Справочное руководство по небесной механике и астродинамике. Под редакцией Г.Н. Дубошина (564382), страница 132
Текст из файла (страница 132)
Ч. Х. КАЧЕСТВЕННАЯ НЕБЕСНАЯ МЕХАНИКА 818 и в таком случае точка соударения А совпадает с центром масс системы бг. Если Ь ( 0 (Ь вЂ” постоянная интеграла энергии), то в задаче двух тел при прямолинейном движении будет бесчисленное множество вещественных моментов соударения, определяемых по формуле 2ан уз=ба+ и (Ь=О, и-:1, ~2...), (10.2.17) Ь<0 — ( ) (1 — 1) +~' (1 — 1) 2 (10.2.18) г= ""'"' ь(1-23)ч (1О.2. 19) бр Ь > О г =( ) (1 — Ьо) '+ ~~', Ьи (1 — го) ° (10.2.20) уу 3 Отсюда следует, что для скорости имеем ряды 3-3 — з (10.2,2!) 21(тб+ ту) )чб г )-ууб =(' (10.2.22) 3 бб о-з 21(т~+ т)')Ь( Г )- У, '~з пЬ„( Г )— ( т ф — — Ч"3 ВЬ Ь=О, Ь)0, (10.2.23) Формулы (10.2.21) — (10.2.23) показывают, что для любого Ь 1ип о=+ оо (10.2.24) 1ипо ~/г =~61(то+т,) 1(то+т,)„(10.2.25) б = У ~ .
— б У Рб у( б у вина длины прямолинейного отрезка, в который вырождается эллипс при е-ь1 — О, 13 — один из моментов соударсния. При Ь ) 0 существует лишь один вещественный момент соударения, хотя, если рассматривать комплексные значения времени, здесь также будет бесчисленное множество моментов соударения.
Расстояние между телами в окрестности момента соударения представляется разложениями бб Гл.2. пРОБлемА иитегРияуемости Формулы (! 0.2.21) — (10.2.23) весьма важны, так как и в задаче трех тел в случае двойных соударений имеется та же асимптотика. Если вместо времени в качестве независимой переменной рассматривать эксцентрическую аномалию, то уравнения движения не будут иметь особенность, т. е. эксцентрическая аномалия играет роль регулярнзнрующей переменной. Детально эти вопросы изложены в [59], [60].
Исследование кратных соударений в задаче п ) 3 тел чрезвычайно сложно потому, что до настоящего времени не известны необходимые и достаточные условии наличия кратных соударений нли их отсутствия. Необходимое условие п-кратного соударения (теорема Вейерштрасса — Слудского — Зундмана) [5], [6], [61]. Необходимым условием п-кратного соударения в задаче и тел в конечный вещественный момент времени является равенство нулю момента количества движения с системы. Т е о р е м а 3 у н д и а н а. В заоаче трех тел ] с] = 0 только в том случае, если движение трех тел происходит в некоторой неизменной плоскости (см.[5]). Таким образом, для исключения тройного соударения в задаче трех тел следует считать, что ]с]Ф О.
Именно в этом предположении, конечно, не искл1очающем двойных соударений в задаче трех тел, Зундман исследовал характер последних и оценил величины кинематических и динамических параметров системы (прежде всего взаимные расстояния н относительные скорости). Зундманом, в частности, доказаны следующие утверждения.
1) Если ]с]) О, то на любом конечном отрезке времени может иметь место только конечное число двойных соударений. Другими словами, последовательность последующих моментов соударения (12) (о < 1~ < 12 < ° ° < 1» < ° ° ° (12 — некоторый начальный момент) не может сходиться к конечному пределу.
Это утверждение справедливо и для моментов соударений, предшествовавших йь так как уравнения движения задачи трех тел, написанные Б неподвижных прямоугольных координатах, инвариантны относительно замены 1 на — й 2) Если ]с]) 0 и 1 — момент соударения двух тел„то при 1-ь1 отрезок, соединяющий эти тела, стремится к определенному предельному положению, а его угловая скорость стремится к нулю (движение — почти прямолинейно, как в задаче двух тел).
Более того, расстояние монотонно убывает, а скорость неограниченно возрастает, причем имеет место равенство типа (10 2.25) ч. Х, кАчественнАя невеснхя меХАниКА 62а 3 КО7 Другими словами, для моментов времени, близких к моменту соударения, какова бы ни была далекая масса, решающей является сила притяжения близких тел. 3) Если [с['= О, то для всех ! ~( — ьь, ьо) два из наибольших взаимных расстояний ограничены снизу одной и той же постоянной, а скорость удаленной массы ограничена сверху. Это утверждение говорит о том, что с возрастанием (или с убыванием) ! периметр треугольника, образованного телами, не может стремиться к нулю ни монотонным, ни осцпллирующим образом.
Эти соображения позволили Зундману преодолеть математические трудности, Возникающие из-за возможных двойных соударений в уравнениях движения задачи трех тел. Зундман не нашел необходимые и достаточные условия отсутствия всяких соударений В задаче трех тел, но, изучив характер соударений с помощью метода регуляризации независимой переменной, устранил эти особенности в дифференциальных уравнениях задачи трех тел. й 2.07. Решение задачи трех тел в виде рядов, сходящихся для всех вещественных значений времени, Теорема Зундмаиа Т е о р е м а 3 у н д м а н а. Если момент количества движения в задаче трех тел отличен от нуля ([с[' 0), то прямоугольные барицентрические координаты трех тел, их взаимные расстояния и время ! могут быть разложены в степенные ряды по степеням переменной ы.
Эти ряды сходятся при [ь7[( 1 (см. [5), [6), [61[), Связь между временем ! и новой независимой переменной ь7 выражается равенствами ПЯ е — 1 777 Ь7 = ЛЯ 2И 1 +ь7 з= — 1п —, Л 1 — Ь7' (10.2.26) ее +1 7 з= ~ (У+ 1) д1, 7в ат = (У+ 1) дз, (10.2.27) где У вЂ” силовая функция задачи, !ь — начальный момент времени. Постоянная !7 однозначно определяется массами трех тел, их начальными координатами и скоростями. В [5) для нее дается явное выражение.
Так как интервал — 1 ( ы ( 1 отображается взаимно однозначно с помощью (10.2.26) в бесконечный интервал †( з ч.. ч-+со, а — ьь ( з +со с помощью (10.2.27) отображается взаимно однозначно в бесконечный интервал — со «1(+со, ГЛ. К ПРОБЛЕМА ИНТЕГРИРУЕМОСТН 821 то отсюда вытекает, что ряды, построенные Зундманом для задачи трех тел„сходятся для всех вещественных значений времени й Исследования Д. Белорицкого (62) показали, что скорость сходимости рядов Зундмана чрезвычайно мала, поэтому их использование в приложениях в настоящее время невозможно.
Интересные исследования, примыкающие к работам Зундмана, выполнил Г. А. Мерман (63). Аналогичные результаты для задачи п ) 3 тел неизвестны. $2.08. Сходимость рядов Хилла в основной проблеме теории движения Луны В гл. 3 ч. У и в гл. 1О ч. 1У приведены уравнения Хилла, определяющие промежуточную орбиту Луны. Для теории Луны Хилл рассматривал уравнения (см. (6.3.18)] —. — 2гп —" + —" — Зшхх = 0 нй' Гз — +2т — + — =О, в'2У ху МБГ Ый г' (10.2.28) в которых а = (и — л') (1 — Г,), 1(мг + мс) (и — и')' ' и — и' (10.2.29) (10.2.30) где тг, Гиь — массы Земли и Луны, л, и' — средние сидериче- ские движения Луны и Солнца. Хилл показал (см.
ч. 1У, гл. 10), что уравнения (! 0.2.28) имеют периодическое решение х = ~ АУА~, соз (2й + 1) й, А=О р= Е В„,~,з(п(йй+1) ~, А=О где коэффициенты Аяд+~ н ВМ~Г, иям малого параметра п1. А. М. Ляпунов показал [64), периодические решения вида х== Х т'РА(й), разлагаются в ряды по степечто уравнения (10.2.28) имеют у = ~, ш"Я„ф), (10.2.32) где Рд(5) и Яд(е) — тригонометрические полиномы относительно соз з~ и Б(п з$ (з — целое число). Ряды Ляпунова (10.2 32) пред- ставляют собой «перестроенные» ряды Хилла (10.2.31). ч, х, кАчественнАя неБеснАя мехАникА ВЕЙ В работе [64] Ляпунов не только построил формальные ряды (10.2.32), ио и доказал их сходпмостьс им доказано, что ряды (10.2.32) абсолютно и равномерно сходятся для всякого значения 1 при [ш[(1/7.
Для теории движения Луны гп = 0,08085, поэтому ряды Хилла применимы в этой задаче. Другое доказательство сходимостн рядов Хилла дал А. Уинтнер [60]. Г. А. Мерман [65), М. С. Петровская [66] и Ю. А. Рябов [67] занимались расширением области сходимости рядов Хилла. Последнему принадлежит наиболее общий результат ([т[(0,258). й 2.09. Характер сходнмости рядов классической теории возмущений Если при интегрировании дифференциальных уравнений для оскулирующих элементов применяется какой-нибудь из классических методов теории возмущений (см. ч. 1Ч), то любой элемент на первом шаге представляется выражением вида в 8 Е = ~~ ~~1 ~~~ — +"„' з[п (й~1~ + йе(е + Р.., .,) + С( + Е„ А,=- А, - ОН (10.2.33) где пь п,— невозмущенные средние движения планет (мы рассматриваем планетный вариант задачи трех тел), 1н 1е — средние долготы, С, Ен Р„, „— постоянные (С для некоторых элементов может равняться нулю, независимо от того, соизмеримы или не соизмеримы и, и пе), В»",, А,' зависит от аь ае, ен ен 1 ейп — .
2 ' Если и, н ле — рациональные числа, то существует бесконечное множество значений й~ и йн для которых й,п~ + йэпэ = 0 и члены с такими индексами й, и й, включены в Сй Делители с другими значениями й1 и йе будут ограничены снизу общей постоянной, поэтому ряд из (10.2.33) будет сходиться для люе~ бого 1~( — со, ьо), если еь ее и е[п~- не превышают некоторые положительные пределы. Если л~ и и,— иррациональные числа, то для любой пары таких чисел наверняка существуют такие целые индексы й1 и йм что [й~п~ + йеп,[( а, а — произвольное положительное число. Это обстоятельство ставит под сомнение сходимость ряда (10.2.33) для любых 1, сколь угодно близких к начальному моз У менту 1е и для любых сколь угодно малых значений еь ем з)п —.
$2,02! Гл. 2, пРОБлемА интеГРиРуемасти Вэв Рассмотрим ряд ( + '„» ~, с=[ й, — й2), (10,2.34) Аю в котором суммирование ведется по й, и й2, удовлетворяющим условию .2т! йй,<0, т=л/л2, р=впр(е, <1, е,<1, з!и' — !. ! =Tо м л,л1+ Ь,н2 1 ~ А=О (10.2.35) причем радиус сходимости рядов (10.2.36) для некоторых наборов и, и Й2 будет скаль угодно мал.
Отсюда вытекает, чта и в целом ряды, представляющие возмущения, будут степенными рядами относительно ~/)2, расходящимися на оси !А. Пуанкаре доказал [2], что такие ряды являются асимптотическими, так как Бт м'=0 Р— Ф, Р-РО (10.2,36) Очевидно, что ряд (!0.2.34) является мажорантным для тай части ряда (10.2.33), для которой ЙА О. Лишь только эта часть ряда представляет интерес с точки зрения сходимости. Пусть ряд ~~'„~ Кьм,р' сходится при [6[ = 1. Теорем а Брунса.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
