Справочное руководство по небесной механике и астродинамике. Под редакцией Г.Н. Дубошина (564382), страница 112
Текст из файла (страница 112)
А. Космодемьянского (4У). Там же доказаны основные теоремы динамики точки переменной массы. тоа ч. т!и. оптимАльные и кРАеВые 3АдАчи АстРодинАмики [а ЕО! » а!и! гл, в ге»внвния дин»мики тел пвевменнои м»осы тор $2.03. Уравнения движения тела переменной массы в обобщенных координатах (уравнения Лагранжа второго рода) Пусть положение тела переменной массы в пространстве определяется а обобщенными координатами !т!, !тв ..., !т,. Тогда уравнения Лагранжа второго рода — — — — =(«»+ Р» и тат» ат а! (,ай»~ ад» = (8.2.06) полностью описывают движение тела переменной массы.
Следует лишь написать функции Т, Я», Р, в явном виде. Если тело переменной массы может быть представлено как сумма Л!' точек переменной массы, то кинетическая энергия тела Т равна и Т вЂ” — 'Я ги! (!) вт. (8.2.07) ! ! Обобщенная сила Я» (скаляр) равна г) — ~~," (Р!«! ! ) ! 1 где Р! — равнодействующая внешних сил, приложенных к точ[«! ке т!, г! — радиус-вектор точки !и!.
Функция Р» (скаляр) выражается равенством (8.2.09) где и! — абсолютная скорость отделяющихся от точки лг! частиц. (8.2.08) $2.04. Канонические уравнения движения тела переменной массы где ч ат. (Р Р» Р !т! 4» 4!«) ~ а !т» Т (8 2 1 1) Если ввести обобщенные импульсы Р» д. (й=1, 2, ...„а), дт то уравнения Лагранжа (8.2,06) принимают «полукананическую» форму ае дН Нр» дН вЂ” — — —" = — — +Р,+Я» (й=1, 2, ..., а), (8.2.10) Щ др» «! дч» 71О ч.
Рпе ОптимАльные и кРАеаые зАдАчи АстРОдинАмнки М 204 Если внешние силы допускают силовую функцию У и абсолютные скорости отбрасываемых частиц и; = О (1 = 1, 2, ... ..., У), а следовательно, и РА = 0 (й = 1, 2, ..., З), то в этом случае уравнения движения (8.2.10) принимают каноническую 4юрму Гамильтона Ыеь дН др дН дг = д,П = д .т~ дб где 17'='7 —.дь — Е. Функция Лагранжа Т. равна Т+ У. Основные теоремы динамики тела переменной массы можно найти, например, в (47).
Различные вопросы теории движения тел переменной массы рассмотрены многими авторами (12), (131, (30), (48] — (51). Глава 3 НЕКОТОРЫЕ ОПТИМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ ПОЛЕТА В ОКОЛОЗЕМНОМ ПРОСТРАНСТВЕ Глава 3 содержит различные формы уравнений ракетодинамики. Кратко излагается постановка и решение оптимальных задач динамики полета в околоземном пространстве. й 3.01. Уравнения движения ракеты. Формула Циолковского Ракетой назовем аппарат, снабженный реактивными двигателями, движение которого происходит под действием внешней силы Р и реактивной тяги Т, обусловленной сгоранием топлива (рабочего тела) в двигателях. Ракета — это частный случай тела переменной массы, поэтому ее движение описывается уравнениями Мещерского(8.2.0!) и (8.2.05), в которых следует положить М, = М (М вЂ” масса ракеты), У1 = — с (с — скорость истечения частиц относительно ракеты на срезе сопел реактивных двигателей).
Сила тяги Т равна йМ Т= — с— Ш а уравнение движения ракеты принимает вид сс см М ш=Р— с —. ш (8.3.01) Уравнение (8.3.01) справедливо при условии, что )с) = сопз1. Отрезок траектории, на котором Т чо О, называется активным участком, а отрезок траектории, на котором Т О, называется пассивным участком. Если рассматривать движение ракеты в неподвижной системе координат Охуг, то уравнения для координат ракеты х, у, к 7!Е Ч. ЧП1. ОПТИМАЛЬНЫЕ И КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ АСТРОДИНАМИКИ 1А Э.О! выражаются равенствами ВУХ вм В У 2 х В1 Х",,' -У вЂ”.,— ', Вьх 22М М вЂ” =Х вЂ” с —, ап х ВУ' (8.3.02) где г = (Х, у, Е), с = (с, с„, с,) .
Если внешние силы отсутствуют (Р = О) и движение ракеты вызывается лишь силой тяги, то уравнение (8.3.01) принимает внд (8.3.03) Уравнение (8.3.03) интегрируется в любом промежутке времени (!О 1): о — оь= с!п —, Мо 1 м' ТУ(!Р) =по о(!) =о М(!ю)=Мо М(!)=М ! (8.3.04) Уравнение (8.3.04) носит название формулы !А. Э. Циолковского (47). Оп редел ение. Величина МО У=,)п 2 Мр (8.3.05) и из формулы Циолковского (8.3.05) можно получить скорость ракеты в конце активного участка траектории оР = оь — с1п(! + у').
(8.3.06) (Мр — масса ракеты без топлива) называется характеристической скоростью ракеты илн характеристической скоростью маневра (20). Она определяет величину изменения скорости ракеты за счет расхода топлива, поэтому многие оптимальные задачи дннамики космического полета связаны с минимизацией величины (8.3.05). Если вектор с коллинеарен с вектором скорости о и противоположен по направлению, то движение ракеты будет прямолинейным. Обозначим через М, массу топлива. Тогда очевидно, что МО Мт+ МР Если начальная скорость ракеты по = О, то для абсолютной величины скорости ир в конце активного участка траектории имеем о, = с 1и (1 + — ') . (8.3.07) О п р е д е л е н н е. Отношение М,7Мр называется числом Циолковского. Уравнение (8.3.08) описывает движение ракеты на пассивных участках траектории, а уравненне (8.3.09) описывает движение ракеты на последнем пассивном участке траектории.
Пусть масса ракеты является заданной функцией времени М(1) =- Мь[(1), где )(1) — некоторая неотрицательная монотонно убывающая функция времени, не превосходящая единицу. Можно показать [47), что изменение массы ракеты по линейному закону ()(1) = 1 — и1, и = сопз1, и ) О) порождает постоянную силу тяги Т.= сопз1 (при с = сопз1), а изменение массы по показательному закону (1(1) = в-", и = сопз1, и ) О) порождает постоянное ускорение ракеты. Определение. Функция т(1) = — — = — — ' вмт Ж В1 (8.3.10) называется расходом массы в единицу времени (например, секундным расходом), а функция 1 аМ а(1) = — —— М В1 (8.3.1 1) называется удельным расходом топлива в единицу времени.
Определение. Число (8.3.12) Я (где ар — ускорение, сообщаемое ракете тягой, д — ускорение силы тяжести) называется перегрузкой или величиной перегрузки. Для показательного закона изменения массы перегрузка постоянна. Подробно эти вопросы рассмотрены в [20), [47), [49], [5Ц.
а злц гл. к некотояые оптнмальныа задачи динамики полата 71з $3.02. Развернутая форма характеристических уравнений для задачи о движении ракеты Пользуясь формулой для секундного расхода топлива (8.3.10), уравнение движения ракеты (8.3.01) при наличии внешней силы Ф можно написать в виде ао сщ кг — = — 1+6 Кс М с'1 (8.3.13) где 1 — единичный вектор направления тяги, г =(х, у, г) — радиус-вектор ракеты в неподвижной системе координат Охре, 1 6 = — Ф, с в модуль относительной скорости истечения газов. К уравнениям (8.3.13) можно присоединить еще три условия: а) условие (8.3.10) (8.3.14) определяющее массу ракеты, если известна зависимость секундного расхода топлива от времени; б) тождество ! 1 ~ = — 1', + 1д„+ 1; = — 1, (8.3.15) где 1„1Р, 1.— направляющие косинусы вектора тяги; в) условие ограниченности секундного расхода топлива 0 (~ и (1) (~ т, (8.3.16) где и — максимальное значение секундного расхода топлива.
Неравенство (8.3.16) эквивалентно уравнению (52) ло (лс — ло) — оо = О, (8.3.17) где и — вспомогательная управляющая переменная. Управляющая вектор-функция и(х) в общем случае имеет компоненты 1,, 1„, 1ь и, а. Величины 1„, 1„, 1, характеризуют ориентацию вектора тяги, а — ограниченность сп(1). Если управляющий пятимерный вектор и(х) известен и непрерывен„то при заданных начальных условиях г — ко, М=Мо (8.3.18) 1 = 1а> о = оо траектория ракеты и закон изменения массы М определяются единственным образом (если сила есть непрерывная функция).
Пусть требуется определить такую оптимальную траекторию ракеты, на которой некоторый функционал Цо, г, М) принимает минимальное значение при 1 = 1Н 714 ч. чнь оптимАльные и кРАеВые ВАдАчи АстРодинАмики 143.02 $ З.ОД ГЛ. К НЕКОТОРЫЕ ОПТИМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ ПОЛЕТА 715 Функция Лагранжа (8.1.30) в данном случае будет иметь внд Р(г, и, 1, т, а,1)= — (р, — 1+6) — (Л, и)+ + чт+ р,( ~1 ~ — 1) + р,(т(т — т) — аа), (8.3.19) где р(1) =(р„р„, р,), Л(1) =(Л„, Л„, Л,), ч(1), 1А,(1), рт(1) — множители Лагранжа. Система характеристических уравнений (8.1.33) и (8.1.29) с функцией Лагранжа (8.3.19) имеет вид ЛРг — = — Л Ж вЂ” = — Л, А"у г ЛРх х — =Мг(р ') Вч хггг т мг (8.3.20) М рх + 2р'1х' О = М рг + 21А11Е сы схг 0= — — р, +2р,1„ м 0 = — — (р, 1)+ ч+ р,(т — 2т), 0 = — 2р,а. $ З.ОЗ.
Определение базис-вектора и р-траектории. Определение функций переключения Определение. Вектор р с компонентами р„рч, р, (см. (8.3.19)) называется базис-вектором траектории (20). Пользуясь обобщенными уравнениями Эйлера — Лагранжа (8.3.20), можно показать (20), что вектор тяги Т коллинеарен базис-вектору р. О и р е д е л е н и е. Годограф базис-вектора р называется р-траекторией.
Определение. Функция, определяющая порядок составления экстремалей из частичных участков (дуг), называется функцией переключения (53), (54). Можно различать функцию переключения велнчины тяги и(1) и функцию переключения направления тяги 6(1). Лналити- Система (8.3.20) содержит семь дифференциальных и пять ал- гебраических уравнений. т1а ч.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
