Справочное руководство по небесной механике и астродинамике. Под редакцией Г.Н. Дубошина (564382), страница 106
Текст из файла (страница 106)
Расхождения в значениях этих констант, появляющиеся на каком-то шаге, указывают на соответствующую потерю точности значений искомых неизвестных. з хзз! гл. 3. численное яишенка днФФиганцпзльных иехвнанни 677 пения сохраняют простоту, характерную для уравнений в прямоугольных координатах, но позволяют вычислять непосредственно именно возмущения.
Изменение координат за счет не- возмущенного движения может учитываться отдельно, например, по обычным кеплеровским формулам. Этот метод широко применяется в случае малых планет и комет, но вполне целесообразен во всех случаях, когда движение рассматриваемых небесных тел мало отклоняется от кеплеровского. Пусть хь хз, хз — прямоугольные координаты небесного тела Р с массой лз, движущегося под действием притяжения центрального тела 5 (с массой 1) и возмущающих сил. Его уравнения движения при условии, что в отсутствие возмущающих сил движение является кеплеровским, записываются в виде —,' = — й'(1+ т) х,/гз+ р)4, (з =1, 2, 3), (7.3.25) где йз — постоянная тяготения, г — расстояние от Я до Р и р)7, — относительно малые возмущающие части уравнений, пропорциональные некоторому малому параметру р.
Если хз (а= 1, 2, 3) — координаты тела Р в невозмущенном движении относительно Э, то уравнения относительно возмущений (отклонений от кеплеровского движения) и,=х,— хз (з = 1, 2, 3) записываются в виде д",' — — йз(1+ т)(ч) (ц) х,— иД(газ+ р)с, (а=1, 2, 3), (7.3.26) где в правых частях полагается х, = хз + и,, ч (зх!+ 2 и!) и +(х + 2 из) из+ (хзз+ 2 из) из1!™0' 1(у) =(.1 — (1+ 2а) ~*Ь и гз — расстояние от Э до Р в невозмущенном движении. Уравнения (7,3.26) и называются уравнениями Энке. Величины и„ имеют порядок и, изменяются гораздо медленнее, чем х„и шаг интегрирования для этих уравнений может быть взят гораздо ббльшим, чем для первоначальных уравнений (7.3.25).
Вместе с тем возмущающие части 1Л, сохраняют, например, в случае малых планет н комет такую же простую форму, что и в первоначальных уравнениях (7.3.25) . Если положить в правых частях (7.3.26) П =(х',и, + Фз+ хззиз)/гз', а также к,=кз, то эти уравнения становятся особенно удобными для численного интегрирования. Их решение определяет и злз ч, шь численные методы 678 возмущения и, с точностью до членов первого порядка относительно и (возмущающих масс в случае малых планет и комет). Такое решение может служить хорошим первым приближением. Что касается непосредственного интегрировании уравнений (7.3.2б), то метод может быть любым.
Чаще всего применяют метод Коуэлла. 9 3.09. Общая постановка краевой задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений. Случай линейной краевой задачи В предыдущих параграфах рассматривались методы нахождения решений обыкновенных дифференциальных уравнений прн заданных начальных условиях, т.
е. решений задачи Коши. В иа. стоящее время в астродинамнке часто встречаются задачи другого типа, а именно, краевые задачи (о ряде таких задач сказано в ч. Ч! П). Пусть дана система уравнений общего вида ' =(,(хь ..., х„, !) (з=1, ..., л), (7.3.27) заданы точки !ь ..., !ь (Й ) 2) и некоторые соотношения Ф„(х,(1,), ..., х,(!г), ..., х„(г,), ...„х„(1„)) =0 (7.3.28) (а=1, ..., н). Задача о нахождении решения системы (7.3.27), удовлетворяющего соотношениям (7.3.28), называется многоточечной краевой задачей общего вида. Соотношения (7.3.28) называются краевыми условиями. Если й = 2 (в краевые условия входят значения искомых функций в двух точках), то краевая задача называется двухточечной.
Вопрос о существовании решения общей краевой задачи весьма сложный и исследован далеко не полностью. Эта задача может а) не иметь решений, б) иметь единственное решение, в) иметь конечное число решений, г) иметь бесконечное множество решений. Более простой и лучше исследованной является двухточечная линейная краевая задача, когда система исходных уравнений л — рм(!) хт+ 7,(!) (з=1, ..., а) (7.3.29) га и краевые двухточечные условия при ! = О, ! = ! Фа(хо °, хл) — = г., ашх~(0) + Ьшхг(!) =ач (а = 1,..., н) (7.3.30т ьп 0 Х10! ГЛ. Э. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ б79 являются линейными. В (7.3.29) функции рд(1), 1,(1) непрерывны на отрезке О = 1 ~ 1, а в (7.3.30) а„я Ьгц и о0 — постоянные числа.
Краевая задача при всех 1, = О, д, = 0 называется однородной и при 1, Ф 0 — неоднородной. Условия существования решения. Пусть (~рм(1))— фундаментальная система решений уравнений (7.3.29) при всех 1, = — О. Рассматривается матрица 11 из элементов Ф,(091ь ... ...,09„;) (,!=1,2, ..., Л). 1) Неоднородная краевая задача имеет единственное решение тогда и только тогда, когда йе(Я Ф О.
2) Однородная краевая задача имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда йе1 Я = О. Важен вопрос о так называемой обусловленности краевой задачи. Краевая задача называется хорошо обусловленной, если малые изменения коэффициентов и правых частей исходных дифференциальных уравнений, а также краевых условий приводят к столь же малым по порядку величины изменениям решения. В противном случае краевую задачу называют плохо обусловленной, Методы решения и анализа краевых задач в настоящее время интенсивно развиваются и приобретают все более и более важное место в теории дифференциальных уравнений. Мы ограничимся изложением некоторых методов решения краевых задач отдельного типа, не останавливаясь на их анализе.
Более подробно можно прочитать о краевых задачах в [3], [9], [20]. 5 3.10. Метод стрельбы при нахождении решения линейной двухточечной краевой задачи Основной вариант этого метода заключается в следующем (см. [9]). Пусть дана система дифференциальных уравнений (в векторно-матричной форме) х=Р(1)х+1(1) (7.3.31) (точкой обозначено дифференцирование по переменной 1), и двухточечные краевые условия вида Ах(0) =а„Вх(1) =Ь, (7.3.32) где векторы х, 1, а и Ь имеют соответственно размерности п, л, т — г и г, Р(1) — матрица с непрерывныма по 1 элементами, 4 — постоянная матрица с п — г строками, а  — постоянная чат ица с г строками. ешение данной краевой задачи ищем в виде х(1) и(1)+о(1), (7.3.33) в оло ч.
чи. численные методы аво где п(1) — частное решение исходной системы при начальном условии, удовлетворяющем соотношеншо Лп(0) =-а, (7.3.34) а в(1) — нетривиальное решение однородной системы, получающейся из (7.3.31) при1 = — О, х = Р (1) х (7.3.35) с начальным при 1= 0 условием, удовлетворяющим соотношению Ав(0) =.
О. (7.3.36) Это векторное соотношение эквивалентно и — г линейным алгебраическим уравнениям относительно п неизвестных компонент в~(0), ..., в„(0) вектора в(0). Этн уравнения всегда имеют решение, зависящее от г произвольных постоянных.
Таким образом, нз (7.3.36) может быть найдена матрица )р'(0) с г столбцами. Если обозначить через Иг" (1) матрицу из г решений системы (7.3.35) при начальном условии (е'11=о = Ю(0), то в(1) в (7.3.33) запишется в виде в (1) = Иг (1) с, (7.3.37) где с — произвольный вектор с г компонентами сн ..., с„ При определенных таким путем п(1) и в(1) функция (7.3.33) удовлетворяет первому из краевых условий (7.3.32) при всех с. Дальнейшая цель состоит в таком выборе вектора с, чтобы решение (7.3.33) удовлетворило второму краевому условию (в точке 1= 1).
Можно сказать, что подбираются такие начальные условия при 1 = О, чтобы интегральная кривая исходной си. стемы (7.3.31), удовлетворяя этим начальным условиям, достигла бы при 1= 1 нужной точки. Отсюда название метод стрельбы. Подчинив вектор с второму краевому условию, получим В У7 (1) с + Вю (1) = Ь. (7.3.38) Если де1 [В!$' (1)) Ф 0 (7.3.39) (это — условие разрешимости поставленной задачи), то с = [Вот (1)) [й — Вп (1)).
(7.3.40) Функция х (1) = 67 (1) с + и (1), (7.3.41) где с определяется согласно (7.3.40), дает решение исходной краевой задачи. Таким образом, построение этого решения сводится к следующему; $3.10! Гл. х численное Решение диФФеРенциАльных уРАВнений Еа! 1) нахождению каких-либо численных начальных условий о(0) из системы алгебраических уравнений (7.3.34), при этом не исключается случай а = 0; 2) нахождению матрицы 27(0) из линейной алгебраической системы (7.3.36); 3) построению решения задачи Коши исходных уравнений (7.3.3!) при начальном условии х(0) = о(0); 4) построению матрицы решений Я7(1) задачи Коши для однородной системы (7,3.35) при начальных условиях йг" ~1 0 —— Яг(0), "5) вычислению вектора с из (7.3.40). Для построения решений задач Коши можно применить любой из рассмотренных выше методов.
Для иллюстрации укажем, какой Внд принимают приведенные выше формулы в случае системы второго порядка х! — — рпх1 + рмх1 + ), (1), хз = р„х, + рмхз+ 10(1) (7.3.42) и краевых условий а х, (0) + а х,(0) = а, ( а, (+ ! а, ) чь О, (7.3.43) Ь1х1 (1) + Ь,хз(1) = Ь, ~ Ь1~ + ~ Ь, ~ ~ О. Начальные условия (7.3.34) для о! (0), ох(0) примут вид а, о, (0) + азог (0) = а, (7.3. 44) откуда всегда можно подобрать значения о1(0), оз(0) при а чь 0 и а = О.
Начальные условия (7.3.36) для о1(0) имеют вид а,го1(0) + а0ш,(0) =О, (7.3.45) откуда (например, при аз Ф О) го1(0) = с, ш,(0) = — са11ам где с — произвольная постоянная. Таким образом, решение алгебраического уравнения (7.3.45) зависит от одной произвольной постоянной и искомая матрица %'(0) имеет один столбец с элементами 1 и — а1/а, соответственно. Матричное решение !01(1) однородной системы, получающейся из (7.3.42) при 11 О, 10= О, ищется при начальном условии 1=0=-( а,а) и представляет собой матрицу из одного столбца с элементами го1(1) и ШХ(1). Искомое решение краевой задачи запишется по аналогии с (7.3.4!) в виде (1) = сш1 (1) + о (1), хз (1) = сго (1) + оз (1), причем постоянная с находится из условия вида (7.3.38) Ь1 (сж1 (1) + о1 (1)) + Ьг (сиз (1) + о0 (1)) = Ь ° Задача разрешима, если Ь1го1(1)+ Ьзшз(1) = Р Ф О, и тогда с = !Ь вЂ” Ь,о, (1) — Ь,ох (1)]/Р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
