Справочное руководство по небесной механике и астродинамике. Под редакцией Г.Н. Дубошина (564382), страница 101
Текст из файла (страница 101)
Например, при 1п = 3 можно принять следующие два дополнительных условия: Р(з (!о) = О, 1Уйз (1н) = О. й 1.07. Среднеквадратичные приближения функций Функции !'(!) с известными значениями в узлах !ы ..., !н аппроксимируется функцией Р(!)=а,ф,(!)+ ... +а„1р„(!) (П~Лг), (7.1.28) где аы..., а„— постоянные коэффициенты и 1ра(!),..., 1р„(1)— система фуниций, удовлетворяющих условиям Х 1р1(гл) 1р! (!А) = О (1 чь !) А-О (7.1.26) (такие функции называются попарно ортогональными). Чаще всего используют в качестве функций 1рэ(!) системы ортогональных полиномов Лежандра, Чебышева, Лагерра, Эрмита и др, (см., например, (3]).
Коэффициенты ае, ..., а„определяются из условия минимума суммы квадратов отклонений )(1) от Г(!) в узлах 5= Х (Р(1А) — 11(!А)) (7.1.27) Величина 5 называется средним квадратичным отклонением г" (1) от ! (!). Функция Р(!), реализующая минимум 5, называется наилучшим среднеквадратичным приближением исходной функции ((1) данной системой Функций гее(!), ..., ~р„(!). Формулы для а„..., а„можно выписать в явном виде и и а = Х Я,)1р (!А)! 2''1р'(!А) (/=О, !...„п), (7.1,28) Соответствующая величина 5 ы, равная минимальному значению среднего квадратичного отилонения 5 для данной системы фУнкций 1РЕ(1), ..., 1Р„(1) и выРажаюЩаа точность аппРоксима- $1лщ Гл. 1. НнтеРполиРОВАние и пРиБлижение Функции а45 !4 !.от ч. т!!.
численные методы ции функции 1(1) функцией Р(1), определяется по формуле Б !„= 2" (1о(1») — аоо!р',(1») — ... — а'!ро(1 )(. (7.!.29) Важным является случай, когда узлы 1о, ..., 1!о можно выбирать произвольно внутри некоторого интервала (а, 6). Тогда в качестве системы функций !р!(1) выбирают полиномы Чебышева, обозначаемые обычно через То(1), а в качестве узлов выбирают корни полинома Чебышева Тоо»!(1). Если начало отсчета 1 и единица длины выбраны так, что а = — 1, 6 = 1, то зти корни равны 1»=сов и (Й=О, 1, ..., У). (7.1.30) Общая формула для Т;(1) следующая: Т! (1) = соз (1 агссоз 1) й 1 ~ 1), (7.1.31) причем То = — 1, Т!(1) = 1, То(1) = — 1+ 2Р, а остальные Т,(1) (1 ) 3) определяются по рекуррентной формуле Т! (1) = 21 Т! ! (1) — Т1, (1). (7.1.32) Если при построении аппроксимирующей функции вида (7.1.25) по полиномам Чебышева Р(1) = ао+ а, Т! (1) + ... + а„Т„(1) (7.1,33) используется й!+ 1 узлов и и = 31, то мы получим интерполяционный полинам, т.
е. полипом го'-й степени, совпадающий с 1(1) во всех узлах. Тогда 5 = О. Для произвольного интервала (а, 6) узлы 1» (й = О, ..., Л!) определяются формулой Ь+а Ь вЂ” а 2»+1 1» — — — + соз 2 2 2»!+2 и (7.1.34) а аргументом полиномов Чебышева в (7.1.33) служит вместо 1 переменная (21 — Ь вЂ” а). 1 Случай равноотстоящи х уз л он. Пусть узлы 1о..., ..., 1»! имеют один и тот же шаг 6, и пусть начало отсчета и единица длины таковы, что 1о = О, 1! = 1, ..., 1» = Ж. Тогда при построении аппроксимирующей функции вида (7.1.25) роль 6 ыв! гл.
ь инта»поли»овация и п»ивлижвнив еэикци* 647 ортогональных полиномов фч(/), ф,(/)..., играют следующйе полиномы: ! ь ь » !(! — 1) ... (! — « + 1) Ро,я=1, Р! У(/)=1+ Г( — 1) С!С/е» ( !) "' ( + !), ь-1 (7.1.35) (/ = 1, 2, ..., п) где С!, С!+» — биномиальные коэффициенты. В частности, Рь я(/) = 1 — —, Р, (/) = 1 — — + 2! 6! ап М' мэ М вЂ” 1 У(У вЂ” !)' Коэффициенты а, в аппроксимирующей функции (7.1.25) и соответствующая величина В„а определятся формулами ао — — М+, „'~',/(/ь)> 1 (2!+1)М(М вЂ” !)" (У вЂ” /+1) т Р а/ — ( + ( + "'(„+ + ~ /(/х)Рву(/ь) (/=1.2.....
). и и (М+ 1) (М+ 2) ... (М + 1 +Д т!» ~~/( ь)1 ~ ю (2/-1-1) М (М вЂ” 1) ... (М /+ 1) и »=о !=э (7.1.30) причем знаменатель в последней сумме при / = 0 полагается равным единице. $1.08. Сглаживание табличных значений функций Пусть в результате измерений или вычислений получена таблица значений функции /(/) в узлах /м /о ..., причем эти значения обладают случайными ошибками. Ставится задача исправить эту таблицу и получить «сглаженные» значения исходной функции в узлах, освобожденные в известной мере от случайных ошибок.
Эта задача решается путем построения аппроксимирующей сглаживающей функции Р(/). При этом в качестве Р(/) обычно выбирается среднеквадратичное наилучшее приближение функции /(/), рассмотренное в предыдущем параграфе. Соответствующие значения Р(/!) в узлах являются искомыми «сглаженными» значениями, В частности, если узлы равноотстоящие и аппроксимирующая функция Р(/) строится по каждым пяти соседним значениям исходной функции /(/) с помощью полиномов Рь,(/) (/ = = О,, 4) (см. формулу (7.1.35)), то сглаженные значения Р(!1) = Р! для пятерки узлов /и /=0,1,2,3,4 выражаются 1Э !.02 548 ч. Чн.
численные методы следующими формулами через значения ((!1) = !1 исходной функ- ции !(!) в этих узлах: Рг = . (69122 + 4~1 6122 + 4122 122), 1 Р, = 55 (2(Р+ 2711 + 12~2 — 8~2+ 2~2), Рг 55 ( 312+ 1211+ 17!2+ 1212 — 312), 1 Рз = 55 (2!г — 871+ 12!2+ 27!2+ 2гл) ! Р4 = 70 ( 12+ 471 — 6(2+ 412+ 697,). ! (7.1.37) $1.09. Равномерные приближения Функция !(!) с известными значениями в узлах !2, ..., !м аппроксимируется функцией Р(!), которая ищется в виде (7.1.26) с помощью системы ортогональных функций. Однако в отличие от $ !.07 коэффициенты а1 в (7.!.26) ищутся из условия минимума отклонения Р(!) от !(!) по абсолютной величине, т.е.
минимума функционала гпах! Р(1„) — 1(!2) ! (Уг =О, 1, ..., У). (7.1.39) Функция Р(!), реализующая минимум этого функционала, называется наилучшим равномерным приближением функции )(!) данной системой ортогональных функций 1рг(!),..., 1р„(!), а минимум функционала (7.!.39) представит собой наибольшую абсолютную погрешность 6 этого приближения. Формулы (7,1.37) можно записать в ином виде, используя таблицу разностей функции !(!), а именно: Р1=~1 о !'! (1=0 4) ! Я 2 12 55~2~ ( ' ' ) Р,=1,— 4Л (1=1, 3), ' ' 55 '* где Д вЂ” четвертая разность в строке, соответствующей узлу !2.
Отсюда вытекает следующий упрощенный метод сглаживания с помощью четвертых разностей. А именно, после того, как в каждой строке вычислены четвертые разности 14, эти разности, умноженные на 3/ЗБ, вычитаются из соответствующих значений функции !1. Таблица исправленных в каждой строке 5 значений 1 — — 12 отвечает более гладкой кривой. / 35 $ шв1 гл. !. интггполигоевння н пгивлиженив етнкции 949 $ !.!О. Аппроксимация периодических функций с известным периодом тригонометрическими полиномами по методу наименьших квадратов 1. Пусть даны значения функции !(!) в равноотстоящих узлах !ь ..., 1лэ!, причем 1(!и+!)= 1(!!) и число Т = 1~+! — !! рассматривается как период функции 1(!). Ставится задача аппроксимации этой функции тригонометрическим полиномом вида Р(1)=Аз+ ~~! ~Аэсов ~ !+Вэв!п — „1) (2п+1~(У).
(7.1.40) в=! Коэффициенты Ам ..., В„ищутся из условия минимума среднего квадратичного отклонения В= Х У(!1) — Р(!!)Р, ! 1 и окончательные формулы для них следующие: Ав= м ~~', 1(!!), 1 ! ! 2 %! 2я« Ав= — хт !(!!) сов — „ !=! 2 ч ! . 2я« Вэ= !! У !(1!)в!и г !! 1=1 (Й=1, ...., У). (7.1.42) В качестве системы ортогональных функций фо(!), ф!(!)~ часто выбирают систему полиномов Чебышева, а наилучшее равномерное приближение Р(!) ищется методом итераций (см. [3), т. 1).
Наилучшие равномерные приближения строятся также для функций непрерывного аргумента, и онн применяются для непосредственных вычислений значений многих распространенных функций. Приведем примеры таких приближений для некоторых функций, а также наибольшие абсолютные погрешности 5 этих приближений на определенном интервале изменения ! (см. (14)): сов ! ж 1 — 0,49670! + 0,037051, 0 ~(! ( —, Ь = 0,0069, А!+0,31755!+0,20330!э, 0~(!» (4, 5=0,001, е-! ю 1 — 0,96641+ 0,353612, 0 «~ ! «(1п 2, 5 = 0,003. ч. чн.
численные методы [$1.1 1 СООтВЕтСтнуЮщая ВЕЛИЧИНа 5»11 МИНИМуМа 5 ВЫраЗИтСя фармулой и л 5 Д' )з(1) ~ (1 Аз+ р В») (7 1 43) где 1» = р» = У/2 при 2Й чь Мр и 1» = У, р» = О при 2й = Мр (р — целое число или нуль). Коэффициенты Ам Ам В» аппроксимирующего тригонометрического полинома связаны с точными значениями коэффициентов Фурье Аы В» функции 1(1), если она разлагается в равномерно сходящийся ряд Фурье, следующими формулами: Аз — — Аз+А», + Азл+ ° ° ° А, =А»+ Ал-»+ Ан+»+ А»»1-»+ А»н+»+ ° ° ' ) (7 1 44) В» —— В» — В»,-» + Вн+» — Вгн-» + В»пэ» (й=1, 2, ..., п).
Отсюда видно, что если коэффициенты Фурье убывают по мере возрастания номера довольно быстро, то при небольших й А»жА», В»жВ». Аож Ао 2. Пусть узлы 11, ..., 1н расположены произвольно, но период исследуемой функции 1(1) известен и равен Т. Тогда аппроксимирующий полинам Фурье (7.1.40) и условие минимума величины 3, как условие для нахождения коэффициентов Аз, Ам В», осгаются без изменений. Пусть при этом У значительно больше, чем 2п+ 1.
Тогда коэффициенты Ам А»„В» определяются из системы так называемых условных уравнений Аз+ ~~1 (А»соз — 11+В»з|п — "1~)=1(1~) (7.1.45) » 1 (1=1, 2, ..., У), решаемых по методу наименьших квадратов (см. гл. 4). й 1.11. Аппроксимация условно-периодических функций с известными частотами полиномом Фурье по методу наименьших квадратов Пусть значения функции 1(1) заданы в произвольных узлах 11, ..., 1„ и известно, что 1(1) — условно-периодическая функция С несколькими, например, тремя, определенными частотами Э.гля гл. ь интвэполнвов»нив и прнвлижвния эвикции 651 вь вз, вз. Аппроксимирующий полипом Фурье ищется в виде л В (!) = ~ [А»~,„соз (йв, + 1вз+ тгзз) !+ !»!+П!+!»! з + Вы з!и (йщ, + !и + лиаз) 1]. (7.1.46) Количество узлов должно значительно превышать общее количество искомых коэффициентов А»л», В»з .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
