектории г(11) и конечная скорость о(11) заранее не известны; д) секундный расход топлива ограничен.
Полная энергия ракеты Н равна Н = М ~У (», у, ) + — оэ1 (МУ(х, у,г) — потенциальная энергия ракеты), поэтому сформулированная задача является вариационной задачей а нахождении минимума функционала Е(хр ургр о„, акр о,) = — У(архр г) — — (о~ +о„'+оэ), (8.356) ! где х,=х(1,), ..., о, =о,(1,). Эта задача относится к разряду задач Майера (см. $1.07), поэтому для нахождения Оптимального решения (шестимернаго вектора с компонентами х, у, г, о, от, о,), оптимального управления (пятимерного вектора с компонентами 1„1„, 1,оэ,а), множителей Лагранжа р„р„, р„Л„Л„, Л„т, рь 1ээ необходимо совместно решить уравнения движения ракеты (8.3.13) (система шестого порядка), характеристические уравнения (8.3.20) (семь дифференциальных уравнений и пять алгебраических уравнений), уравнение (8.3.14), равенства (8.3.15) и (8.3.!7), Совместная система 21 уравнения (8.3.13) — (8.3.15), (8.3.17) и (8.3.20) состоит из четырнадцати дифференциальных уравнений и семи алгебраических уравнений, поэтому для определения оптимального решения и оптимального управления необходимо иметь четырнадцать краевых условий.
Восемь из них даны в формулировке задачи: при 1=1э г=гэ, о=од, М=ММ 1 (8.3.57) при 1=11 М=МР. Остальные шесть краевых условий определяются равенствами (8.1.31) и имеют вид р„(11)= „, р„(11)=око р,(1,)=акр дх и ! — и 7ЬЗ Ч. ЧП1. ОПТИМАЛЬНЫЕ И КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ АСТРОДИНАМИКП И З.П Условия (8.3.58) эквивалентны [20) условиям р (11) = о (1,), р (11) = 6 (х„у1, а), (8.3.59) т. е. в конечной тачке траектории базис-вектор совпадает с конечной скоростью, а производная базис-вектора равна ускоре. нию, обусловленному внешним полем. Подробный анализ уравнений (8.3.13) — (8.3.17), (8.3.20) с краевыми условиями (8.3.5?) и (8.3.58) праведен Лоуденом в работах [20), [61]. Здесь же рассмотрена задача без предположения д).
и 3.11. Задача о минимизации характеристической скорости маневра Ф о р м у л и р а в к а з а д а ч и. Требуется минимизировать характеристическую скорость маневра (8.3.05) ари условии, чта конечные точки (т(1ь) = ть, т(11) = т1) траектории и скорости (о((ь)= оо, о(11) = о1) в конечных точках заданы, а сам момент 11 не фиксирован. Минимизируемый функционал выражается формулой (8.3.05) 1. = с 1п Аь . (8.3.60) Мр ' Анализируя эту задачу„Лоуден показал [20), чта нз любам активном участке оптимальной траектории базис-вектор должен быть единичным вектором (р = 1), коллннеарным с вектором тяги. Теории оптимальных движений ракет в однородном поле тяжести получила значительное развитие и в рабатах [27), [41), [42), [74).
Глава 4 МЕЖОРБИТАЛЬНЫЕ ПЕРЕЛЕТЫ В главе 4 приводятся основные сведения о межорбитальных перелетах. Дана постановка ряда оптимальных задач динамики космического полета. Я' $4.01. Простейшая краевая задача Требуется найти элементы эллиптической орбиты р, е, ы, имеющей одним из фокусов притягивающий центР О с массой в!о и пРахо- ДЯЩЕЙ ЧЕРЕЗ ДВЕ ЗапаННЫЕ ТОЧКИ М! Рис. 82. Орбита перелета.
М М,— др- М если время перелета Т из М! га аллиптичесио" побиты, йтоиоди- 2г сией черен ааданлые точил Мг и Мо в Мй известно (рис. 83). Уравнения, определяющие элементы р, е, ы, имеют вид р=г,!1+есаз(и,— ой)) (1=1, 2), зг'!лге (! — еа)а (8 4 01) Е,— Е, — е(з!пЕ2 — з!пЕ,)= ' Т, р з/р где Еь Ей — значения эксцентрической аномалии для точек М! и М2.
Для однозначного определения неизвестных следует к уравнениям (8.4.01) добавить соотношения и!и (и, — го) й/1 — е' '"("г-")+' з!и Е, = ( ), соз Е; = ' . (8.4.02) Выбор значений Е, и Ей следует выполнять с учетом условия и, — йг Е а!нп!и ' *= з!Ип !и — ' (! = 1, 2). (8.4.03) С испальзованеем такой методики в работе (75] была построена таблица приближенных орбит перелета Земля — Венера. Там же изложена методика учета дифференциальных поправок к элементам, вызванных различными отклонениями в координатах точек М, и Мг. 3 а м е ч а н не. Аналогичная методика применима и для определения параметров параболических и гиперболических орбит перелета ]76], только в этих случаях последнее уравнение системы (8.4.01) должно быть заменено соответствующим динамическим уравнением (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
