Справочное руководство по небесной механике и астродинамике. Под редакцией Г.Н. Дубошина (564382), страница 127
Текст из файла (страница 127)
ч. 1Ч, й 4.06). <0> <о> <0) <о> <о> <о> Обозн ачим теперь через Р) среднее значение по времени 1 функции Р) (р, (1 ) „ вычисл енное после замены переменных р и д решениям и двух задач двух тел. Другнмп словами, дол готы 11 >, 10 ~ заменяются линейными функциями 1 11 = п( 1+ 110, <0> <а) <а> (10.1.22) 10 =п»1+ 1м. ) а все остальные переменные — постоянными значениями. Тогда т Иш Р (1 (О) Н(О) Н)~) 1Т) й(0) й)0)) д1 ,'„т~ ' »~ д ° о Для существования периодических решений второго и треть.
его сорта достаточно [2), чтобы Р( в пространстве параметров Н(', Но'. 110, 4о, й(0, йоо имела экстремум. Пуанкаре доказы > (0) <а) <о) <а) <0> вает, что функция Р, всегда имеет экстремумы в пространстве 794 ч х кАчественнАя неБеснАя мехАникА указанных параметров и, следовательно, всегда существуют в планетной задаче трех тел перподические решения второго и третьего сорта. Пуанкаре доказано также, что множество периодических решений третьего сорта богаче множества периодических решений второго сорта, так как, если положить в классе периодических решений третьего сорта наклон, равным нулю, мы получим все множество периодических решений второго сорта и некоторое подмножество периодических решений, не принадлежащих классу решений второго сорта.
Как н в случае решений первого сорта, периодическими функциями времени являются взаимные расстояния, а не координаты тел. Координаты тел будут периодическими функциями ! в равномерно вращающейся системе координат, угловая скорость которой относительно неподвижной системы достаточно мала. яТ-периодические решения системы (10.!.01) Пуанкаре называет решениями второго рода. В «Новых методахь [2] он дает исчерпывающий анализ проблемы существования и конкретного построения периодических решений второго рода.
Для периодических решений первого, второго и третьего сорта, так же как н для периодических решений второго рода, характерным является то, что они прн !А = О (когда массы двух планет т1 = сг1р, 1пэ = а«!А обращаются в нуль) вырождаются в кеплеровскне орбиты (круговые нли эллиптические), т. е. в вырожденном случае перигелии и узлы планетных орбит неподвижны. В связи с этим Пуанкаре ставит н решает новую за. дачу о периодических решениях в проблеме трех тел: им доказано существование таких периодических решений, которые характеризуются существенным (но спонтанным) изменением долгот пернгелиев и узлов, обусловленным взаимно близким прохождением планет.
Такие периодические решения названы Пуанкаре решениями второго вида. Методы Пуанкаре получили многочисленные приложения в задаче трех тел. Шварцшяльд доказал [!2) существование периодических решений в ограниченной круговой задаче трех тед, периоды которых в общем случае несоизмеримы с периодом порождающего решения. Эти периодические решения вырождаются при !1 = О во вращающиеся эллипсы вокруг центрального тела (периодические решения с вращающейся линией апсид). Следует также сказать о работе Цейпеля [13[, содержащей детальное исследование периодических решений третьего сорта, о книге К.
Энгеля [6[, в которой доказывается существование периодических решений гамильтоновых систем, когда матрица линеаризованной части имеет пару чисто мнимых собственных значений, Г. А. Мермана [!4), в которой приведены новые четырехпараметрнческие множества периодических решений в огра- » ~4041 ГЛ.
4. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ И УСЛОВНО-ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ 795 ниченной круговой задаче трех тел и в задаче Хилла, Ю. В. Батракова [15], [!6], рассматривающих существование шварцшильдовских периодических решений в пространственных неограниченной и ограничевной задачах трех тел. Аналогичное семейство периодических решений найдено Е. П. Аксеновым [90]. В этой же задаче, исходя из орбит задача двух неподвижных центров, В. Г. Демин установил существование периодических орбит, замыкающихся после нескольких оборотов [18].
Семейства периодических решений конечных размеров в окрестности точек либрации найдены Мультоном [17]. А. А. Орловым найдены новые классы периодических решений в ограниченной задаче трех тел [9Ц. Наконец, имеется статья монографического плана Г. А. Чеботарева [19), содержащая, помимо оригинальных результатов автора„ историю вопроса.
Описанные выше результаты относятся к ньютоновской задаче трех материальных точек, а не тел конечных размеров. В связи с запросами астродинамики возникла необходимость построения периодических решений в задачах с гравитационными полями, создаваемыми телами конечных размеров. В работе [92] Е. П. Аксенов и В.
Г. Демин установили существование,почти-эллиптических периодических относительно «регулярпзирующего времени т» экваториальных орбит в спутниковой задаче, когда центральное тело обладает динамической симметрией и медленным (по сравнению со средним движением спутника) вращением. Эти решения образуют двухпараметрическое семейство и могут быть названы решениями второго сорта. В, Г. Деминым найден класс почти-круговых периодических решений [87] в задаче о движении спутника в гравитационном поле, порожденном притяжением сфероидальной планеты н двух точечных масс, двигающихся по круговым орбитам вокруг планеты на расстояниях„больших чем максимальное планетоцентрическое расстояние спутника.
В этой же монографии можно найти ОО' семейство периодических движений (относительно «регуляризнрующего времени т») лунного спутника. Вопрос о существовании периодических решений в спутниковой задаче с критическим наклоном (э!и'1= 0,8) изучен А. А. Орловым [93]. й 1.04. Периодические решения, полученные методом Ляпунова Метод Ляпунова. изложенный в $1.02, получал завершенное применение в исследованиях Г. Н. Дубошина [20], [2Ц и А. И. Рыбакова [22] — [25] по построению аналитических теорий движения спутников в спутниковых системах, и, в частности, в системе Сатурна.
ч. х. кАчествгннАя неБеснАя мехАыикА 796 1$ Б04 У=У'+У". (10.1.23) Функция У' = У'(р, е), У'(р, — е) = У'(р, г), зависит только от двух цилиндрических координат р, е (не зависит от долготы), причем является четной функцией относительно е. Функция У" (р,1, г,1) представляет остальную часть функции У. Поскольку силовые функции колец и эллипсоида вращения не зависят от долготы 1, отсюда следует, что У" = Уо — — Уо 1(1, 2п з а (10.1.24) где Уо — силовая функция, обусловленная притяжением Солнца.
Модельная задача с силовой функцией У' имеет [20) плоские и пространственные периодические решения вида (10.1.17)— (10,1.20), для нахождения которых используется теорема Ляпунова о голоморфном интеграле. Полная задача может иметь периодические решения только в том случае, если период обращения Сатурна вокруг Солнца и период периодического решения модельной задачи для спутника, зависящего от постоянной с, соизмеримы.
Для построения этих периодических решений целесообразно применять метод Пуанкаре. В общем случае полная задача не имеет периодические решения, близкие к «ляпуновским» периодическим решениям. Конкретные вычисления для системы Сатурна, выполненные А, И. Рыбаковым [22) †[), дали удовлетворительное согласие с многочисленными наблюдениями спутников Сатурна, проведенными Германом и Георгом Струве [94), [95[ на протяжении почти полстолетия с 1880 по 1928 г. Некоторые семейства периодических решений в окрестности точек либрации изучены Ю.
Л. Рябовым [26). Рассматривалась механнческая модель, состоящая пз центрального тела — однородного эллипсопда вращения (Сатурн), однородного плоского кругового кольца (кольцо Сатурна), восьми однородных, одномерных, круговых колец (заменяющих спутники) и материальной точки — Солнца, двигающейся, согласно законам Кеплера, по эллипсу, фокус которого совпадает с центром Сатурна. Полная силовая функция У задачи о движении спутника является суммой одиннадцати силовых функций и может быть представлена, как показал Г. Н. Дубошин [20), в виде 'т ЬЧЦ ГЛ, Ь ПРРИОДИЧЕСКИЕ И УСЛОВНО-ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ 7З7 ф 1.05. Периодические решения, полученные качественным и методам и Методы Ляпунова и Пуанкаре (Я 1.01.
1.02) суть аналитические методы построения периодических решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Второе направление— это установление существования периодическвх решений методами качественной теории. Первая работа подобного характера принадлежит Е. Уиттекеру (27) н опирается на рассмотрение действия в смысле Якоби для гамильтоновых систем с двумя степенями свободы.
В этом случае положение точки в рассматриваемой динамической системе определяется двумя позиционными координатами (х, у) и любая траектория точки является плоской. Критерий Уиттекера состоит в том (27], (58), что рассматривается некоторое плоское кольцо на плоскости (х, у) и значение, построенной специальным образом, функции на внутренней и внешней границах кольца. Эта функция (назовем ее функцией Уиттекера) имеет следующую аналитическую структуру: В'= + "' ~ + — (сову — +в(п у — ), (10.1.25) где (7(х,у) — силовая функция, й — полная энергия системы, р(х, у) — радиус кривизны контура С, проходящего через заданные две точки траектории, у — угол наклона нормали, проведенной в точке (х, у) контура С к оси Ох.
К рите ри й Уи ттек ер а. Если во всех точках внутренней границы кольца %' О, а во всех точках внешней границы (Р' ) О, то в данном кольце имеется периодическая траектория динамической системьц соответствующая данному значению 6 полной энергии. Л. Синьорини (101] и Л, Тонелли (102) обобщили критерий Уиттекера на случай обратимых (автономных) дцнамических систем, а Дж.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
