Справочное руководство по небесной механике и астродинамике. Под редакцией Г.Н. Дубошина (564382), страница 104
Текст из файла (страница 104)
где 51, Яа — соответственно вычисленные приближенные значения интеграла 7, а а(„и а»а — соответствующие остаточные члены. Как следует из теоретических оценок, эти остаточные члены пропорциональны по своей величине (1/и)» и (1/гл)» соответсгвенно, где й зависит от и н типа квадратурной формулы. Тогда согласно правилу Рунге $2.07. Квадратурные формулы для несобственных интегралов 1. Пусть требуется вычислить интеграл (7.2 49) в котором падынтегральная функция 1(1) терпит при (=Ь бесконечный разрыв. Квадратурная формула строится с помощью выделения з 1(1) множителя, который обуславливает Обращение 1(1) в бесконечность при ! = Ь илн указывает на порядок величины 1(1) при 1-» Ь вЂ” О. Как правило, можно положить [(1) =~р(Г)/(Ь вЂ” 1)» (О ( й ( 1), (7250) где функция ~р(1) конечна на всем отрезке [О, Ь). Тогда инте- грал (7.2.49) записывается в виде (7.2.51) и множитель (Ь вЂ” 1)-» рассматривается как весовая функция типа Якоби.
Квадратурную формулу для этого интеграла можно строить исходя из (7.2.39) или непосредственно, аппроксимируя у(1) соответствующим полинамом„Формула Эрмита (7.2.42) является одним из примеров подобного рода. Можно также выполнить предварительна подстановку 1~Ь = = ! — х, которая приводит к вычислению интеграла +' ~ х " р [Ь (! — х)] (х, 0 (7.2.52) г.е.
интеграла вида (7.2.44) при — 1 ( а (О, для которого имеются таблицы коэффициентов и узлов квадратурнай формулы. 2. Пусть требуется вычислить интеграл (7.2.53) $».»т! Гл. к числЕннОе ДИФФЕРЕнЦиРОВАниЕ И ИнтЕГРиРОВАнИе 666 ч. чп. численные методы в котором 1(1) убывает при 1-~со как некоторая степень 1-" (Й > 1) и может быть представлена в виде 1(1) =р(1)/(1+1)', й) 1, (7.2.54) где функция !р(1) ограничена на всей полуоси 0 (1< ео. После подстановки 1+ 1= 1/х приходим к интегралу (7.2.55) Таким образом, мы приходим к вычислению интеграла вида (7.2.44) при а ) — 1.
Более подробно о квадратурных формулах для несобственных интегралов см. в (16). Глава 3 ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ Методы численного интегрирования дифференциальных уравнений движения небесных тел получили очень большое распространение в связи с появлением электронных вычислительных машин (ЭВМ).
С помощью этих методов можно получить таблицы численных значений координат небесных тел (или оскулирующих элементов их орбит) на различные моменты времени. В !951 г. в США были опубликованы построенные таким путем таблицы координат пяти внешних планет (Юпитера, Сатурна, Урана, Нептуна) на период с 1653 по 2060 г. [17).
В 1950 и 1962 гг. в США были опубликованы таблицы координат малых планет Цереры, Паллады, Юноны, Весты [18[. В Институте теоретической астрономии АН СССР (ИТА) регулярно публикуются эфемериды малых планет, получасмые при помощи численного интегрирования. Очень широко применяется численное интегрирование при изучении движения комет и особенно в астродинамике для решения различных задач, относящихся к движению искусственных небесных тел.
При этом важное практическое значение имеют так называемые краевые задачи. Чаще всего рассматривают уравнения движения в прямоугольных координатах ввиду простоты их правых частей, Тогда обычно имеют дело с системой уравнений вида — „,' =Р,(хп ..., х„, 1) (з=1„..., п), (7.3.01) где Р,(х„..., х„1) — известные функции переменных хь..., х„ и времени й Значительно реже рассматривают уравнения относительно оскулирующих элементов орбит.
В этом случае рассматривается система уравнений первого порядка. — „'=Р,(хп ..., х„, 1) (з=1, ..., и), (7.3,02) однако правые части оказываютса значительно сложнее. ч. чп. численные матоды и з.о! ббб Большинства методов численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений рассчитано на системы вида (7.3.02). При их применении к системам вида (7.3.01) последние приводят к виду (7.3.02) заменой переменных «2 «!=У! 1 =Ум ХО=Уз,11 Уз* Имеются также методы, разработанные именно для систем вида (7.3.01) .
й 3.01. Метод Рунге — Кутта Метод Рунге — Кутта непосредственно рассчитан на интегрирование систем вида (7.3.02); он наиболее удобен при применении ЭВМ. Для того чтобы начать вычисления, достаточно знать лишь начальные значения х„= х,(10) искомых функций. Приведем сначала формулы для случая одного уравнения — =р(х, !). (7.3.03) Пусть дано начальное значение х, = х(10) и требуется вычислить значения х(1) при 1з = 1, + ЬЬ (Ь = 1, 2, 3, ...). Число Ь называется магом интегрирования. Если обозначить х(12)=хм ЬР(х, Г)=~(х, 1), то формулы, определяющие х! по заданному х, с точностью до членов порядка Ьз, следующие: 1 0 + О~ 0 4 ( 1 + 3 з)э ! 1 Ь! ! (Хо ~0) Ь2 ! (Ха+ Ь1, 1О+ Ь) 3 =1(ХО+ —,Ь2, 10+ 3 Ь).
2 2 (7.3.04) Ьхо= б (Ь! + 2ЬО+ 2ЬО+ ЬО), ! 1 1 Ь!=! (Хог 10) Ь2=1(ХО+ 2 Ь1, 10+ 2 Ь), ! 1 Ьз — !2(хо+ 2 Ьз 1о+ 2 Ь) Ь1=1(хо+ Ьз 10+Ь) (7.3.05) По формулам, аналогичным приведенным, вычисляются последовательно хз, хз,... и т. р. Формулы для Лх„имеющие погрешность порядка Ьз (зги формулы наиболее употребительны при вычислениях на ЭВМ), следующие: э кап гл.
з. числкннов гвшениз днеевгвнцизльных талвнвнии ббэ Для контроля точности применяют вычисления с половинным шагом. А именно, вычисляют х~ по приведенным формулам с шагом, равным й, а затем с шагом, равным й/2. Разность между полученными двумя значениями х~ принимают за погрешность значения хь вычисленного с шагом И. Аналогичным образом контролируют далее точность значения хз и т. д. Имеются программы вычислении на ЭВМ с автоматическим выбором шага при заданной точности.
В этом случае задается погрешность б (например, 1.10 — ') и некоторый первоначальный шаг интегрирования йа. ЭВМ вычисляет по такой программе х~ с шагом й, и с шагом й~ = йа/2 и сопоставляет полученные значения (х~)за, (х~)ль Если разность между ними не превышает по абсолютной величине б, то ЭВМ переходит к вычислению хз с шагом йа. Если эта разность больше б, то ЭВМ выполняет вычисления значения х~ с шагом йз = й,/2.
Если ) (х~) ы — (хз) аз) < 6, то ЭВМ переходит к вычислению хз с шагом й. Если это условие не выполнено, то ЭВМ вычисляет х~ с шагом йз = йз/2 и т. д. Для системы уравнений вида (7.3.02) вычисления производятся параллельно для каждого уравнения по формулам, аналогичным (7.3.04) или (7.3.05). Пусть дана система двух уравнений У(хУ1)ыФ(хУ1) (7.3.06) и начальные условия ха — — х(1а), уа = у(1а).
Обозначим 14 =1а+ йй, йУ(х, у, /) =/(х, у, 1), йФ (х, у, 1) =д(х, у, 1) х(14)=хм у(1,)=уа (й=1, 2, 3, ...). Формулы, определяющие х,, уь например, с точностью до чле- нов порядка й', следующие: (7.3.07) х,=х,+ Ьха, 1 Ьха 4 (й~ + Зйз), й,=/(ха, у, 1,), 1 йз =/(ха+ -3 йп 1 1з=У(ха+ 3 йь 2 й,=/(,+-,й„ 2 1з У(ха+ 3 йз У =Уз+ ЬУ, 1 ЬУа 4 (1~ + 31з) 1~ = У(ха Уа 1а) 1 1 у + — 1ь 1а+ — й), 1 1 Уа+ 3 1~ 1а+ 3 ") 2 уа+ 3 /м 1а+ 3 ") 2 3 "' а 3 )' 2 2 ~Э з,оз ч.
чп. числзнныя методы это По таким же формулам вычисляются далее хз, уз, хз, уз, ° ° ° и т. д. Системы уравнений (7.3.01) расписываются при применении указанных выше формул в виде систем уравнений первого порядка: — *=у„— „' =Р,(хь ..., х„, 1) (з=1, ..., л). (7.3.08) Ввиду простоты правых частей первой группы уравнений (для хо) и независимости функций г, от у„..., у„формулы упрощаются. При вычислениях по методу Рунге — Кутта значений искомых функций прн каждом последующем значении аргумента требуется вычислять несколько значений правых частей уравнений в некоторых промежуточных точках. Поэтому объем вычислений больше, чем при использовании разногтных методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений.
Однако метод Рунге — Кутта дает, вообще,' ббльшую точность, чем разностные методы. Из последних мы рассмотрим методы Адамса, Штермера, Коуэлла, так как они наиболее часто применяются в небесной механике. $ 3.02. Метод Адамса Метод Адамса является наиболее простым из разностных методов. Для того чтобы можно было начать вычисления, требуется, как и в случае применения любых разностных методов, знать значения неизвестных в нескольких равноотстоящих точках (о, 1ь 1з,...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
