Справочное руководство по небесной механике и астродинамике. Под редакцией Г.Н. Дубошина (564382), страница 100
Текст из файла (страница 100)
80, то таблица разностей вида 81 будет содержать лишь разности с отрицательными нижними индексами. Для вычисления )(г') прн 1' = (о, (" = (э+ дЬ используют формулу (7.1.08), но в этом случае д = ((" — (о) /Ь > О. Точно так же можно экстраполировать ((() для значений 1 слева от начала табл. 80. Тогда применяется формула (7.1.05) при д(О. Ценность формул Ньютона состоит в простоте структуры коэффициентов, в возможности экстраполяции и в возможности непосредственной интерполяции между узлами вблизи краев табл.
80, когда соответствующие разности с нижними индексами О, 1 или 1(2 отсутствуют. Формулы Стирлннга и Бесселя, вообще, более точные, чем формулы Ньютона. Формула Бесселя особенно удобна при интерполяции в точках, близких к середине интервала, Формула Эверетта часто применяется при субтабулировании, т. е. для составления новой таблицы значений функции ((() с более мелким шагом. Формула Лагранжа: и )(~) =К „„;;.РО„,„„~, (7.1.10) с "л С В ьая гл. ь интегполиювание и пгивлижение вкнкцип 639 Это — самая общая интерполяциоииая формула, выражающая значение функции в точке 1 непосредственно через значения этой функции в и+ 1 узлах гм ..., 1„, причем расположение этих узлов произвольное, а 1 принадлежит интервалу (1м 1„).
Правая часть (7.1.10) — полипом по й Если узлы равноотстоящие, с шагом й, то формула Лагранжа приобретает следующий вид: ,,л сс 1(1)-( 1)" '" "',"" "','1" ( — 1)','" 1п (7.1.11) г=а где ф— биномиальные коэффициенты, д = (1 — 1о)/й. Полипом в правой части (7.1.10) называется полиномом Лагранжа, и он дает приближенное представление функции 1(1) на всем отрезке ((м 1„).
Он может применяться не только для вычислений промежуточных значений 1(1), но и для различных операций с этой функцией (дифференцирование, интегрирование и др.). Наивысший порядок разностей, сохраняемых в интерполяционной формуле, называется порядком этой формулы. Если таблица заданных значений функции достаточно обширна, то принципиально возможно составить разности достаточно высокого порядка и использовать соответственно интерполяционные формулы такого же высокого порядка.
На практике обычно ограничиваются интерполяционными формулами не выше четвертого или пятого порядков. Отбрасываемые при вычислениях члены не должны, вообще говоря, превышать по абсолютной величине погрешность, которой обладают сами табличные значения функции. Строгая оценка погрешности и сравнение интерполяцианных формул между собой по их точности производится с помощью анализа их так называемьэх остаточных членов, $1.03.
Остаточные члены интерполяциоииых формул Остаточный член Р (1) представляет собой разность между точным значением функции 1(1) в точке 1 и ее приближенным зиачением, которое вычисляется по интерполяционной формуле, оборванной на члене с разностью ш-го порядка, т. е. погрешность интерполяционной формулы порядка т. Пусть функция Д1) дифференцируема п раз (и = из + 1 или гп+2). Обозначим через М„верхнюю границу модуля производной 1" (1) в интервале значений 1, которые отвечают таблпчпым значениям й использованным при составлении интерпо. $1лз! Гл. 1, иитьРполиРОБАние и ИРивлижение Функции 64! 3 3 4 0,0078 0,0391 0,0056 0,0336 0,0034 0,0262 0,0016 0,0176 0,0004 0,0087 0,0004 0,0078 0,0016 0,0144 0,0034 0,0193 0,0056 0,0224 0,0234 1 2 0,039 0,042 0,041 0,034 0,021 0,021 0,03 0,034 0,07 0,041 0,12 0,042 0,19 0,039 0,27 — 0,5 4 — 0,4 — 0,3 — 0,2 .— 0,1 0,1 0.2 О,З 0,4 0,5 2 3 0,01 17 0.0107 0,0089 0,0003 0,0033 0,02 0,0033 0,06 0,0063 0,11 0,0089 0,17 0,0107 0,25 0,01 17 0,0078 0,0068 0,0060 0,0061 0,0040 0,0049 0,0025 0,0034 0,0010 0,0017 0,0006 0,0016 0,0009 0.0030 0,0008 0,0040 0,0004 0,0047 0,0000 0,0049 д 1 — 0,5 0,027 — 0,4 0,030 — О,З О,ОЗΠ— 0,2 0,026 — 01 0016 0,1 0,016 0,2 0,026 0,3 0,030 0,4 0,030 0,5 0,027 В столбцах 1, 2, 3 и 4 даны значения Ца и 011 для формул Ньютона интерполяции, формулы Ньютона экстраполяции и формул Стирлинга, Бесселя соответственно.
В столбце б даны значения 014 для формулы Эверетта. Приведенные числа показывают, что если ограничиться разностями нечетного порядка, то более выгодной с точки зрения 21 Пои реи. Г. И. ДубоФииа порядка в строчхах таблицы, близких к данному 1, не превышают Я +1, то, заменив в (7.1.14) й" +'М +1 на М„+1, получим практические оценки для (Й (1) (, хотя строгое соблюдение знака ( гарантировать нельзя.
В оценке (7.1.13) следует заменить в этом случае Ь +0М 40 на М +го где последняя величина превышает по абсолютной величине разности (т + 2)-го порядка. Значения величин 12Ф(д), равных Я (и)/(пр + 1)! для формул Ньютона, Стирлинга, Бесселя и Я (д)/(т + 2)1 для формулы Эверетта, дают представление о точности интерполяционных формул при различных т и д. Кроме того„эти величины представляют собой оценки коэффициентов в соответствующих интерполяциопных формулах при разностях (т + 1)-го порядка (в случае формулы Эверетта (т + 2) -го порядка) и таким образом позволяют сделать вывод о том, какими разностями можно пренебречь.
Приведем значения 170 и 041 для различных интерполяционных формул. Я ь04 ч. чп. численныв мятоды точности является формула Стирлинга, особенно при небольших )д). Если же ограничиваться разностями четного порядка, то наиболее точной является формула Бесселя. Значения Ц~ для формулы Бесселя при 0 ( д ( 0,5 и при 0,5 < д «1 расположены симметрично относительно точки д = 0,5.
Следовательно, формулу Бесселя выгодней применять всегда при д > 0 для интерполяции вперед. Погрешность экстраполяции по формуле Ньютона превы. шает все остальные. Значения Ц~ при экстраполяции при д = 0,6; 0,7; 0,8; 0,9; 1,0 равны соответственно 0,34; 0,47; 0,61; 0,79; 1,00. Они почти одинаковы при т = 3 и т = 4. Значения Я для формул Ньютона в столбце 1 изменяются очень мало при переходе от т = 3 к т = 4. Исходя из значений Цм Ць можно сделать вывод, что, например, при применении формулы Бесселя можно отбросить четвертые разности, если они не превышают 20, и пятые разности, если они не превышают 500 (в единицах последнего знака в значениях функции 7(1)).
При применении формулы Стирлинга и прп 141 ( 0,2 можно отбросить четвертые разности, если они не превосходят 300. й 1.04. Обратное интерполирование Обратное интерполирование заключается в нахождении значения аргумента, соответствующего заданному значению табличной функции. Обозначим последнее через 1„ а искомое значение аргумента 1 — через 1,. Ближайшее табличное значение функции обозначим через (о, пронумеруем соответствующим образом предшествующие и последующие значения функцви и составим таблицу разностей.
Положим 1 ° — — 1з+ лй, где п — неизвестное, так что 1, = ~(1з+ М). Вычисление и целесообразно выполнить следующим образом. Перепишем, например, интерполяционную формулу Бесселя (7,1.08) в виде 1~ л(л — 1) (л — — ) Эта формула рассматривается далее как уравнение относительно неизвестного а, и его решение ищется методом последо- а ьаи гл. !. интваполиговлнив н паивлижвние эхнкции 643 нательных приближений. В первом приближении полагают „и) 1.— Л (7.1.20) а последующие приближения н!а! (й = 2,3, ...)' ищутся по фор.
муле 1 Г а'а '!(а'" '! — 1) 6ь а!а п(ч!а а! — 1) (а'а '! — — ) Аналогичным образом можно применить формулу Стирлинга 5 1.05. Интерполирование функции двух переменных Пусть имеются значения функции )(и, о) двух переменных в узлах (ио о!) (!, 1 = О, ~1, ~2,...) таблицы с двумя входами по и и о и постоЯнными шагами изы — и, = Ь, о!+! — о; = 1. Полагая !(иь о!) = ~ь ! при любых 1, 1, введем для разностей! следующие обозначения: 1!н, ! 1ь ! = Л'а1ь ! ча разности первого !' )1 порядка Л~аа,, уа4, Лаа) Л'а)ь!+! — Л'а)ь! —— Ли~оп разности второго Ла~~, ~ Ла~) Лаа) „порядка Лютнь гы — Лаа~ ! — Ла~~ им ' ' разности третьего !ь)+' 'ь! 1~ и порядка Л"~ь !+) — Л'Чь,— ~Р~ь,.
и т. д. Наиболее простой является следующая формула, представляющая собой двумерный аналог формулы Ньютона (7.1.05) для интерполяции вперед: 1(иа+чй о+з() )аа+чЛ !Оа+зЛ !аа+ 2! Л 1аа+ + и + а (в — !) а + Ч (д — 1) (а — 2) аа) + д (д — 1) а Лй~ ~ да (а — !) Ла~ ) в(в — 1)(а — 2) Лаз~ (7 1 22) 2! 2! 3! аа 21а ч. чи. числннныз методы !э ьзз 644 где д О, о ) О. Имеется четыре варианта двумерной формулы Ньютона, получающихся в зависимости от направления интерполирования (вперед или назад) по каждой переменной и и о. Например, при интерполировании по и назад, а по о вперед соответствующая формула получается из (7.1.22) после замены всех множителей (д — 1), (д — 2), ...
в коэффициентах нз (д + 1), (д + 2),..., причем тогда д < О. Правило составления коэффициентов простое: при разностях Л'5[за выписывается произведение А, (д) В, (з), где А4 (д) и В;(з) — - коэффициенты в одномерных формулах Ньютона для интерполяции вперед илн назад прн разностях порядка й ! по переменным и, п соответственно. $ 1.06. Приближение функций с помощью сплайнов В настоящее время во многих задачах численного анализа широко используется аппроксимация функций не одним полиномом по независимой переменной 1, а системой полиномов, называемой сплайном (см., например, [13)).
Точное определение сплайна следующее. Пусть функция !(!) имеет известные значения в узлах !гь !и ..., !э, принадлежащих отрезку !з < ! < !э и расположенных произвольно. Сплайном порядка лт для этой функции, обозначаемым через 5 ([, !), называется функция, представимая на каждом отрезке [!м 1,), [!и !з), ..., [!э ь !э) полиномом степени и, совпадающая с [(!) в узлах н имеющая в каждом внутреннем узле !и ..., !э ~ непрерывные производные до по. рядка и — 1.
Можно записать: Р, (!) =— ам+ пи!+ ... + а, !", 1,(!(!ь с () !) Р; (!)= — ам+аз!+ ... +аз 1, 1,<!<1, Ря (!)= — амз+ам,!+ ... +а„!", 1„-,(!<1„ (7.1.23) где ац — постоянные коэффициенты, определяемые из условий В'"([, 1,) =1(1,) (! =О, 1, ..., )У). (й= О, 1, ...„я — 1). (7.1.21 Этп условия представляют собой систему из У(п!+ 1)+ 1 — т линейных алгебраических уравнений относительно У(т + 1) неизвестных коэффициентов а4ь Если функция !(!) аппроксимируется сплайном из линейных функций (гп = 1), то условия (7.1,23) полностью определяюг все коэффициенты а1ь Если т - 2, то для определения ам привлеиают дополнительные условия.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
