Справочное руководство по небесной механике и астродинамике. Под редакцией Г.Н. Дубошина (564382), страница 103
Текст из файла (страница 103)
Отсюда вытекает следующая приближенная формула: в ('(1) ж —, ~ х((1+ х) дх. В (7.2.2!) й 2.03. Численное интегрирование функции по таблице ее значений с настоянным шагом Формулы для вычисления определенного интеграла « (= ~ ! (1) д( л (7.2. 22) Общий вид формул Ньютона — Котеса следующий: л (= ~', А«(«, «=в (7.2.23) где А« = (Ь вЂ” а)Н«и числа Н«, не зависящие от а, Ь и функции ((1), называются числами Котеса. Формула (7.2.23) при фиксированном л точная, т.е. знак ж заменяется на =, если ((1) — полипом степени и или ниже при и нечетном и степени п + 1 или ниже при и четном.
При и = 1 (7.2.23) совпадает с формулой трапеций ((а + (~) (7.2.24) с помощью таблицы значений подынтегральной ф«нкции ((11 называются квадратурными формулами. Наиболее простые из них получаются, если имеется таблица значений ((1) в равноотстоящих углах. Это — формулы Ньютона — Котеса, выводи. мые путем замены функции ((1) ее интерполяционным полиномом Лагранжа и последующего буквенного интегрирования. 1. Обозначим 1«=1«+йй, А=О, 1, ..., и, л=(Ь вЂ” а)(п, 1«=а, 1л=Ь, ((1«)=(« 4 ева гл.а чнслзнноа днффвванцизовлнне и ннтвгенвованне айэ при и = 2 — с формулой Симпсона 1т — Ц~+ 4~, +~,). (7.2.25) При п = 4 имеем 1т эо (71а+ 327, + 12), + 321з+7~а) (7 226) и при п=б (417з+ 216~~ + 27~з+ 2727з+27~4+2167з+417з). (7.2.27) Теоретические оценки остаточных членов )т„(и = 1, 2, 4, 6) этих формул, т.
е. разностей между точным значением! и правой частью (7.2.23) при указанных а, следующие: Л' Ч 1 )~ 1< 1з Мг ~ 4 ~ ~ эо М (7.2.26) где М,— верхняя граница абсолютной величины производной Р'(1) Формулы Ньютона — Котеса при и = 3, 5 менее выгодны с точки зрения величины оценки их остаточных членов. При больших п эти формулы неудобны из-за того, что коэффициенты Нь велики и имеют чередующиеся знаки. 2. Широко применяются обобщенные формулы трапеций и Симпсона, получающиеся, если интервал (а, Ь) разбить на и частей равноотстоящнми узлами 1н ..., 1„с шагом Ь и к каждому малому интервалу (1д, 1ц~~) применить формулу (7.2.24) или к каждой паре интервалов (1ы 1ь~~), (1ьэь 1ь+з) (тогда и четное) применить формулу Симпсона (7.2.25). Тогда 7=Ь(з 1о+6~+ +1 -~+ д ~.) (7229) или з Иа + 1п) + 4 Й + 7з + ° ° ° + ~~-~) + 2 (Рз + Р4 + ° ° ° + 1л-з)1.
(7.2.30) Оценки остаточных членов этих формул ~ Я1~ (~~ Ь Мм ~ ц 1( ~е~ Ь'Ма (7.2.31) соответственно, и ам ч чп. численные методы бао $2.04. Квадратурные формулы Гаусса ) 1 (г) й ~~~ А 1 (1~), (7.2.33) где 1„..., 1„— нули полинома Лежандра Р„Я. Коэффи- циенты Ад все положительные и определяются в зависимости от Гь..., Г„по формуле 2 (1- ОЫ(')3' ' Полипом Лежандра Р„(г) выражается формулой ай Р (1) = — — ((1д-1)"1 Его нули равны при о=3: 1~ = гз = 0,774597, Гд — — О, А,=Ад= —, 9 ' А,=— 9 1 (7.2.34) (7.2.35) при п=4: — 1, = гд = 0,861136, А, =А,=0,347855, при о=8: 11 = гв = 0 960290 гд Г, = 0,796666 гз = Гд = 0,525532, — Гд = 1д —— 0,183435, — 1~ = г~ = 0,339981, Ад = Ад = 0 652145 А, = Ад —— 0,101229, Аг = Аг 0,222381, Ад — — Ад = 0,313707, А4 = Аа = 0,362684.
1. Пусть имеется интеграл (7.2,22) и и узлов 1д (й = 1, ... ..., л), в которых вычисляются значения 1д(1д), могут быть выбраны произвольно. Ставится задача подобрать эти п узлов так, чтобы приближенная формула ь и ~1(1)~1гж ~ Адгд (7.2.32) а д-1 становилась точной при соответствующих коэффициентах (не зависящих от 1(Г)), если 1(1) — полипом как можно более высокой степени М. Тогда (7.2.32) называется формулой Гаусса или квадратурной формулой, имеющей наивысшую алгебраическую степень точности. При этом показывается, что У = 2п — 1. (Алгебраическая степень точности формул Ньютона — Котеса при и+ 1 узлах равна и+! или а.) Формула Гаусса непосредственно выписывается для интеграла с нормированным интервалом интегрирования ( — 1, 1): 1 В $2.041 ГЛ.
2. ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНтЕРРИРОВАНив $51 Подробные таблицы с коэффициентами АА и узлами (А формул Гаусса при а ( 48 имеются в (!6]. Для интеграла на произвольном интервале интегрирования (а, Ь) формула Гаусса имеет вид ь л 1(1)((~' " ~'А41(а,), (7.2.36) где Л42„— верхняя граница абсолютной величины производной 1(2")(О.
2. Формула Гаусса обобщается на интегралы вида 7 = ~ р (() 1 (() ((, а (7.2.38) где р(с) — весовая функция (положительная и интегрируемая). Интегралы с весовой функцией р(с) =(с — а) (Ь вЂ” г), где а, р — произвольные вещественные числа, называются интегралами Якоби. Общий вид квадратурной формулы типа Гаусса (т, е. имеющей алгебраическую степень точности 2а — 1 при п узлах) для интегралов Якоби в случае нормированного интервала интегрирования ( — 1, 1) следующий [16): ~(1 — 1) (!+() 7(Х)сйж~ Аь)(СА), (7.2,39) Ь+а Ь вЂ” а где и,=, + 1 и Аю сь — те же, что и в (7.2.33) Формулы Гаусса являются часто наиболее эффективными, т. е.
позволяют вычислять интеграл на произвольном интервале интегрирования с заданной точностью при минимальном числе узлов (более подробно об оптимальном выборе квадратурной формулы см, в (91). Оценка остаточного члена )т„формулы Гаусса (7.2.36) имеет вид (Ь вЂ” а)2л+~ ( 1)4 '~'~ И )) (Ел+1) М ч.чп.числанныя методы где 1!,..., 1„ — нули полинома Якоби Р~~ з!(1)=, „(1 — !) ~(1+1) з — „„-~(1 — 1)'~" (1+!)~+"з (7.2.40) и коэффициенты А» выражаются формулой А» = 2'~~~ ), (7.2.41) в! Г (а + Р + в + 1) (1 — ф г)йР~„"' З! (!»)/й!Дз ' à — гамма-функция Эйлера. Имеются квадратурные формулы для ряда частных случаев (7.2.39) при различных а, 5. 1 При а=5= — — имеем формулу 2 ! Л йж~~~ АД(1»), А,= ...
=А„= —, (7.2,42) -1 » ! называемую формулой Эрмита. Узлы 1!, ..., 1„в этой формуле являются нулями полинома Чебышева Т (1) (см. $1.07). Оценка остаточного члена следующая: — — Мз„. и 1 2~ ! (2в)! (7.2.43) Приведем значения 1» при и = 3, 4, 5: 1 =О. Квадратурные формулы вида (7.2.42) с одинаковыми коэффициентами А» носят название формул Чебызиева. Интересен частный случай интегралов Якоби при 5 = О.
Тогда замена переменной (1 — 1)!2 = х приводит к интегралу вида ! ~ х'!р (х) з(х. з (7.2.44) В (16) приводятся для такого интеграла значения узлов х» и ко- эффициентов А» квадратурной формулы вида (7.2.39) при раз. личныхп(8 иаат — 0,9до 5, п=3, п=4, п=5, !! =1»=0 707107, г! = 1» = 0,794654, — г! = !з = 0,832497, !2=0, !з = 1з = 0,187592, !з = 1» = 0,374541, 2 2.02! ГЛ. 2. ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ 663 Например, при п= 4,8 на=†х1 = 0,0336483, х2 = 0,276184, хз = 0 634677 х2 = 0,922157, п=8~ в 2.05. Численное интегрирование сильно осциллирующик функций Пусть требуется вычислить интегралы !, = ~ !'(!)созе!2!1, 72= ~ !(!)з!пв!2!1, (7.2,45) где о достаточно велико, интервал (а, 5) значительно больше и/ы и подынтегральная функция имеет на интервале (а, 5) много нулей, т.е.
сильно осциллирует. Квадратурные формулы, рассмотренные в предыдущих параграфах, если не разбивать интервал (а, 5) на очень большое число частей, значительно теряют в данном случае свою точность. Метод построения квадратурных формул для интегралов (7.2.45) состоит в том, что функция !(!) аппроксимируется алгебраическим полиномом р„(!) некоторой степени и, а получающиеся после этого функции р„(!) соз ы1, р„(!) В1п о! интегрируются буквенно.
Возможно также сначала разбить весь интервал (а, 5) на большое число частей и аппроксимировать !(!) в каждом малом интервале своим палиномом. При разбиении (а, 5) на п = 2Ж частей и аппроксимации ~(!) в каждой паре интервалов квадратным трех- членом (некоторый аналог обобщенной формулы Симпсона) получены следующие формулы (см. (9), (11)): !,жй(аИРВ!пм!и — !аз!пм!о)+ ВСЕ+ уС2) (7 2 46) 12 ж Ь [а(72 соз в!о — !л соз в(„) + 65, + у82), (7 2 47) х, = 0,00902738, х2 = 0,0793006, хз = 0,209779, х, = 0,38!771, х, = 0,570636, хз = 0,749317, х, = 0,892222, хв = 0 978914. 0,5 имеем А, = 0,725368, А2 — — 0,627413, Аз = 0,444762, А» = 0,202457, А, = 0,378901, А2 = 0,365207, Аз = 0 338313 А2 = 0,299192, Аз — — 0,249258, Аз =- 0,190317, Ау — — 0,124507, А, = 0,0543049.
Ч. Чп. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ 664 где а = (рз + р Б 1п р соз р — 2 3!и р)/рз = — Рз — —, рз + ..., ~=(431пр — 4рсозрурз = з 11з Ро+ 21о Ра+ - ° ' 4 2 1 у =2(р+ Рсоз Р— 23!прсоз РУф= з + 1Б Р + 1ОБ Р + ° 2 2 а 4 С1 — )1 СОБ Ыаа + 13 СОБ Ы13 + + ал 1 СОБ о»1л Со= — )осоз ао(о+ 73соз Оз(а+ " + 1л-асоз ы1л-а+ — )лсоз 331л, 1 (51 и 23 — аналогичные суммы для 7(1) 31пао1 и р=аой, !»=а+ йй, й=б, ..., и, 13=о, 1»=й п — четное число). й 2.06. Правило Рунге практической оценки погрешности квадратурных формул Теоретические оценки остаточных членов квадратурных фор. мул, приводившиеся выше, требуют составления и анализа производных подынтегральной функции. Применение этих оценок при конкретных вычислениях оказывается возможным лишь в редких случаях. Практически эффективным является следующий прием, носящий название правила Рунге (см, (3), [9)), Пусть интеграл (7.2.22) вычислен два раза по одной и той же квадратурной формуле с использованием сначала а, а затем т ~ и узлов, так что 7= с + 13»=23+ 13 ! йа ! !Ва ла! 1 — !»йл) (7.2.46) Эта формула дает достаточно надежное значение ошибки, если во всяком случае гп значительно больше п (например, т ~ 2п).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
