Справочное руководство по небесной механике и астродинамике. Под редакцией Г.Н. Дубошина (564382), страница 107
Текст из файла (страница 107)
ч. шс численные методы 682 и кн $ 3.11. Краевая задача для квазилинейной системы с линейными краевыми условиями Пусть дана система вида х= Р(1) х+Р(х, 1, 1э), где р — малый параметр, ~(Р(О, 1, р)1-„, (~Р(х, 1, ОЦ 1ху, (7.3.46) и даны краевые условия вида (7,3.32) Ах(0) =а, Вх(1) =Ь, (7.3.47) где векторы а, Ь или равны нулю или малы по норме. Для построения решения такой краевой задачи можно применить метод последовательных приближений. П е р в о е и р и б л и ж с и н с хп>(1) удовлетворяет системе уравнений хп1= Р(1) хю+Р(0, 1, р) (7.3.48) н тем же краевым условиям (7.3.47). Имеем, таким образом, линейную краевую задачу. Находим Ф>(1) в виде Ао~о(0) = а (7.3.50) (при этом возможен случай а = 0), а ЯЕ(1) — матрица решений однородной системы х = Р (1) (х), (7.3.51) причем матрица начальных условий йг(0) определяется ношения АФ' (0) = О.
из соот- (7.3.52) Предполагается, что бе1 (ВЖ(!)) ~ О. Тогда с1 =(В)Р(1))-'[Ь вЂ” Вп (1)). (7.3.53) Если считать для простоты, что (~ а (! и )! Ь )) имеют параметра р, то ~!ио:(1)Э р, )хоп(1)!1 р. Второе приближение х1э1(1) удовлетворяет уравнений х<'1 = Р (1) х~э'+ Р (хн', 1, р) порядок системе (7.3.54) х'н = вг" (1) сп'+ в~в(1), (7.3.49) где ио>(1) — частное решение системы (7.3.48) при начальном векторе ир>(0), определяемом из соотношения (алгебраические уравнений) 4 злз< гл. з. численное гашение диффягннцихльных тгхвнении авз и тем же краевым условиям (7.3.47).
Опять имеем линейную краевую задачу„причем система (7.3,54) отличается от системы (7.3.48) для первого приближения только лишь неоднородной частью. Ищем х<з>(1) в том же виде (7.3.49) л<м = йГ (1) сц< -)- па< (1), (7.3.55) где и<т<(1) — частное решение системы (7.3.54) при тех же начальных условиях, при каких мы находили и<'>(1), а 11г(1) — та же матрица, что и в (7.3.49). Вектор с<э< определяем по формуле с<я =(ВУ~ (1)) <(Ь вЂ” Ви<м(1)). (7.3.56) Прн этом (если <<а<< р, <<Ь<<-1<) « п<м — пн' <<- ц' << скв — с< н !!-1<э, ~! х<а — л«> 1~- р'. Построение дальнейших приближений выполняется аналогичным образом.
Их сходимость гарантируется, во всяком случае, при достаточно малых р. При непосредственных вычислениях численные значения «, а также компонент векторов а и Ь краевых условий фиксируются. Выписанные выше оценки для!(х<Н й, (~ х<з< — х«> ~~ дают представление о порядке этих величин, если считать, что «, !( а !1, !! Ы( имеют один и тот же порядок. 3 а меч ание. Если систему уравнений для последовательных приближений л<Ю(1) (й = 1, 2, ...) выбрать в следующем виде (вместо (7.3.48) и (7,3.54)): дг (х<» ц, б л<м = Р + ' „ ' ' ") )х<м + дх аг (х<ь <~< б ) +~Р(х<~ '>, 1, ц) — ' „' '~ х<~ и), (7.3.57) то порядок малости цМь+« — з<м 1| по «составит не р"„а р~~.
Тогда мы получим при малых р последовательность (л<М(1)), обладающую квадратичной сходимостью, характерной для методов типа Ньютона. й 8.12. Краевая задача для системы, близкой к нелинейной невозмущенной системе Пусть дана нелинейная система вида М=Хр(а, 1)+ рЯ(я, 1) (7.3.58) и краевые условия типа (7.3.47), и пусть при р = 0 такая краевая задача имеет точное илн хотя бы приближенное решение аь(1). Полагая а = я0+ л, приходим в отношении переменной х ч. чн. численныв методы 684 !4 ззо к системе вида (7.3.46) и к краевым условиям (7.3.47) при равных нулю или малых по норме а, Ь.
Другими словами, мы придем к краевой задаче, рассмотренной в 9 3.1!. В небесной механике при р = 0 мы имеем краевую задачу для невозмущенного движения. Приближенное или даже точное ее решение можно получить с помощью формул кеплеровского движения. Прн р чь 0 имеем краевую задачу для возмущенного движения. $3.13. Применение метода градиентного спуска для решения нелинейной краевой задачи общего вида Пусть дана нелинейная система х=Р(х, 1) (7.3.69) н краевые двухточечные условия Ф(х(0), х(4) =а (7.3.60) общего вида, где Р и Ф вЂ” некоторые нелинейные вектор-функции.
Предполагается, что условия существования решения такой краевой задачи выполнены. Существование решения может вытекать н из самого физического (механического) смысла задачи, Одним из эффективных методов решения задачи является метод градиентного спуска (см., например, (20)). Ставится задача отыскания начального вектора х(0) = хо, минимизирующего величину р(хо) =!~Ф(х„х(4) — а У, (7.3,61) которая рассматривается как функция хо, и при этом х, отыскиваетсн с помощью последовательных приближений х~"' (Ь= = О, 1,..., 2), приближающихся к хо по направлению градиента функции р(хо). В (7.3.61) х(1) = х(1) ~, ~ и х(1) — решение исходной системы (7.3.59) при начальном условии х(,=о = хо, так что р зависит от хо как явно, так и неявно посредством х(1).
Нулевое приближение х„"может быть выбрано, вообще говоря, произвольно, но, разумеется, целесообразно, чтобы х', было более или менее близким к точному искомому вектору х,. Переход от любого хом' к х<"+н осуществляется по формуле х!о+и = х(ь! — аы1и (х~ы, Ь), (7.3.62) где а(х',о1, Ь) — вектор с компонентами и (х<~>, Ь) =(р(хоа!+ е,й) — р(х~'>ЯЬ (7.3.63) 0=1,2,...,л), 4 ЗЛ31 ГЛ. 3. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ИЗБ причем й — малая положительная постоянная, выбираемая произвольно, е3 — единичный вектор по оси 1чй компоненты вектора х и а<"> — некоторая постоянная, выбираемая специальным образом. Смысл вектора и(х»»>, Ь) заключается в том, что если р(хо) рассматривается как функция х,, то и(х<»1, й) есть дискретный эквивалент градиента функции р(х») в точке х»= х1»', Отсюда название метод градиентного спуска.
Для определения вектора и(х<»', й) при заданных х1»' и Ь требуется выполнить следующее. 1. Построить и + 1 решений (где и — размерность вектора х) исходной системы (7.3.69), соответствующих и+ 1 вариантам начальных условий: х ~, В=х®+е,й (для 1-го решения), х 1, = х<"1+в„й (для и-го решения), х ~, =к~~1 (для (и+ 1)-го решения) и обозначаемых через х'»1(1) (1 1, ..., а+1) соответственно, так что х1»>(О)=х»3»>+е,й, ..., х~"1(0)=х(~1+е„й, х~»1,(0)=к<~3.
2. Построить векторы х)»'(1) для этих решений на правом конце отрезка (О, 1). 3. Найти векторы Ф(х)»>(0), х)»> (1)) (/=1, ..., и+ 1), соответствующие краевым условиям (7.3.60). 4. Найти значения функций р(х',»1 (О)), ..., р(х~~> (0)), р(х»3»~). После всего этого компоненты вектора и (х~~1, Ь) вычисляем согласно (7.3.63).
Если оказывается, что р(х„'»') =О, то в следующем приближении х»~»+и нет необходимости. Постоянная а<»' в (7.3.62) выбирается достаточно малой по абсолютной величине и так, чтобы значение р(х~»+и) оказалось наименьшим по сравнению со всеми значениями р(х») для х„ определяемого по формуле х = х» — аи(х1»', й), (7.3.64) где х',м и и(х<»>, й) фиксированы. Для этого можно задать некоторую последовательность малых по абсолютной величине ч. Чн.
численные методы значений а<, а<ь ... и построить решения х, ( 1) (о = 1, 2, ...) исходной системы ( 7.3.59) пр и начальных условиях х, (0) = х<ои — а,и(х1"<, Ь) (о = 1, 2, ...), далее найти векторы х,(1), значения р(х,(0)) и, наконец, р(х<м) — р(х,(0)). Путем интерполяции или дальнейшего варьирования значений а можно найти требуемое значение а<ы, при котором разность р(х<М) — р(х, (0)) наибольшая.
Можно также применить более сложный, но и более экономный метод нахождения а<"! как стационарной точки функции р(х<м — аи(х<оо<, Ь)) с помощью итерационного процесса типа Ньютона. Нулевое приближение ао —— 0 (для простоты записи индекс Ь во всех формулах опускаем). Первое приближение а< находим следующим образом. 1. Строим два решения исходной системы (7.3.59) х! (1) — при начальных условиях х! (0) = хо — о,и(хо, Ь), хо(1) — при начальных условиях хо(0) =хо — (по+ т) и(хо, Ь), где т — произвольно выбранное малое число, и находим х,(1), (1). 2. Вычисляем согласно определению (7.3.61) величину <1 р (х, (0)) — р (х, (0)).
(7.3.65) 3. Строим два решения исходной системы (7.3.59) х (1) — при начальных условиях х, (0) = хо — (ао + ! <7 1) и (хо Ь) х, (1) — при начальных условиях х, (0)=хо — (по+1 д <+т) и (хо, Ь) и находим х,(1), х,(1). 4. Вычисляем величину <1 = р (х, (0)) — р (хо (0)). (7.3.66) Тогда (7.3.67) Таким же путем (ао заменяется во всех формулах на а!) можно найти ао и т.
д. Можно не добиваться нахождения а<"! с большой точностью, если значение р(х„'"! — а<о<и(хны, Ь)) еще существенно отличается от нуля. В результате описанного процесса найдем вектор х, такой, что с заданной точностью р(хо) = О. Решение же задачи Коши для исходной системы (7.3.59) при начальных условиях х(0) = = х, представит непосредственно искомое решение поставленной краевой задачи. 4 3.14.
Разностиый метод решений краевых задач РазностныГГ метод состоит в принципе в том, что производные искомой функции х(1) заменяются их приближенными выражениями через значения х(1) в узлах. Тогда вместо дифференциальных уравнений и краевых условий для функции х(1) получаем систему конечных уравнений (алгебраических, трансцендентных) относительно неизвестных значений хк —— х(13) этой функции в узлах. Пусть дано, например, уравнение второго порядка х + Р (1) х + 3 (1) х = 1 (1) и краевые условия а,х (О) + а3х(0) =а, Ь,х(Г) + ЬЕх(1) = Ь. (7,3.69) Отрезок (О, Г) разбиваем на Л! частей равноотстоящими узлами с шагом л = 1!'М: 1, = ЬЬ (й = 0, ..., ЬГ), Обозначим х(1,)=хм х(13)=х„, х(13)=хх и выразим производные во внутренних узлах по разностным формулам (см.
(7.2.17)) КА+! 2А ххах А+',А А ' . (7,3.70) к — 2х +х В крайних узлах 13, Ги имеем к — к ! о ка х,,— х хл Исходное уравнение (7.3.68) и краевые условия (7.3.69) заме- няем соотношениями кк, — 2х, + к к, — к„ + РА 2А + зкхх — — ГА (7.3.71) (й=1, 2, ..., Л! — 1), к! ка х, — к, а,х,+а, „=а, Ь,х„+Ь, „=Ь, (7.3.72) РА = Р (ГА) зк = 3 (13), к!А = !к (ГА) представляющими собой систему ЬГ+ 1 линейных алгебраических уравнений относительно ЛГ+ 1 неизвестных х,, ..., хи. Решив эту систему уравнений, получим таблицу значений хц, ..., х„, являющуюся численным решением поставленнои краевой 'задачи (разумеется, приближенным) . $3.!4! Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
