Справочное руководство по небесной механике и астродинамике. Под редакцией Г.Н. Дубошина (564382), страница 110
Текст из файла (страница 110)
Пара вектор-функций (у(х), и(х))ен ен Р„~„называется минимизирующей парой или минималью, если она доставляет минимальное значение функционалу Е [у(х), и(х)); (и+гп)-мерная область Р„в называется областью допустимых функций. Пара (у(х), и(х))~ Р„+, доставляющая экстремум функционалу Е, называется экстремалью (см. [37), [38]) . Пусть из Р„+ можно выделить такое подмножество допустимых функций, принадлежащих однопараметрнческому семейству у(х, и), и(х, р), где и — параметр, что прп и = 0 получаем миним аль у(х, 0)=у(х), и(х, 0)=и(х). (8.1,06) еэа ч. чш, оптимальные и кплгвые зхдхчп хстгодинкмики и ьш (в 1.08) где у(х) — л-мерный фазовый вектор, определяющий положение движущегося объекта, и(х) — и-мерный управляющий вектор.
$1.02. Задача Лагранжа. Множители Лагранжа. Уравнения Эйлера В динамике космического полета иногда рассматриваются вариационные задачи, использующие лишь классические уравнения движения, в которых не участвуют управляющие функции. Для решения задач такого рода могут найти применение вариацнонные задачи Лагранжа, Майера, иэонериметрическая задача, задача Больца. Пусть л-мерный вектор у(х) = (у| (х), уэ(х), ..., у„(х) ) удовлетворяет ?и уравнениям связи вида 7,(х„у(х), у'(х)) =О, х <х<х, (1=1, 2, ..., пт ч. и) (8.1ПО) н р краевым условиям Фь(хм у(хо)~ хп у(х~))=0 (й=!, 2, ..., р<2п+2), (8,1,11) 3 а д а ч а Л а г р а н ж а.
Среди всех кусочно-гладких векторов у(х) найти такой у(х), который доставляет экстремум функ- ционалу ? (у(х)! = ~ )з(х, у, у') с?х. (8.1.12) к, Необходимое условие существования решения для этой задачи сводится к достаточной гладкости функций ?, (э = О, 1. Определен не 7. l?ервой вариацией функционала ?.(у, и), определенной на однопараметрическом семействе (у(х, и), и(х, и) ), называется функционал ?.' ' (у (х), и (х)! = ( — „) (вп.оу) Аналогично определяется вариация й-го порядка: ?.' '(у(х), и(х))=( — ) Вариационное исчисление занимается исследованием экстремальных значений различных функционалов, однако для астро- динамики наиболее важными являются методы, позволяющие находить экстремумы функционалов не на произвольных функциональных множествах у, а на множестве решений некоторой системы дифференциальных уравнений вида — „„" =?(у,, ) (8.1.09) $1.04 гл. ». сведения нз вхянлционного исчисления 699 »» др др (Ь= 1, 2,..., и), (8.1.13) где функция Лагранжа Р(х,у, у') равна Р(х, у, у') =),(х, у, у') + Х Л,(,(х, у.
у'), (8.1.14) Л,(х) — множители Лагранжа. Совместное решение системы уравнений Эйлера н уравнений связи позволяют определить п+ т неизвестных у,(х), уг(х), ... ..., у„(х); Л»(х), Л»(х), Л,(х), ..., Л (х), Функции у»(х) необходимо решают вариационпую задачу для функционала (8.1.!2). й 1.03. Первая формулировка задачи Майера Пусть (и+ 1)-мерный вектор у(х) = (уг(х), у»(х),, у„(х) ) удовлетворяет уравнениям связи »р,(х, у, у')=О, х,К~х~~х> (»=О, 1, 2,..., тчп) и краевым условиям уо(хо) ао> у»(хо) =оп ..., у„(ха) =а„, у,(х,) =Ьь ..., у„(х,) =Ь„, где ао, а», ..., Ь вЂ” заданные числа. Среди гладких векторов у(х) найти такой, компонента уг(х) которого имеет при х = х» экстремум.
й 1.04. Вторая формулировка задачи Майера Пусть (и + 1) -мерный вектор у(х) = (уь(х), у» (х),..., у (х) ) удовлетворяет т уравнениям связи »р;(х, у, у') =О, х,~х(~х» (» =О, 1, 2... „т <и) (8,1.15) ..., т) н»рл (/г = 1, 2, ..., р). Условия, наложенные на (о фь и другие функции, участвуюшие в формулировках перечисленных задач, приводятся, например, в (45]. Для определения вектора зкстремалн у(х) можно воспользоваться теоремой Лагранжа. Теорема Л а г р а нж а.
Кол»поненть» у;(х) (» = 1, 2, ..., п) вектора у(х), доставляющего экстремум функционалу (8.!.!2), должны удовлетворять (кроме уравнений связи (8.1.! 0) ) уравнениям Эйлера: и р краевым условиям Уо(хо) =ао. У (хг) =а1, ..., У„(хг) =а„, (8.1.16) 'ФА(х1, у,(х1), ..., У„(х,))=0 (Ь=О, 1, ..., р <и+ 1).
Среди гладких векторов у(х) найти такой, компонента уг(х) которого имеет максимум в точке х = х1. Задача Майера в такой формулировке относится к вариационным задачам «с подвизсными концами». $1.06. Изопериметрическая задача Пусть и-мерный вектор у(х) = (У1(х), ..., У„(х)) удовлетворяет заданным краевым условиям У1(хг) - ар уг(ха) = аг, ... у (хг) = а у1(х1)=Ь1, уе(х1)=ЬЫ ..., у„(х,) =Ь„ (ап ам ..., а, Ь1, ..., Ь вЂ” заданные числа) и интегРальным связям Вида к, Ь,(у)= ~ ~,(х, у, у')йх=с, (в=1, 2, ..., Ь), (8.1.18) кр где с, — заданные числа. Среди всех кусочно-гладких векторов у(х) найти такой, который доставляет экстремум функционалу 1г(у(х)) = ~ Гг(х, у, у')йх.
(8.1.19) Если числа с, произвольные, то множество допустимык функций (см. 5 1.01) может оказаться пустым, т. е. задача может не иметь смысла. 5 1.06. Задача Больца Пусть и-мерный вектор у(х) = (У,(х), УА(х), ..., У„(х) ) удовлетворяет т уравнениям связи ~р~(х, у, у')=О, хг<х<х, (1=1, ..., та<п) (8.!.20) и р краевым условиям 111~(хг, у(хг), х1„У (х1)) =0 (lг = 1, 2, ..., р < 2п+ 2).
(8.1.21) тее Ч. ЕП1. ОПТИМАЛЬНЫЕ И КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ АСТРОДИНАМИКИ 1к 1,Ог о 1.ОП ГЛ. 1. СВЕДЕНИЯ ИЗ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ то1 Среди всех кусочно-гладких вектор-функций у(х) найти такую, которая доставляет экстремум функционалу к, То!У(хН= ~)о(х, у, у)о(к+до(хо, у(хо)* х„у(х)). (8.1.22) Существуют и другие формулировки задачи Больца [45]. Заметим также, что изопернметрическая задача, задачи Лагранжа и Майера могут рассматриваться как частные случаи задачи Больца.
$1.07. Третья формулировка задачи Майера. Обобщение теоремы Лагранжа. Характеристические уравнения (обобщенные уравнения Эйлера — Лагранжа) В задачах механики космического полета применяется другая формулировка задачи Майера. Пусть и-мерный фазовый вектор у(х) = (у1(х), уо(х), ... ..., у„(х)), описывающий состояние управляемого объекта, удовлетворяет и-мерному дифференциальному уравнению (8.1.09) — „=К(у, а, х) (хо<х<х1), ву где а(х) = (и1 (х), ио(х), ..., и (х) ) есть т-мерный вектор управления, непрерывный при всех хо < х < хн кроме, быть может, конечного числа точек разрыва. Пусть п-мерный вектор 1 имеет непрерывные компоненты и частные производные достаточно высокого порядка по всем аргументам у, и, х в некоторой (а+во+1)-мерной области О + +1, для которой допустимые значения у, а и х являются координатами внутренних точек.
Пусть, кроме того, известны начальные условия УА(хо)=УАо (й=1, 2, ..., а), (8.1.23) так что при заданном векторе управления и(х) существует единственное решение уравнения (8.1.09), непрерывное по х, но с разрывными производными в точках разрыва вектора и(х). Предположим, что на систему наложены связи, описываемые р равенствами у,=(у„..., у„; и„..., и; х)=0 (в=1, 2, ..., р <от), (8.1.24) где д,(у, а, х) — непрерывные и достаточное число раз дифференцируемые функции по всем аргументам.
Функции д. (у, и, х) должны быть такими, чтобы соответствующие им координаты уь уь ..., У„д а принимали заданные значения при х= х,; у1(х,) = у1,, (1 = 1, 2,, „д). (8.1.25) тба Ч. УН1. ОПТИМАЛЬНЫЕ И КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ АСТРОДИНАМИКИ !и 1.07 Обозначим через уе+1,1, уе+з,ь ..., у„,! значения переменных уе+1, уегм, у„при х = хь Заметим, что уее1, у ем ..., У„не связаны краевыми условиямн (8.!.25). 3 ада ч а Ма 8ер а дл я заданного х = хь Необходимо определить такой управляющий вектор и'(х), чтобы при и(х) = = и'(х) соответствующее ему решение векторного уравнения (83 .09) у*(х) удовлетворяло уравнениям связи (8.1.24), краевым условиям (8.1.25), а заданный функционал ~ (Уе.~.!. 1» Уе-!.2. 1» ' » Уз, 1) (8.1.26) принимал бы минимальное значение (см.
(20)). 3 а меча н ие. Если х! переменно, то функционал » (Ус+1,1 Ус+2,1» ° » у«.1 х1) (8.1.27) минимизируется и по хь Управление и'(х) называется оптимальным управлением, а соответствующее ему решение у'(х) уравнения (8.1.09) называется опгимальныл1 ре1иением (оптимальным движением, оптимальной траекторией). Обобщение теоремы Лагранжа. Компоненты и, (х), и (х), ..., и (х) оптимального вектора управления и'(х) и компоненты у, (х), у,(х), ..., У„(х) соответствующего ему оптил1ального решения у*(х), доставляющие минимум функционалу (8.1.26), должны удовлетворять (кроме уравнений (8,1,09), условий связи (8.1.24) и краевых условий (8.1.23) и (8.1.25)) и характеристическим уравнениям (или обобщенным уравнениям Эйлера — Лагранжа) з» Х, = ~ — с(х + )1,1, о (1 = 1, 2, ..., п), (8.
1,28) 0= — (й=1, 2, ..., т), (8.1.29) диз где функцич Лагранжа Р(х, у, и) выражается равенство,и") р(х, у, и) =- — (Х, 7) + (и, у) = « « = — ~ !1(х)!!(х, у, и)+ ~ рз(х)д,(х, у, и). (8.1.30) » ! Функция хч(х), х»л(х), ..., !.«(х) и р,(х), р,(х), ..., УР(х) суть множители Лагранпка. Таким образом, число функцив, подлежащих определению, равно 2п+т+! (и компонент оптимального решения у'(х), «) Символам (а, Ь) обозначена скалярное произведение вектараи а и Ь.
4 ьая гл. ь сведения из вхгихцпонного исчисления 703 гп компонент оптимального управления и*(х), п множителей Лагранжа Х;(х) и р множителей Лагранжа рх(х)). Эти функции определяются 2п дифференциальными или интегральными уравнениями (8.1.09) и (8.1.28) и та+ р функцпональнымн уравнениями (8.1.24) и (8.1.29), поэтому для однозначного пх определения необходимо иметь 2п краевых условий.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
