Справочное руководство по небесной механике и астродинамике. Под редакцией Г.Н. Дубошина (564382), страница 105
Текст из файла (страница 105)
(а не только в начальной точке 1о). Пусть дано, например, одно уравнение (7.3.03). Пусть известны значения х((о) = хо, х(1д) = хз (й = 1, 2, 3, 4), причем 1д — — (о+ ФЬ. (Эти значения целесообразно вычислить по методу Рунге — Кутта.) Составляется таблица разностей для функции 7(х, 1)= Ьг'(х, 1) по известным значениям хы 1(хз, 1з)= 7з (й= О, 1, 2, 3, 4) (табл. 82). Значение х(1з)= хо находится с помощью разложения решения х(1) в ряд Тейлора в окрестности точки 1». Требующиеся для этого производные функции 7(х, 1) различных порядков в точке (хо 14) выражаются с помощью формулы Ньютона для экстраполяции вперед.
Это приводит к следующим выражениям; хо= х, + Ьх„, Ьх,=~, + — Ц + — ~з+ — ~з + — ~4 (7.3.09) ! 5 3 261 Далее вычисляют )(хо, гз) =(о и разности Ць, 1з, 1зл, Д, а затем по таким же формулам х, и т. д. Общая формула для вычисления Ьхз = хо+1 — хм й ) 4 по известным 1з, 1з-м 5 З,ОЗ1 ГЛ. 3. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЛИФФРРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ 571 Табл и цз 82 х, х, й(, з !а( з !з !з хз и соответствующим разностям (табл. 83) записывается в виде 1 1 5 з 3 з 251 бхз = (А+ 2 (А-у, + 12 (А 1 + 8 (А е( + 725 (А и (7.3.10) Более сложная формула, куда входят разности пятого и более высоких порядков, обычно не используется, Если требуется Таблица 83 х А-З х и-1 небольшая точность или если шаг интегрирования Ь достаточно мал, то можно ограничиться в этой формуле разностями третьего или даже второго порядка.
Ч. Ч11, ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ 1$ ааз 2 3.03. Метод Коуэлла Пусть известны значения хм х» н ..., х»,, й ) 4 и составлена таблица разностей (табл. 84). Таблица 84 1»- л з (1» 1=а) "» — 1 (11 ) ()») ()з (1») ()»+ „) (1»+ 1) (х»+ 1) При нахождении х»+! по методу Коуэлла применяется, как в методе Адамса, разложение решения х(1) в ряд Тейлора в окрестности точки 1Ы но выражения для производных функции ((х, 1) в точке (хм 1») составляются на основании интерполяционной формулы Стирлинга. Это приводит к следующим выражениям: х»+, =х»+ Лх», Ах =1 + — )1+ — )а — — (а — — !' 1 1 1 1 »» 2» 6» 24» 720 ы (7.3.11) (7.3.12) Эти разности, а также разности 1»а, !»4 неизвестны (их нельзя вычислить с помощью лишь значений !» и ..., 1»).
ПоэтомУ вычисление Лх» по формуле (7.3.12) проводится с помощью вкстраполяции разностей четвертого порядка и последовательных приближений. Пусть )4» »=а. Тогда в первом приближении полагают, что четвертые разности ~'„ н )» также равны а. С этими значениями четвертых разностей вычисляют (в первом приближении) разности )»1, Д, (з», отмеченные в табл. 84 скобками, а затем йт» и х»+1. где )»1, 7»» — центральные разности первого и третьего порядков соответственно, равные 1 1» 2 (~»1.
а + )» Ь) 1»» — 2 (!»+а + !»-Е) (7.3.13) $3,0Н ГЛ. 3. ЧИ ЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНПИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ 573 С этим значением ХА+1 вычисляют 13+3 и уточняют разности Ц ч ~', (в табл. 84 они подчеркнуты). Имея уточненное значение ~'„ , = а и полагая )'„' = а, вычисляем разность ~', а затем Ахн и хА+1 во втором приближении и т. д.
После аналогичных дальнейших вычислений хнн ь хА+3 приходится обычно опять уточнять хн+н поскольку уточняются разности ~3 11 Формула (7.3.12) метода Коуэлла выгодно отличается от формулы метода Адамса тем, что коэффициенты при разностях убывают гораздо быстрее. Поэтому, несмотря на ббльшую громоздкость вычислений, этот метод часто оказывается более удобным, чем метод Адамса. Вычисления для систем уравнений производятся по аналогичным формулам и таблицам разностей, выписываемым параллельно для правых частей каждого уравнения. $ 3.04.
Метод Штермера (для уравнений второго порядка) Этот метод аналогичен методу Адамса и является одним из самых простых. Пусть дано уравнение —,= Р(х, 1) (7.3.14) и известны значения х(13) = хн (й = О, 1, 2, 3, 4) в пяти точках 13 = го+ йл. Обозначив йнР(х, 1) = ((х, 1), ~ (х„гь) =73, (7.3.15) составим таблицу разностей. Формулы для вычисления ха следующие: х, 2х,— х,+Лнх„ (7.3.16) Лах, = 7, + — 13+ — ~3 + — о 133. (7 3 17) Аналогичным образом вычисляют далее ха, ху и т. д. Общие формулы для любого хн+н а )» 4 записываются в виде хь+, =2хь — хь, + Ьахь, (7.3.18) (7.3.19) Разностями выше четвертого порядка обычно пренебрегают.
Вычисления для систем уравнений вида (7,3.01) проводят по аналогичным формулам параллельно для каждого уравнения. 22 пан Ран. г. н. Дубааннн ч. зчь численные методы 674 и ээм й 3.05. Метод Коуэлла (1-й вариант) Пусть дано уравнение (7.3.14) и известны значения х(1о) =ха, ° ° ., х((з) =ха, й~>6. Обозначим снова ЙзР(х, Г)=7(х, Г), )(хн Гз)=7з (з=0, 1, 2, ...) (7,3,20) и составим таблицу разностей. Значение хз+з выражается через хз ь хд, азха опять согласно (7.3.18), а азха определяется по формуле з) Га з — — ц з "з-з 1з ь з (~д — — а) з (а-~ь ((а =а) 0~- ) х а-! (га ) (гз-и) )»-ь 1 ()з) (хза,) ()з+1) где )зз, ~', )эз — центральные разности.
Поскольку эти разности нельзя вычислить с помощью лишь значений ), (1~ й), то ГРхз вычисляют с помощью последовательных приближений так же, как и в случае уравнения первого порядка (см. $3.03). Пусть ~~~ э =а. Тогда в первом приближении полагаем, что разности ~~ „~~, )зз равны также а. С этими значениями Таблица 85 З Абб! ГЛ, 3. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ДИффЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 675 й 3.06. Метод Коуалла (2-й вариант) Пусть дано уравнение (7.3.14) и известны значения хб,..., хб. Используя обозначения предыдущего параграфа, составим таблицу разностей, причем в этой таблице добавим столбцы первых и вторых сумм, обозначаемых через 1-1, 1-2 с соответствующими нижними индексами (табл. 86).
таблица ав з-2 Хб 1 1ва 1ч, з 12 1ь з 1ч, б 16 зз 1ь 6 йза Еб 26 1аа 1 Суммы !! ', !1, начиная с 1,ь1, 1, ', составляются таким образом, что столбец значений )1 является столбцом первых разностей для ~~ ' и вторых разностей для 1~'. По одному из 226 шестых разностей вычисляем (в первом приближении) разности зза, 1' (эти разности, а также все другие, необходимые для вычисления 126, 116, отмечены в табл. 85 скобками), а затем Ь2ХА, ХА.!.!. Исходя из этого значении ха+1, вычисляем ~з,л и уточняем Разности Я, ~'„у, Ц 1, 162 ч 166, (в табл.
85 они поДчеРкнУты). Имея уточненное значение 162 а=а н полагая 166,=166 =а, вычисляем Азха и хат! во втором приближении и т. д. При даль. нейших вычислениях хаба, хафз приходится возвращаться к уточнению ха, поскольку уточняются разности Я 1, 166. ч. ше численные методы в хОЯ 676 1! ~, 1! ~ можно взять произвольно. Полагают З! , 686 ! ! з! =х — х — — ~! + — 1' — — 14 . 4 3 12 'ь 240 01 60 480 чз' значении Значение хт выражается через разности формулой В этой формуле является известной (т.
е. вычисляемой по известным значениям 1м ..., 14) только вторая сумма 1 . Остальные члены неизвестны, поэтому вычисления производятся, как и в первом варианте метода Коуэлла, с помощью экстраполяции шестых разностей и последовательных приближений. Значения х,, х,, ... вычисляются последовательно по формуле, аналогичной (7.3.24). При интегрировании уравнений движения большинства малых планет и комет с шагом л = 1О" при точности до семи значащих цифр оказывается часто возможным ограничиться в формуле (7.3.24) четвертыми или даже вторыми разностями.
й 3.03. Метод Энке численного интегрирования уравнений возмущенного движения Метод Энке численного интегрирования уравнений возмущенного движения небесных тел заключается в том, что эти уравнения записываются в специальной форме; при этом урав- й 3.07. Накопление погрешностей при численном интегрировании При численном интегрировании в результате округления на каждом шаге в некоторой неточности формул происходит постепенное накопление погрешности с увеличением числа шагов.
Как показывает теоретический анализ (см. (1), (2), [19]), ошибки в координатах (при интегрировании уравнений движения в прямоугольных координатах) после п шагов численного интегрирования пропорциональны пч. Таким образом, через каждые 30 шагов эта ошибка вообще может увеличиться примерно в 19 раз, т. е. теряется одна значащая цифра. Косвенный контроль точности при численном интегрировании осуществляется путем вычисления на каждом шаге констант интегралов решаемых дифференциальных уравнений (если такие интегралы имеются).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
