Справочное руководство по небесной механике и астродинамике. Под редакцией Г.Н. Дубошина (564382), страница 108
Текст из файла (страница 108)
3, численное Решение диФФеРенциАльных уРАВнения аат 16 зл4 ч. юе численные методы 6вв В случае нелинейного уравнения вида (7.3.68) с правой частью 1(1, х, х) вместо 1(1) система (7.3.71) заменится следующей: х, — 2хь+ х„ к — к +рь 2и + Л4 =114ы хы 2а ') (й=1, 2, ..., 4у — 1). (7.3.73) Вместе с (7.3.72) получим систему нелинейных конечных уравнений относительно хм ..., хл. Их решение можно искать методом последовательных приближений того или иного типа.
Системы соотношений вида (7.3.71) — (7.3.72) в случае краевых задач для дифференциальных уравнений более высокого порядка или для систем уравнений составляются аналогичным образом. Существует целый ряд вариантов разностных схем и методики решения получаемых систем конечных уравнений (см. 13), [9)). Важными являются вопросы о погрешности получаемых таким путем приближенных численных решений краевой задачи, а также о сходимости процесса при последовательном уменьшении интервала разбиения. Можно также, получив разностным методом грубое решение, использовать его в качестве нулевого приближения для метода, изложенного в $ 3 13. Глава 4 МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ РЕШЕНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ И ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ В ряде задач небесной механики и астродинамики, связанных с использованием наблюдательных данных для уточнения элементов орбит небесных тел (см.
ч. 1П) или параметров их гравитационных полей, а также в задачах приближения функций (см. гл. 1) и др. приходится встречаться с системами алгебраических нли трансцендентных уравнений, число которых значительно превышает число неизвестных. Решение и анализ таких систем уравнений, называемых условными, производится по методу наименьших квадратов, принадлежащему Гауссу. $4.01.
Постановка задачи Рассматривается система и уравнений относительно т неиз- вестных хп..., х„: 1» (%...., х ) =1» (й = 1, ..., и), (7.4.0!) причем 'и значительно больше т и 1» — в общем случае некото- рые алгебраические нелинейные или трансцендентные функции. Это — условные уравнения общего вида. Правые части 1д пред- ставляют собой обычно величины, определяемые по данным на- блюдений, и их рассматривают как случайные величины, подчи- няющиеся некоторому вероятностному закону распределения. Разности ~»(хь ..., х ) — 1» (й=1,..., и), находимые при каких-либо фиксированных значениях хь..., х, называются невязками условных уравнений и обозначаются обычно через бд.
Ставится задача найти такие значения хп ..., х , при кото- рых сумма квадратов невязок л 3(хо ..„х )=х б» Ч. ЧИ. ЧИСЛЕННЫЕ»!ЕТОДЫ н а.и аэо минимальна. Они и принимаются в качестве искомого решения условных уравнений (?.4.01). Кроме того, ставится задача найти вероятные погрешности полученного решения условных уравнений в предположении, что величины 1И ..., 1„обладают некоторь<ми средними квадратичными погрешностями. 5 4,02. Линейные и равноточные условные уравнения Пусть условные уравнения представляют собой систему линейных алгебраических уравнений вида а<их, + ... +а<„"'<х = 1„(у=1, ..., и), (7.4.03) и пусть при этом можно считать, что все случайные величины 1и ..., 1, обладают одной и той же средней квадратичной погрешностью.
Условные уравнения называются тогда равноточными, и их решение находится следующим образом. Условие минимума суммы квадратов невязок (7.4.02) как функции переменных х<, ..., х приводит к следующим соотношениям: [ап'а<п]х, + [а<»<а«1]хз + ... + [а< 'ап']х =[1а<1<], [а"'а"']х, +[а"<а<'>]х, + ... +[а<"<а<'1]х„=[1а<'1], 4 „) [а<'<а<ли]х, +[а<»>а< 1]х»+ ...
+[а<""а<"'1]х =[1а<""], где л л [ап" а<"1]= ~ а<на<»<, [1а<л<]= ~ 1 аиа (1 в = 1 в<) »-1 »=1 Эти соотношения представляют собой систему и< линейных алгебраических уравнений относительно того же количества и< не. известных х,, х„и носят название нормальных уравнений. Если исключить тот случай, когда определитель этой системы равен или близок к нулю (это говорит о неудачном выборе и о непригодности исходных условных уравнений), то решение нормальных уравнений отыскивают методом последовательного исключения неизвестных (методом Гаусса) или с помощью определителей.
В последнем случае это решение выражается формулой х» — — — (1 =1, ..., и<), (7.4.05) где 0 и 17» — определители, соответствующие общеизвестному 4 4.0в гл. е метод наименьших квхдгхтов правилу Крамера для решения линейных алгебраических уравнений. Формула (7.4.05) и определяет искомое решение исходных условных уравнений, реализующее минимум суммы квадратов невязок (7.4.02) .
й 4.03. Вероятностные оценки погрешности решения Полученное решение условных уравнений, которое выражается формулой (7.4.05) н которое обозначим через хь..., х,„, рассматривается как система случайных величин, связанных со случайными величинами 1ь..., 1„этой формулой. Существенно, что (7.4.05) определяет линейную связь между хь ..., х и 1ь ..., 1 . При этом, если общая средняя кнадратичная погрешность величин 1ь ..., 1„обозначается через о, то средние квадратичные погрешности величин хь ..., х„выражаются следующими простыми формулами: о, == (в=1, ..., т), рь — — —, (7.4.06) 1/в ' ' О„ где Рьь — диагональные миноры определителя Р (основнога определителя системы нормальных уравнений).
Числа рь ..., р, называются весами неизвестных хь ..., х соответственно. Величина о вообще неизвестна. Используется ее наиболее вероятное значение, вычисляемое по формуле от=— (?.4.07) где з — сумма квадратов остаточных невязон, т, е. невязок, со- атветствующнх решению нормальных уравнений в=,)' (а~>х, + ... + а<"ох — 1„)з. (7.4.08) С этим значением о вычисляются все о„„. Окончательна решение исходных условных уравнений записывается в следующем виде: ха=ха+о, (/г =1, ..., т).
(7.4.09) Величины о, указывают на степень уверенности определения неизвестных х„..., х из этих условных уравнений. $4.04. Неравнатачные условные уравнения Если средние квадратичные ошибки оь ..., о„ величин 1ь в правых частях условных уравнений (7.4.01) различны, то уравнения называются неравнотачными, Вообще, сами значения оь ..., п„неизвестны, но должны быть известными азу ч. чп численныа методы соотношения между ними: и,: а, '.... = д, .
в, .' ..., где дь дж . — некоторые числа. Методика подхода к решению и анализу таких систем уравнений следующая. Вводим величины р„= р/а'„(й = 1, ..., л), называемые весами условных уравнений, и выбираем число р так, чтобы вес наименее точного условного уравнения был равен 1. Умножив затем каждое условное уравнение на его вес, получим систему уравнений рд/ь(хн ..., х,„)=рь/ь (й =1, ..., и), (7.4.10) которые можно считать равноточными.
В случае линейных уравнений поступаем далее так, как изложено в 4 4.03. Распространенным является случай, когда каждое /-е условное уравнение является результатом усреднения группы предварительно полученных дг уравнений. Тогда вес /'-го условного уравнения принимается равным д;. й 4.05. Линеаризация условных уравнений общего вида Пусть даны условные уравнения общего вида (7.4.0Ц. Наиболее эффективный путь их исследования состоит в применении метода последовательных приближений и линеаризации уравнений на каждом шаге. Прежде всего требуется найти каким-нибудь способом приближенное решение х',, ..., х' исходных условных уравнений, для которого невязки более или менее малы.
Примем его за нулевое приближение. Полагая в (7.4.01) х = х'„+ Л,х (й = 1, ..., и), (7.4.!1) к решению исходных условных уравнений (7.4.01). разлагаем левые части этих уравнений по степеням Л1хь и отбрасываем все члены выше первого порядка, приходя таким образом к линеаризованным уравнениям относительно Л~хд. Если эти уравнения равноточные (или приведены к равиоточным), то методом, описанным в $4.03, находим решение этих уравнений Л1хн ..., К~х,„и соответствующие средние квадратичные погрешности оы и получаем первое приближение х~'~= ха +Ь,х„~= о, (й= 1, ..., вг) (7.4.12) 693 ЛИТЕРАТУРА К ЧАСТИ Ч!! Полагая далее х = х!'1 + А хй (й = 1...,, пг) (7.4.13) и линеаРизУЯ Условные УРавненин длЯ Атхг, ..., Ьех»ь находим аналогичным образом Азхй, озй и второе приближение х!21 = х!'1 + Ь х ~ а й й 2 й 2й (7.4.1 4) и т.д.
Процесс продолжается, вообще, до тех пор, пока два со- седник приближения не совпадут друг с другом в пределах же- лаемой точности. ЛИТЕРАТУРА К ЧАСТИ ЧП !. Бр зу яр Д., Клеменс Дж., Методы небесной механики, гл. 1Ч, Ч «Мир», !964. 2. Ч е б от врез Г. А., Аналитические и численные методы небесной механики, гл. Ч1, «Нзукз», 1965. 3, Березин И. С., Жидков Н. П., Методы вычислений, т. 1, Физмзтгиз, 1959; т. П, Физмзтгиз, !960.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
