Справочное руководство по небесной механике и астродинамике. Под редакцией Г.Н. Дубошина (564382), страница 102
Текст из файла (страница 102)
Эти коэффициенты ищутся тогда из условных уравнений ~ [А»~,„сов (йгэ, + пэ, -[- гла,) 1, + +В»! з!п(йа, +)в,+таз)1,]=[(1,) (7.1.47) (з=1, 2, ..., У) по методу наименьших квадратов. $1.12. Определение неизвестных частот периодической или условно-периодической функции по совокупности табличных данных В астрономии часто встречается следующая задача.
Пусть на основании наблюдений или вычислений получены значения функции [(1) для большого количества равноотстоящих значений 1ь ..., 1»л+~ аргумента ! с шагом Ь, и изменение втой функции носит колебательный характер. Требуется аппроксимировать ее тригонометрическим полиномом вида (7.1.46)', в котором неизвестны не только коэффициенты, но и частоты и, кроме того, неизвестно само количество частот. Прежде всего ставится задача об определении частот.
Излагаемая ниже методика описана в [!О]. Перейдем к новому аргументу 0 по формуле 0 = :(! — 1~)/Ь вЂ” У, чтобы точкам 1ь ..., 1»л+~ соответствовали точки 0 = — Лг, — !У+ 1, ..., О, 1, ..., М вЂ” 1, М. Обозначим искомые частоты по аргументу 0 через аь из, ..., причем предположим, что все а! ( и. Так как частоты по аргументу ! равны ы~ = а~/Ь, то нз а! ~ п вытекает 2Ь < 2п/вл Таким образом, условие а~ и соответствует требованию, чтобы шаг й таблицы значений функции !(1) не превышал половины периода Т~ — — 2п/вь соответствующего любой из частот вь Табличные значения функции [(1), отвечающие значениям аргумента 0 = О, =Е1, ..., ~М, обозначим через [» и 1» (й = О, 1,..., У).
Вычислим величины Ь=]» — ]-~ (й=О, 1, ° °, й!), и»=]»+[-», 652 ч. тп. численныа методы 1» !зз составляющие /Ч+ 1 значений функций и(0) =/(0)+/( — 0), п(0) =/(0) — /( — 0), (7.1.40) где /(О) = /(1(0) ). Рассмотрим далее функции >>-! 1 т и . 1 Ф~ (р) = — из+ ~ и>еоз — /р+ — ил соя яр, 1=! Ф~ (р) = ~~ п> 61п"~ /р 1=! (7.1.49) аргумента р на отрезке О ( р ( /Ч.
Эти функции представляюг собой прибли>кенные выражения косинус- и синус-преобразования Фурье функций и(0) и п(0) соответственно. Определяются точки рь р», ..., соответствующие максимумам функций Ф,(р) и Ф»(р) (эти точки максимума должны для обеих функций совпадать).
Искомые частоты а>, а»,... равны а>= — р> 0=1, 2, ..., п), где и — число найденных максимумов. Практически удобно составить последовательности а» = = Ф>(й) и Ь» = Ф»(й) (й = О, 1, ..., й/) значений функций Ф>(р), Ф»(р) при целых р и выделить наибольшие (пиковые) значения этих функций или непосредственно, если они совпадают с некоторыми из а» и Ь», или с помощью интерполирования. Частоты и>,..., а„, определяемые по обеим последовательностям (а») и (Ь»), должны совпадать между собой в пределах той или иной точности. После того как аь ..., а„найдены, возвращаемся к исходной переменной 1 и записываем искомый аппроксимирующий полинам Фурье в виде Р(/) = А, + )' (А» соз а>»/+ В, з(па>»1), » ! где»>» — — а»/Ь.
В этом выражении частоты ь>ь ..., а>„уже из. вестны и требуется найти коэффициенты Ац, ..., В, по заданным 1+ 2М значениям функции /(1) в узлах 1ь ..., 1»>т+ь Эта выполняется точно так же, как указано в $1.10. Частоты ыь ..., ы„могут оказаться все точно или с очень небольшими отклонениями кратными одной и той же частоте ы. Тогда, положив Т = 2п/ь>, получим обычный полинам Фурье для функции периода Т. В ином случае следует попытаться пред- з !па гл. ь интявполниовхнив и пьивлижвнив ээнкция аай ставить все вь ..., ы как линейные комбинации нескольких (двух, трех, четырех) различных частот.
В [14] указывается другой способ нахождения неизвестных частоз по заданной совокупности значений функции !(0): 7ь=Т'(й) (Й=О, 1, ..., У- 1) при целых значениях 6 = О, 1, ..., У вЂ” 1 нормированной переменной 6. Выбирается число п («= У/3), соответствующее длине искомого аппроксимирующего полинома л г(6) =Аз+ ~; (Аьсоз ыь6-[-Вьз!пвь6) ь и равное количеству искомых частот ыь ..., ы, в этом поли- номе. Рассматривается система линейных уравнений [[ (!) + ! (2п + ! — 2)] а, + ... + [! (! + п — 2) + ! (и + 1)] а„ь + + [(1+ п — 1)а„— 1(! — 1) — ! (2п+1 — 1) =О (7.1.56) (! 1, 2...
„У вЂ” 2л) относительно аь ..., а„. Предпочтительна иметь большое число У табличных значений функции [(6), выбрать умеренное п, значительно меньшее У/3, и решать систему (7.1,50) методом наименьших квадратов (см. гл. 4). После тога как аь ..., а„найдены, рассматривают тригонометрическое уравнение созда — а,соз(и — 1)в — ... — а„, созе — — а„=О. (7.1.51) 1 Если выразить косинусы углов, кратных а, через степени сова, то (7.1.51) примет вид алгебраического уравнения п-й степени относительно у = соз в.
Корни уь..., у„этого уравнения определяют и искомых частот иь = агссозуь (й =1, ..., и) функции [(6) нормированной переменной 6. й 1.13. Выделение квековой частиэ функции по совокупности табличных значений В небесной механике имеют, как правило, дело с функциями двух типов: 1) функции, описывающие одно- или многочастотные колебания и представимые полиномами Фурье, которые были рассмотрены выше; 2) функции, обнаруживающие, кроме подобных колебаний, также изменения, пропорциональные времени (независимому аргументу).
Особенно важен случай, когда эти изменения относительно малы и представляют собой так называемые вековые возмущения. К функциям первого рода относятся, например, оскулирующие большая полуось и эксцентриситет орбиты планеты. ч. чп. числвнныв мвтоды а гпз К функциям второго рода — оскулирующие долгота узла и долгота перигелия орбиты. При анализе совокупности табличных значений функций второго рода ставится задача об аппроксимации этих функций функциями вида В(г) = А, + В,1 + Р (1), (7. 1. 52) где Р(1) — обычный тригонометрический полипом с одной или несколькими частотами без свободного члена, а А» + В»( — линейная часть функции В(() — свободный член А» плюс вековая часть Вой а) Следуя [5), укажем методику определения Ав и Вв.
Пусть [» = 1(1») (й = 1... М) — заданные табличные значения функции 1(Г). Составляем соотношения Ао + В»1» = )» (й = 1 ° ° ° У) (7.1.53) представляющие собой условные уравнения (см. гл. 4) относительно неизвестных Аа, Вю Решение уравнений ищется по методу наименьших квадратов (см. гл.
4), что приводит к следующим выражениям: А,— — ~; [  — ~'((» 1)1 ~,'(1 ()» » ! » [ » ~ = у (1~ + ° ° + Ьл). При таком выборе Ао, В» линейная функция Ав+ В»1 соответствует табличным значениям [» (й = 1, ..., М) в среднем. Разности 7(1») — А» — В»(» (й=1 " М рассматриваются как совокупность табличных значений новой функции 7(1), которую следует аппроксимировать тригонометрическом полиномом Р((). б) В [15) предложена другая методика выделения линейной части функции )'(1). А именно, рассматривается график этой функции и подбирается графически такая прямая р = Ав + В»1 и такие примерно равноотстоящие точки (м (ь г», что с, ~ ([(1) — А» — В»1) й = ~ Ц (() — Ав — ВД А1 = О.
ц а При этом равенство нулю этих интегралов проверяется с по. мощью оценок соответствующих площадей на рисунке с графиком функции [(1) и с прямой у = А»+ В»1. В [15) достигается точность определения Ар до 1' и В» до О;05 при принятой единице времени, равной одному году, Глава 2 ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ Численным дифференцированием и интегрированием называются операции по нахождению производных и определенных интегралов от функции при условии использования только таблицы ее значений, которая или задается (если мы имеем дело с табличной функцией) или может быть вычислена Методы численного дифференцирования и интегрирования основаны па приближенном представлении функций с помошью или интерполяционных полиномов или других аппроксимирующих формул, рассмотренных в гл.
1. Литература по этому вопросу весьма обширна (см. библиографию в [9), (!6]). Мы ограничимся в этой главе основными результатами, представляющими наибольший практический интерес. $2.01. Численное дифференцирование с помошью интерполяционных формул Пусть имеется таблица значений функции 1(1) с равноотстоя шими узлами, и пусть составлена таблица вида 81 ее разностей. Формулы для производных от )(1) получаются дифференцированием интерполяционных формул для этой функции. Дифференцируя формулы Ньютона для интерполяции вперед, Стирлинга и Бесселя (при этом ~(~/Ж = Ы9Хд), получим соответственно следуюшие выражения производных в точках 1 = (е + суй (О ~ (ч ( 1) вблизи узла 1о.' !6 еа! ч. м!!.
ч!!сленные методы Из формулы Ньютона для интерполяции назад получим ( — 1<6(0). (7.2.04) Для вторых производных 1" (Е) имеют место следующие выраже- ния, получаемые аналогичным образом; ~„ ( ) 1 [~з бд — б ~з 124ф — Збд + 22 ~4 (7.2.05) !26' — 2 !4 + + й) 1 [~з + 66 — 3 ~з + !2ю!' — 124 — 2 ~~ + ] (7.2.07) + ) 1 [~з + 66 + 6 ! + 124' + 364 + 22 ~» + (7.2.08) ! (д=йИ( 212+ !3 ! + 1 (7.2.09) (7.2.10) И з формул Ньютона д л я интерполяции назад: ~ Ь) Ь [~-Ъ+ 2 ~ ' 3 ~-'lю 4 ~-з+ ( О) а [~-! + ~-'!, + 12 ~-2+ (7.2.1 1) (7.2.12) И з формулы С т и р л и н г а: 1~(1) — ~ [р ! !з+ ! !з ! !г+ (7.2.13) (7.2.14) Часто используют формулы для производных в узле 16.
Они получаются из приведенных выше (частично используем более далекие члены) при д = О. Из формул Ньютона для интерполяции вперед; э».!и! гл.о. численное диффеоенциоов»ние и интегоиоов»ние взт Из формулы Бесселя: 1 (1о)= и ~1!! 1»ч + 1з + 14 + ~, (7.2.15) Формулы численного дифференцирования можно вывести. дифференцируя формулу Лагранжа (в случае равноотстоящих узлов). Тогда получаем выражения для производных, содержащие остаточный член.
Значения производных выражаются в этом случае через значения функции 1(1) в узлах. Наиболее употребительны следующие формулы: 1(!)- »(1»-10)- 61 (~). 1'(1») !ол (1о — 81!+81з — 1Й)+ зо 1!~!(1)' 1 и 1" (1)= — „', (1.— 21 +1.)-41"оВ 1" (го) — 4», ( — 2 1о + 321, — 601» + 321» — 21») + 90 1!о! (г), (7.2.17) где остаточные члены выражены через производные функции 1"', 1!о! 1(о>, 1оя в некоторых промежуточных точках Х, а 1» = 1(1»). а 2.02. другие формулы численного дифференцирования 1'(1о) = ~ол ( 21-о 1 !+1!+21») (7.2.18) 1' ((о) = 11я ~1 о — 81, +81, — 1,).
Последняя формула совпадает со второй формулой из (7.2.17). Если функция аппроксимирована полииомом Фурье Г(1) (7.1.40), то имеет место следующая приближенная формула для производной 1'(1): 1(1)-И(+ — ) — Р~1 — — )]/— (7.2.19) Формулы для производных находятся также при дифференцировании аппроксимирующей функции !о(1), полученной по методу наименьших квадратов (см. $1,07). Такие формулы учитывают сглаживание узловых значений функции 1(1), так что они меньше зависят от возможных ошибок этих узловых значений.
Приведем следующие формулы: ч. у!ь численные методы ВВВ Приведем еще одну формулу, выражающую производную через интеграл: в Г(1)=-,'11~ — '. ~ ((1+.)~. (7.2.20) В и справедливую, во всяком случае, если функция ((1) разлагается в окрестности точки 1 в ряд Тейлора.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
