Справочное руководство по небесной механике и астродинамике. Под редакцией Г.Н. Дубошина (564382), страница 109
Текст из файла (страница 109)
4. Б у т А. Д., Численные методы, Физмзтгиз, 1959, 5. Шигалев Б. М., Мзтеметическзя обработка наблюдений, изд. З-е, «Нзуке», 1969. 6. Л и н н их Ю. В., Метод нзнменыпих квздретои и основы теории обрвботкп наблюдений, Физмзтгиз, 1958. 7. Де и и доз и ч Б. П., М з р о н И. А., Основы вычислительной мзтемзтики, Физмзтгиз, !963. 8, Демидович Б. П., Мирон И.
А., Ш уз ел о в з Э. 3., Численные методы анализа, Физмзтгиз, 1963. 9 Б их в ел ов И. С., Численные методы, т. 1, «Нзуке», 1973, 1О. Л е н ц о ш К., Прзктические методы приклидного знвлизз, пер. с англ., Физмзтгиз, !961. 11. Хе м и и н г Р. В., Численные методы, пер. с англ., «Науке», !968. 12, М як-Кр е к ен Д., Дорн У., Численные методы и прогрвммировзнве нз ФОРТРАНе, «Мир», 1969. 13. Ал берг Дж., Нильсон Э., Уолш Дж., Теория сплзйнов и ее приложении, «Мир», 1972. 14.
Коря Г. К., Кори Т., Справочник по математике, «Нзукв», 1973. 15, К от з1еиз 2 у 3., Ме!Йобе пшпег!Чпе де сз1сп1 бе рег1пгЬв!(опз Иепегз1, Аррпсзиоп вп Ч111-е зз!еппе бе Лорнет, Впп. зз1гоп., 1. ХХН1, 1959. !6. Крылов В. И, Шульгина Л. Т., Спрзвочнвя книге по численному интегрированию, «Нзукв», 1966. 17. В том ег О., С! е шеи се О. М., Ес хе г ! %. у., Тйе тес!епнп1зг соогб!пе!ез о! Йче оп1ег р1зпе12 1ог уезгз !653 — 2060. Аз1гопопь Рзрегз !2, 1951. !8. Нег яе1 Р., Вес!епйп1вг соогб!пв1ез о1 Сеген, Ренее, Зппо, Чез1з. Аз!го. пот. Рзрегз 16, риг1 3, 1962; 11, рзг1 5, 1950. ! 9.
В г о м е г О., С 1 е ш е п с е О. М., А21гоп. 3. 60, № 3, 1955. 20. Ш з иенский В. Еч Методы численно~о решения краевых задач, «Нзу. ковз думка», 1966, Часть [707 ОПТИМАЛЬНЫЕ И КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ АСТРОДИ НАМИКИ Глава 1 СВЕДЕНИЯ ИЗ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ И МАТЕМАТИЧЕСКОИ ТЕОРИИ ОПТИМАЛЬНЫХ ПРОЦЕССОВ Включение этого раздела в настоящее издание обусловлено тем, что в последние годы динамика космического полета получила бурное развитие и значительно возросло количество исследователей, интересующихся и активно работающих в этой области современной небесной механики.
При решении оптимальных и краевых задач динамики'космического полета используются методы (классические и современные) вариационного исчисления и математической теории оптимальных процессов. Математические методы, применяемые в динамике космического полета, можно условно объединить в следующие группы. а) Методы классического вариационного исчисления, связанные с решением основных вариационных задач (изопериметрическая задача, задачи Лагранжа, Майера и Больца), кото. рые формулируются без привлеченвя функций управления. К этой группе методов можно отнести и теорию экстремумов функций и функционалов Лагранжа.
В последние годы появились достаточно эффективные численные методы проверки необходимых и достаточных условий теории максимумов и минимумов, когда количество независимых переменных велико. Особый интерес представляют те методы, которые позволяют решать экстремальнгле задачи в классе разрывных или не всюду диф. ференцируемык функций. Основные понятия и определения теории экстремумов и вариационного исчисления читатель может найти в многочисленных учебных пособиях (Г. М. Фихтенгольц [Ц, И. М. Гельфанд и С.
В. Фомин [2), Л. Э. Эльсгольц [8[ и др.). Кроме того, можно рекомендовать работы Блисса [4[ — [У), Чикала [8[, Хзнкока [9[. Харпера [!О), Миеле [(Ц и др. Достаточно полный обзор перечисленных выше работ содержится в переведенном на русский ГЛ. Ь СВЕДЕНИЯ ИЗ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 695 язык сборнике статей [12), вышедшем под редакцией Лейтмана. На работы, включенные в сборник [12), мы неоднократно будем ссылаться. Следует указать и на книгу Миеле [13), также переведенную на русский язык. б) Методы классического вариа>1ионного исчисления, видоизмененные и приспособленные для решения традиционных задач (изопериметрической задачи, задач Лагранжа, Майера, Больца), сформулированных с учетом функций управления.
Среди многих работ, рассматрнваюших оптимальные траектории космического полета с этой точки зрения, следует прежде всего указать на исследования Лоудена [14) — [20), основанные на решении задачи Майера в современной постановке (в настоящем справочнике она названа «третьей формулировкой задачи Майера»). Существенные результаты в этом направлении получены В.
Ф. Кротовым [2Ц вЂ” [23), В. А. Троицким [24) — [26), Д. Е. Охоцимским и Т. М. Энеевым [27], Лейтманом [28) — [30). Наконец, в сборнике [12) можно найти изложение различных аспектов этого направления вариационного исчисления и многочисленные литературные ссылки (особенно главы И вЂ” Ч, Х1). в) Метод скорейшего спуска (или метод градиентов), который с полным правом можно было бы отнести к группе а), так как он появился еще во времена Коши. Однако большие вычислительные возможности, появившиеся в связи с современной вычислительной техникой, делают метод скорейшего спуска весьма эффективным при решении оптимальных задач динамики космического поле~а и по этой причине мы выделили его отдельно.
Эффективность метода градиентов при нахождении относительных экстремумов функций многих переменных была показана, в частности, Кюрри [ЗЦ, Розеном [32), Топкинсом [33), а его эффективность в исследовании оптимальных траекторий была установлена Штейном [34), Келли [35), Брайсоном и др. [36). Достаточно подробное изложение метода градиентов применительно к оптимальным задачам динамики космического полета, сопровождаемое весьма полным указателем литературы, дано в сборнике [12) (гл. Ч1), г) Принцип максимума Л. С. Понтрягина — один из основных методов математической теории оптимальных процессов. Изложение этого принципа содержится в монографиях [37), [38) Он особенно удобен при решении вариацнонных задач со свя. зями, содержащими ограничения на функции управления. Основные математические проблемы обоснования принципа максимума были решены его создателями (академиком Л.
С. Понтрягиным и его учениками В. Г. Болтянским, Р. В. Гамкрелидзе и Е. Ф, Мищенко). Некоторые математические аспекты принципа были изучены Л. И. Розоноэром [39). Вопросы применимости принципа максимума для исследования оптимальных взв ч. у!п. ОптнмАльные н кРАевые ВАДАчн АстРодинАмики !г !.О! движений в динамике космического полета рассматривались Лейтманом [28], [30], [40], В. К. Исаевым [41], [42] и др. д) Принцип оптимальности Беллмана (или метод динамического программирования) также является одним из основных методов математической теории оптимальных процессов.
Основы этого л!етода изложены его создателем в книгах [43], [44] и в многочисленных научных статьях. Практическое применение метода динамического программирования в динамике космического полета связано с использованием ЭВМ с большой емкостью оперативной памяти. Известно [12], что задача о минимизации интегрального функционала, зависящего от двумерного вектора управления, требует машинной оперативной памяти в 40000 ячеек. Для решения вариационных задач большей размерности требуются еще более мощные вычислительные машины. Описание принципа максимума и метода динамического программирования с точки зрения приложений в механике космического полета можно найти в сборнике [12].
$ 1.01. Понятие функционала О п р е д е л е н и е 1. Пусть У вЂ” множество (или пространство) функций у(х) (у(х)~ У, а ( х Ь), а Я вЂ” некоторое множество чисел 1.(1, ~ Л). Функционалом 1.[у(х)] называется однозначное отображение функционального множества У на числовое множество )г [2], [3], [45]. Множество У называется областью определения для функционала 1.[у(х)]; у(х) является аргументом функционала 1 [у(х)] (см. [2], [3], [45]).
Определение 2. Вариацией аргумента у(х) функционала 1.(у) называется Ьу=у(х) — у,(х) (у(х)е=У, у!(х)еву). (8.1.01) Аналогично определяются вариации производных аргумента, если у(х) й-дифференцируема на а ( х ~ 6: Ьу' = у' (х) — у', (х), Ьу" = у" (х) — у" ,(х), Ьу!'> = у!"! (х) — у]м (х). Кроме того, имеют место равенства (Ьу)' = Ьу', (Ьу)" = Ьу", ..., (Ьу)!"! = Ьу!А!. (8.1.02) О п р е д е л е н и е 3. Функциональное пространство называется метрическим, если для него определено расстояние (введена метрика), Расстоянием р(у1, уг) между двумя произволв- 9 ЬЬП ГЛ.
Ь СВВДВНиа иэ ВЛГИЛЦИОННОгп исЧИсппнна 697 ными элементами у,(х) и уз(х) множества У называется некоторая функция, удовлетворяющая следующим условиям: а) р(уь ут) = р(ув у1) для любых у~(х) я У и у2(х)ен У. 6) р(уь у ) => О прн у~ чи уь р(уь у1) = 0 для любого у1(х) сн У; в) р(уь уэ) «- р(уь у2)+ р(ум уэ) для любых у1(х) ен У, уз(х)ен У, уз(х)ен У (неравенство треугольника (см.
[3)). Здесь в качестве расстояния между элементами у,(х) и уэ(х) пространства У примем р(уп уД= х зпр ) у)п(х) — у)п(х) ). (8.1.03) 1=о а<э<э Число й может равняться О, 1, 2 н т, д. Определение 4. Функционал Е[у(хЦ называется непрерывным на кривой у = уь(х) в смысле близости й-го порядка, если для любого е ) 0 существует такое число б ) О, что при р(у, уь) ( й выполняется неравенство ! Е [у (х)) — Е [уь (х)) ! < в, у (х) еэ 1 ° уь (х) сн 1 / (8.1.04) Определение 5.
Функционал Е [у(х)) называется линейным, если Е[су(х)[=сЕ [у(х)), Е [у, (х) + у, (х)) = Е [у, (х)) + Е [у, (х)). у (8.1,05) Пусть У есть п-мерная область в п-мерном пространстве фазовых координат у =(уьуь ..., у„), с7 — множество т-мерных функций и =(иь им ..., и ) (и ен (7), управляющих изменением фазового вектора у(х), а Р„+ — — УХ 17 (декартово произведение У и (7). О п р е дел е н не б.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
