Справочное руководство по небесной механике и астродинамике. Под редакцией Г.Н. Дубошина (564382), страница 113
Текст из файла (страница 113)
чш. оптимхльныа и крхввыя задачи хстродинхмики и глг ческий вид функций х(1), 6(1) существенно зависит от решаемой задачи и от участка оптимальной траектории. Анализ обобщенных уравнений Эйлера — Лагранжа, выполненный Миеле [55], Лейтманом [56], Миеле и Капеллари [57], Фридом [58), Лоуденом [18], [20], [59], [60] и другими авторами, показывает, что оптимальная траектория (экстремаль) может состоять в общем случае из дуг следующих типов: участки нулевой тяги (т(1) = — 0 и функция переключения величины тяги неположительна, х(Г) ( 0), участки промежуточной тяги (О ( т(1) ( гп, функция переключения величины тяги равна нулю, х(1) = 0) и участки максимальной тяги (т(1) = т, функция переключения величины тяги неотрицательна, х(1) ) 0).
Для двумерных (или большей размерности) оптимальных траекторий функция переключения направления тяги неотрицательна, 6 (1) ~ О. Лоуден показал [20], что базис-вектор Р(1) удовлетворяет векторному дифференциальному уравнению д»р — „„-Ч(Р, а), (8.3.21) где векторный оператор Ч определяется формулой д д д 1г=е — +а — +а —, " д» У ду » дг ' х(1) = — [Р [+ сопя[, х(1) ~(0. (8,3,22) На участке максимальной тяги х(1) определяе1гг пз дифференциального соотношения — — — х (1),1» О. дх а д[р1 ш м (г) ж (8.3.23) Равенства (8.3.22) и (8.3.23) определяют явную зависимость функции переключения величины тяги х(1) от времени 1, если решены обобщенные уравнения Эйлера — Лагранжа (8.3.20), а Р и М найдены как фучкции времени й Если ускорение г» = »г(х, у, г), обусловленное внешней силой, не зависит от времени, то уравнение (8.3.21) имеет первый интеграл (Р, ы) — (Р, о)+хт=С.
(8.3.24) а а„, е„, е» вЂ” единичные векторы. Лоуден также вывел [20] равенства, связывающие функцию переключения величины тяги с базис-вектором и массой ракеты. Ка участке нулевой тяги функцию х(1) можно определить из равенства а г.м1 гл. з. некотояыя оптимлльныв задачи динамики полвтл у17 На участке нулевой тяги и на участке промежуточной тяги (х(1) = 0) интеграл (8.3.24) принимает вид (р, 6) — (р, о) =С, (8.3.25) причем С сохраняет значение на всей оптимальной траектории. 3 а м е ч а н и е. С = О, если время перелета нефнксировано и подлежит оптимизации (20). 5 3.04.
Определение импульсной тяги. Точки соединения на оптимальных траекториях О предел ен ив. Тяга Т называется импульсной при 1= 1ь ЫМ ~ если т(11)=+со (или, очевидно, — ~ = — ао). В соответствии с условием (8.3.16) т = +со, а зто означает, что решение вариационных задач с импульсной тягой может оказаться более простым делом, так как ограничения вида (8.3.16) нли (8.3.17) отпадают.
Очевидно, участок приложения импульсной тяги вырождается в точку, называемую точкой соединения. В точках соединения меняется лишь скорость ракеты. Теорем а Лоуден а (20). В точках соединения функция переключения величины тяги к(1) необходимо имеет нулевой максимум, т. е. н(1) = =О.
(8.3.26) Лоуденом установлены (20), (60) — (62) также свойства оптимальной траектории, на которой имеются точки соединения: а) базис-вектор р(1) и его производная р(1) всюду непрерывны (в том числе и в точках соединения); б) на любом активном участке вектор тяги совпадает с базисом, причем ) р(1) ) = Р (Р— некоторая постоянная); в) на любом участке нулевой тяги ) р(1) ) ( Р; г) (р(= 0 во всех точках соединения, исключая те, которые совпадают с конечными точками оптимальной траектории. Кроме того, в точках соединения векторы р(1) и р(1) ортогональны (8.3.27) (р, р)=о.
$3.05. Максимизация высоты вертикального подъема ракеты в однородном поле тяжести Пусть исследуется движение ракеты при следующих предположениях: а) ускорение силы тяжести постоянно, й = сопз1; б) вектор тяги направлен вертикально вверх; 71а ч. чш- оптимальные и крхевыв зАдачи Астродинхмики И зш в) скорость истечения частиц с постоянна; г) сопротивление атмосферы отсутствует.
Если закон изменения массы (М = Маг(1) ) известен, то интегрирование уравнения вертикального подъема ракеты можно довести до конца. Действительно, внешнее поле определяется силой рч = — Мя, позтому уравнение (8.3.01) принимает вид й'р ИМ М вЂ” = — Мд — с —. ш Ж (8.3.28) В результате интегрирования (8.3.28) имеем о (1) = ор — я1 + с 1и — ' Мр М или, так как М = МрЦ1), (ЦО) = 1, Ц1) ~ О), о(1) = е, — я( — с!и 7(1). (8.3.29) Повторное интегрирование определяет высоту подъема ракеты как функцию времени Н(1)=ор1 Р ~1~~(1)й. о (8.3.30) Пусть Н,— общая длина всех активных участков, а Н— общая длина всех пассивных участков траектории.
Тогда высота подъема ракеты Н, равна Нр= Нь+ Нп. Мр=Мр~(1р й1 йр ., йь)=Мр — Мт (8331) можно найти 1р как функцию параметров аь йь ..., ам Обо- значим эту зависимость через 1р — — Х(йь йм ..., йр). (8.3.32) 1. Простейшая вариациоииая задача. Предположим, что выполнены условия а) — г), и пусть. кроме того, заданы масса топлива М, и некоторое й-параметрическое множество Ф функций Ц1, аь ам ..., ад). Требуется решить задачу о максимизации высоты подъема ракеты на множестве Ф.
Пусть 1р — момент полного сгорания топлива. Тогда из соот- ношения 9 КОЕ! Гл. а некОтОРые ОптимАльные зАдАчи динАмики пОлетА 7!9 Формулы ор=оь — кТ(ан а,, ..., ак) — с!и(! — — '), (8.3.33) т ат' Н,(ан Ое, ..., аь)=оьТ вЂ” — — с~ !П1(!)т(1, (8.3.34) о ь 1 Г Г М,~' Н (ан ак ... а )= — ~= — )оь — уТ вЂ” с!и!ч! — — 'л!1, и м > »=за Мк ~ (8 3.35) полученные из (8.3.29) и (8.3.30), выражают скорость ракеты и длины активного и пассивного участков как функции параметров аь аь, ам Общая высота подъема ракеты равна т етк Нк(ан аь ..., аг)=ОЕТ вЂ” — — с~ !и! (!)т(!+ ь + — ~ — ат — с !и (! — — )1 . (В.З.З6) Соотношение (8.3.36) показывает, что задача о максимизации высоты Н» в известном классе функций ! ен Ф является задачей Об исследовании на экстремум функции к переменных аь ан ..., аА (см.
(!), [9), (30), (63)). Полное решение задачи для однопараметрических семейств функций (!'(!) = 1 — а! и !(!) = = е- ', а 0) дано в(47). 2. Общая аариациоииая задача. Уравнениям (8.3.13), (8.3.!4) можно придать форму ен и'е ст ЕМ вЂ” — =о, — +у — — =о, — + =о. (в.з.з7) е! ' е! м ' ет Если секундный расход топлива ограничен, то следует добавить еще условие (8.3.17) т(т — и) — а' =О.
Пусть, кроме того, заданы граничные условия: начальные условия 1=0, Н=НМ о=вы М=М,, 1 ) (8.3.38) конечные условия 1=1„, о=о„, М=М„. 3. Формулировка задачи. В классе функций Н(!), О(!), М(!), т (!), а(!), удовлетворяющих урпвнениям (8.3.37) „(8.3.17) и грпничньсм условиям (8.3.38), нпйти такую систему функций, которпя мпксимизирует функционал к- = Нк — На где Н„ — наибольшая (конечная) высота. тяо ч ю11. О11тимАльные и кРАеВые ЗАЛАчи АстРолинАмики и Зяб а уравнения Эйлера — Лагранжа (8.3.20) принимают внд ьр ед ет сь1 — = — Л, — =О, — = — и ег ' щ Ж М'"' (8.3.41) 0 =т — р — '+ П(т — 2т), М 0 = — 2ра.
Анализ уравнений (8.3,41), выполненный Мнеле [55), [64], Лоуденом [20], Лейтманом [65], показывает, что оптимальная траектория состоит лишь из участков пулевой тяги и участков макснмальной тяги, причем на оптимальной траектории имеется только одна угловая точка, т. е. оптималь состоит из двух участков (участка максимальной тяги и участка нулевой тяги). Для данной задачи легко находится также функция переключения величины тяги х(1) [12]. Из уравнений (8.3.41) вытекает, что одномерный базис-вектор р является линейной функцией времени.
$3.06. Максимизация горизонтальной дальности полета ракеты в однородном поле тяжести при заданной программе расхода топлива Пусть движение ракеты исследуется при следующих допущениях: а) Земля считается плоской и ускорение силы тяжести постоянно, и = сопз1; б) сопротивление атмосферы отсутствует; в) программа расхода топлива ст!М вЂ” заданная функция времени [(!); г) вектор тяги Т(Т„ТР) всегда лежит в вертикальной плоскости Оху, гроходящей через точку запуска О; д) двигатель работает прн 0~1(11, после чего выключается и ракета дальше движется под действием силы тяжести; е) скорость истечения продуктов сгорания с постоянна. Формулировка з а дачи. Требуется найти функцию 8(1), управляющую ориентацией силы тяги, обеспечивающую максимальную горизонтальную дальность ракеты 5 = ОВ (рнс.
81). Движение ракеты описывается системой уравнений их ау ! ! (8.3.42) — „" = [(1) соз 6 (1), —," = [ (1) ейп 8 (1) — д. Функция Лагранжа (8.3.19) для данной задачи равна г" = — р ( — д+ — ) — Ло + тля + и [т (лг — т) — а'], (8.3.40) 5 8.881 Гл. 8. некотОРые ОптимАльные 3АдАчи динАмики пОлетА 721 Кроме того, заданы начальные условия: при 1=0 К=у=и= — О=О. При 1= 1, никаких условий не наложено.
лр~пл у/ Рис. 8Ь Оптимальвая траектория перелета. ОА — активиып участок полета„ .А †точ вы- ключеик» двятатвлеп; и' — оптимальпая управляющая еуияпкя. Е,~,„= ф ~ — с18 6 — — соз 6) . (8.3.45) Рассматривая (8.3.42) как уравнения связи, можно сделать вывод, что данная вариационная задача является задачей Майера. Функция Лагранжа (8.339) имеет вид г = — р„[ соз 6 — рр ([ ейп 6 — р)— — Л„и — Лро. (8.3.43) В Исследуя обобщенные уравнения Эйлера — Лагранжа с 47 от функцией (8.3.43), Лоуден по- Ф казал [2), что управляющая функция 6(1) (угол наклона вектора тяги к горизонту) находится из условия Рис.
88. Полет ракеты в одпородиоч поле тяжести. А — касательна» я траектории 1я 6 = ' , (8.3.44) в точке А. л~/р~+ 2еу, где иь о1 — проекции скорости ракеты в точке А выключения двигателя (рис. 82). Из (8.3.44) следует, что максимальная дальность достигается при постоянном 6 = 6', независимо от заданной программы расхода топлива 1(1), так как последняя не входит в (8.3.44). Чтобы решить уравнения движения (8.3.42) и определить однозначно Т,к, нужно задать конкретный вид функции )(1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
