Справочное руководство по небесной механике и астродинамике. Под редакцией Г.Н. Дубошина (564382), страница 128
Текст из файла (страница 128)
Бнркгоф (!00) распространил критерий Унттекера на неавтономные динамические системы с двумя степенямя свободы. Основываясь на этом критерии, Н. Д. Моисеев (28), (29) установил существование четырех семейств периодических решений в плоской ограниченной круговой задаче трех тел Солнце— Юпитер — астероид. С помощью критерия Уиттекера Н.Д. Моисеев нашел кольцевые области, в которых располагаются периодические решения.
Н. Ф. Рейн разработала [103) метод нахождения периода периодического решения в ограниченной зада~в трех тел, аналитическая структура которого неизвестна. В теории движения ИСЗ критерий Уиттекера был применен В. Г. Деминым (31]. ч. х. ЕАчественнАя неБеснАя мехАннкА 799 !а СОе Пуанкаре принадлежит первый вариант знаменитой теоремы [96), [97] о неподвижной точке, однако в приложениях получила большее распространение другая формулировка теоремы о неподвижной точке, принадлежащая Дж. Бнркгофу [98], [99]. Зигель дал новое доказательство [6) теоремы Бнркгофа, сопровождаемое более точными необходнмымн оценками для отображаемых областей и для постоянных.
Теоремы А. Пуанкаре и Дж. Бпркгофа о неподвижной точке применялись Бирнгофом [100], Зигелем [6] и Ю. Мазерам [30] для доказательства существования новых семейств (отличных от ре. шений первого сорта Пуанкаре) почти-круговых решений ограниченной круговой задачи трех тел. Оригинальные результаты принадлежат А. Д. Брюно [143].
Исследование окрестности тора качественными аналитическими и численными методами позволило удачно систематизировать ранее известные и новые полученные им классы периодических и условно-периодических решений ограниченной круговой задачи трех тел. $ 1.06. Почти-периодические функции и их свойства. Условно-периодические функции Определение 1.
Функция [(х), непрерывная на всей вещественной оси, называется почти-периодической в смысле Бора, если для любого а ) 0 существует положительное число 1= 1(е) такое, что любой отрезок [а, а+ 1] (а — любое вещественное число) содержит по меньшей мере одно число т, для которого [ [ (х + т) — ! (х) [ < е ( — оо < х < оо). (10 1 26) Число т(е) называется и-почти-периодом функ!1ии 1(х), Класс почти-периодических функций достаточно хорошо изучен в исследованиях П. Боля и Г. Бора и зти результаты изложены в [32] — [34].
Мы приведем лишь те свойства почте-периодических функций, которые чаще всего нужны в небесной механике. Свойство 1. Пусть а есть и-мерный постоянный вектор, 7(х)(1!(х),1х(х), ..., [„(х)) есть п-мерная почти-периодическая вектор-функция (его компоненты — почти-периодические функции). Тогда скалярная функция р(х) =(а, 7(х)) (10.1.27) является почти-периодической.
$1.06) гл. 1. пеРиодические и Условно-ПВРиодические РешениЯ 799 аа Р (х) = ~, а»в)»" »=1 (10.1.28) с вещественными Х» является почти-периодической функцией. Свойство 2. Пусть )')(х), )»(х), ..., )„(х) — почти-периодические функции. Тогда аа Р (х) = Ц 1» (х) (10.!.29) — также почти-периодическая функция. Свойство 3. Пусть 11 (х), 1»(х) — почти-периодические функции, причем 1п1 1)'е(х) 1> О.
ам)-, ) Тогда Р(х) = — ' )а (") (10,1.30) — также почти-периодическая функция. Свойство 4. Если производная )'(х) почти-периодической функции ) (х) равномерно непрерывна на всей вещественной оси х ен( — ОО, оо), то она почти-периодическая функция. Свойство 5. Пусть )(х) — почти-периодическая функция, » Р(х)= 1П1)й1 впр 1 Р (х) ~ < ОО, Тогда Р(х) является почти-периодической функцией.
Свойство 6. Всякая почти-периодическая функция имеет конечное интегральное среднее т 1 = М(7) =Вт — 1) (х) ах. (10.1.33) » Свойство 7. Интеграл от всякой почти-периодической функции представйм в виде » ~ )' ()) й) = 1» ° Х + )Р (Х), (10.1.34) В частности, тригонометрический полипом вида (10.1.31) (10. 1,32) або Ч. Х. КАЧЕСТВЕННАЯ НЕБЕСНАЯ МЕХАНИКА 1з 1.06 где 1' — среднее значение функции )(х), 2р(х) — почтя-периодическая функция. О п р е д е л е н и е 2.
Спектральной функцией для почти-периодической функции Г(х) называется функция 1Ал) (10.1.35) Свойство 8. Для любой почти-периодической функции 1(х) ее спектральная функция а(Л) не равна нулю лишь для конечной или счетной последовательности Л1, Ль ..., Л„, ... О предел ен не 3. Числа Л1, Ль ..., Л„, ..., для которых а(Л„) Ф О, называются показателями Фурье почти-периодической функции 1(х), а числа а(Л ) называются ее коэффициентами Фурье. Множество всех показателей Фурье называется спектром почти-периодической функции. О пределе ни е 4.
Рядом Фурье почти-периодической функции ) (х) называется тригонометрический ряд ( (х) ,т а„е (10.1,36) л где а„=- а (Л„) = М (1 (х) е (10А.ЗУ) Мчожество (Л„) — спектр функции 1(х). О п р ед ел е н и е 5. Если среди показателей Фурье Л1, Ль ... почти-периодической функции 1(х) существуют такие к показа.- телей Л.н Л,,, ..., Л„, что все остальные представляются в ниде суммы А Л,=х ЛГ;Л„н (10.1.38) 2 1 где У1, 1тт, ..., УА — целые числа, то такая почти-периодическая функция называется условно-периодической. Совокупность Л„, Л„, ..., Л„А называется частотным бази- 1 2 сом условно-периодической функции.
Очевидно, что условно-периодическую функцию можно представить рядом Фурье вида г(х) )'' Ане1сс2)л (!0.1.39) ~н~~ь где Л(Л„н Л„, ..., Л,А) есть й-мерный частотный базис„У есть й-мерный целочисленный вектор, норма которого ~я~= Х~ ы,~. (10.1. 40) Этот частный случай почти-периодических функций наиболее распространен в небесной механике. а !,оп гл. !. пвгчюдичвскиа и условно пврнодичвскиа гашвння Зо! й 1.07. Теорема Арнольда о существовании условно-периодических решений гамильтоновых систем Пусть движение объекта описывается гамильтоновой системой 2п-го порядка др дН (10.1.41) и Ро~ыо г = [1тйо](р [х,[(Я, х,=(РИ !7!) (10.1.44) за пол роо Г, и.
Дуоошииа с аналитическим по всем переменным р и !7 и периодическим по !7 гамильтоннаном Н(р,!7, !!), где 1! — малый параметр. Фазовое 2п-мерное пространство переменных р,!7 является прямым произведением и-мерного тора на область и-мерного евклидова пространства. Если гамильтониан зависит только от переменных р(Н = — Н(р) ), то уравнения (10.1.41) принимают вид — =О, ' — „= — „=в(р). др а!Г дН (10.
1. 42) Уравнения (10.!.42) легко интегрируются, и мы имеем Р = Ро Ф = вг + Чо (10.1.43) Каждый тор р = р, ннвариантен, и если частоты в!, во, ... ..., в несоизмеримы, то мы имеем условно-периодическое движение на торе р = ро с частотами в!, вь ..., в . Основной вопрос, который возникает при рассмотрении гамильтоновых систем (10.1.4!), можно сформулировать следующим образом: существуют ли у системы пнвариантные торы, близкие к тору р = ро, и имеет ли движение на этих торах условно-периодический характер? Этот вопрос в последние десятилетия рассматривался К. Знгелем [6], А. И. Колмогоровым [35], В.
И. Арнольдом [36], Ю. Мозером [37], [38]. Позднее существенные обобщения были сделаны в работах [39], [40]. Ниже мы приводим теорему Арнольда [36] о существовании условно-периодических движений для системы (10.1.41). В задачах небесной механики не все компоненты и-мерных векторов р и !7 входят в гамильтониан Н(р, а) одинаковым образом, поэтомУ Ради Удобства бУдем РассматРивать вектоРы Ро, !7о РазмеРности и, и вектоРы Р!, !7! РазмеРности пь пРичем оче- ВИДНО, ЧТО По+ П! = П. Теорема Арнольда.
Пусть гамилотониан Н(р, !7)== = Н (Р,, Р„!7о, !7!) завис!се от паРаметРа !! (О < и ~ ио), 2п-пеРиодичен по переменным о7о(Н(ро, Р» !!о+ 2п !7!) — = Н(ро Рь чо !7!)), аналитичен в 2п-мерной области Ч. Х. КАЧЕСТВЕННАЯ НЕБЕСНАЯ МЕХАНИКА 802 н г.Ф (10.1.52) ро еи 14е 6„ !те Ра = ! 1гп г!о ! = О, 0 <тг (б (10.1.53) состоит из двух множеств Ро и !о, из которых га инвариантно относительно канонических уравнений с гамильтонианом (10.1.45), а другое, !о, малб в смысле меры тпев)о < вщевра. 2.
Множество Ра состоит из инвариантных н-мерных аналитических торов Т„, задаваемых параметрическими уравнениями Ра= ров+ [оа%) г!а=(ага+Юга(Ф Р, = ~/2(т„+ [„,Щ)) соз [(;[г + бг„(Я)], „- гг.г-г,.юа га,г-и,.гагг.! (10.1,54) и представим в виде Н(Р г!)=Но(ро)+(АНг(р, г!)+На(Р, г1, !А), (10.1.45) где На имеет порядок !Аа, а Нг(Р. 4)=Нг(Ръ Рг. Чг)+Нг(РВ, Рг, ба 4г)г (10.1.46) га аа га ~ Нгй!В=О. (10.1.47) о о о Нг(ро Рг, г!г)=Нг(ра т)+Нг(ро, Рг. г!г), (10! 48) лг м Лг Нг(РВ, т)=Ло+ Х Лгтг+ Х Лцтгту+ Х Лг,дотгт!то, (10.1.40) г=г и с=г ььо где Ло, Лн Ли=Ли и Лно зависят только от ра, а 2т,=ра+, +4'+г ('=1, ..., нг). (!0.1.50) Пусть, кроме того, в области Р выполняются неравенства [Й,[(С, [Н,[(~С, [Й,[(С,1 (10.1.5!) [Нг [(С!х, !', ! Н,[(!АС, а в области бо дгОо бе! —,,' Чь О, бе! ! Лн (р,) ! Чь О.
дРа Тогда для любого в» О существует такое бо (а; Н„Й„Оа', р, !(г, С; !Аа) ) О, что если 0 ( б ( бю и 0 ( !А ( ба, то имеют ме- сто утверждения: 1. Область $ Ьая ГЛ. Ь ПЕРИОДИЧЕСКИЕ И УСЛОВИО-ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ ЗОЗ ГДЕ Ц = оЕО Ц1 — УГЛОВЫЕ ПаРаМЕтРЫ, Ров, т — ПОСТОЯННЫЕ, Зависящие от номера тора в. 3. Инвариантные торы Тв мало отличаются от торов рз = рс„= сопз1, т = тв — — сопз1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
