Справочное руководство по небесной механике и астродинамике. Под редакцией Г.Н. Дубошина (564382), страница 133
Текст из файла (страница 133)
Значения т, для которых ряд (10.2.34) сходится, и значения ч, для которых ряд (10.2.34) расходится, образуют всюду плотное множество на вещественной оси ( — ао, +оа), Из теоремы Брунса, однако, не следует, что точки расходи- мости ряда (10.2.33) также образуют всюду платное множество, хотя точки сходимасти образуют такое множество. Как оказывается, точки расходимости ряда (10.2.34) нарушают лишь равномерную сходимость рядов вида (!0.2.33) (член С(+Ед не рассматриваем). Подробности см. в [66], [69]. Рассуждения Брунса относятся к классической теории возмущений первого приближения, когда невозмущенная орбита суть кеплеровский эллипс, В этом случае й,п1 + йтп2 не зависит от малого параметра р (см. $1.03).
При построении высших приближений или при построении решений в окрестности данного периодического решения знаменатели типа й,п, + йтнт будут зависеть от !А таким образом, что Ч. Х. КАЧЕСТВЕННАЯ НЕБЕСНАЯ МЕХАНИКА 824 для любого целого з ) О. В (10.2.36) через Р обозначен весь бесконечный формальный ряд по степеням ~/р, через Ф. — сумма его первых з членов. Желание многих астрономов построить теории движения небесных тел в «тригонометрической форме», подразумевая под этим представление позиционных переменных (большие полуоси, эксцентрпситеты, наклоны и нх аналоги) в виде сумм периодических функций времени, а угловых переменных (долготы, аномалии и их аналоги) — в виде сумм линейных функций времени и сумм периодических функций, привело к разработке общего метода построения решений канонических систем с периодическим по угловым переменным и аналитическим по р гамнльтонианом, названного Пуанкаре «методом Линдштедта» (2).
Начало этого направления было положено Лапласом, а завершенное развитие его мы получили благодаря Пуанкаре. Сущность этого метода такова. Пусть имеется каноническая система Ыр~ дН дч дН вЂ” — — — — (7 = 1, 2, ..., й), (1О;2.37) дч ' д4 др где (Р Ф 'А) ~с (Р) + Х 'А В«(Р 7) (10 2 ) Н(р, у+(2п), р) = — Н(Р, ~7, р). Решение системы (10.2.37) отыскиваем в виде Р, = Ф" + рр(п+ рЩп+ " + г 'р",+ ", 7 =4)'8+к)п+Ф4" + " +р'9)*'+ ", (10.2.39) причем коэффициентам разложений (10.2.39) заранее придаем форму Р('4 = ~~~„А соз а,1 + ~ В з)п а,г + С, (10.2.40) д<м= К~„Всаза,4+ ~ Еейпа,(+ И+К, 1 где А, В, ..., К вЂ” величины, зависящие только от начальных данных, «4 — величины, разлагаемые в ряды по степеням 1А. Ньюкомб, Линдштедт и Пуанкаре детально разработали формальную сторону метода построения решений (10.2.39) как и случае общих канонических систем, так и з случае задачи 828 Гл.
ь пРОБлемА интегтиРуемасти $ е~щ трех тел. Кроме того, Пуанкаре [2) исследовал вопросы схадимости рядов (10.2.39) и доказал, что из-за появления «малых знаменателей» вида з1п~ + эхп2 +... + х»пА (и» пь ..., пь — средние движения планет в планетной задаче, з» зь ..., Уд — целые числа) они, вообще говоря, расходятся. Но имея асимптотический характер, эти ряды с успехом могут применяться при изучении движений небесных тел на конечных интервалах времени, если пх обрывать до появления в ряде первого малого знаменателя.
В заключение отметим, что вопросы сходимости (точнее, расходимости) рядов Лпндштедта в ограниченной задаче трех тел изучены исчерпывающим образом Г. А, Мерманом [44]. 2 2.10. Теоремы Пуанкаре о ранге и классе возмущений В 5 8.01 ч. 1Ч дано определение ранга и класса возмущений. Пуанкаре установил две теоремы о ранге и классе возмущений произвольного порядка в классической теории возмущений. Этн теоремы, по существу, указывают на асимптотическнй характер рядов теории возмущений не только в первом приближении.
Они могут быть с успехам применены для оценки промежутка времени, на котором теория обеспечивает заданную точность при условии, что в рядах сохранено заданное число членов, Теорем а Пуан к а р е о ранге [70). Если невозмущенные средние движения и» пм ..., пА, — в планетном варианте задачи й тел (задача о движении й — 1 планет) несоизмеримы, то: 1) в разложениях для возмущений канонических элементов Пуанкаре Е» А» Бь ги любого порядка отсутствуют члены, имеющие отрицательный ранг; 2) ранг каждого смешанного члена больше или равен единице; 3) возмущения 01.; не содержат членов нулевого ранга.
Здесь 1= 1, 2, ..., й — 1; 1 = 1, 2, ..., 2й — 2. Относительно канонических элементов Пуанкаре см. ч. 1Ч, $2.08. Теорема Пуанкаре о классе. Если невозмущенные средние движения несоизмеримы, то: 1) класс каждого члена в возмущениях любого порядка элемента А2 неотрицателен; 2) класс каждого члена в возмущениях любого порядка для элементов Е» Бь 21; не меньше 0,5. Обобщение теоремы Пуанкаре о ранге для переменных, являющихся ограниченными по времени н аналитическими функциямн первой системы канонических элементов Пуанкаре, дано в [142). Ч.
Х. КАЧЕСТВЕННАЯ НЕВЕСНАЯ МЕХАНИКА йяп $2.11. Поиск частных, первых и общих интегралов заданной аналитической структуры обыкновенных дифференциальных уравнений на ЭВйй. Приложение к ограниченной задаче трех тел Пусть имеется и-мерное дифференциальное уравнение — „= У(х, у), (10.2.41) где у=(уьуь ..., у ), У=(УВ Уь ..., У ) — точки и-мерного евклидова пространства )г„, х — скалярная независимая переменная, х еи( — оо, со).
Введем в рассмотрение (и + 1)-мерное евклидова пространство Я,+~=1( Х( — . ) и обозначим чеРез РВ множество начальных точек (хв У») еи И„+ь Пусть, кроме того, все интегральные кривые, порожденные начальной областью Р, для всех х ) х», составляют многообразие М(х, у(х) ) . Очевидно, Р, с М с )г„~ о Будем считать, что вектор У удовлетворяет в М условиям теоремы Каши [104]. Наряду с уравнением (10.2.41) рассмотрим снстему функциональных равенств Р»(х, у; ао аи ..., а ) =0 (й= 1, 2, ..., з -и).
(10.2.42) Пусть Р»(х,у; аьаи ..., а ) таковы, что при любом наборе вещественных параметров а,, ан ..., а они определены на многообразии М вместе со своими частными производными дРа дР» — — и имеют априори заданную аналитическую структуру, содержащую неизвестные параметры аь а„..., а . Правомерна постановка следующих задач. 3 а д а ч а 1. Пусть з = 1, и, следовательно, система (10.2.42) сводится к одному функциональному равенству с неизвестными параметрами аь аи ..., а . Найти критерий, основанный на методах численного интегрирования, позволяющий утверждать, что равенство (10.2.42) является частным интегралом уравнения (10.2.41) .
3 а д а ч а 2. Ее формулировка подобна формулировке задачи 1 с той лишь разницей, что вместо частного интеграла отыскивается первый интеграл уравнения (10.2.41). 3 а да ч а 3. Пусть з = и. Найти критерий, позволяющий утверждать, что система и функциональных равенств (10.2 42) представляет общий интеграл уравнения (10.2.41).
Гл. 2, пРОБлемА интеггигуемости $2Л2! 827 Методы решения задач 1 — 3 изложены в [117). Электронновычнслительные машины используютсн для составления и решения функциональных уравнений, неизвестными в которых суть аь а2, ..., а . Эффективность этих методов целиком определяется возможностями математического обеспечения ЭВМ. С помощью таких методов было доказано, в частности, что ( ) ди х2 — ~ не может быть представлена (118) в виде отношения двух дР ! полиномов от тригонометрических и гиперболических функций соз о, з(п о, сЬ и, з)2 и, где и, о — эллиптические переменные (см. ч.
Ч, Я 2.07, 2.08). $2.12. Поиск решений уравнения Гамильтона — Якоби на ЭВМ. Приложение к ограниченной задаче трех тел где 2 ь ь ТА = —, гп = 72 — (7+ — ~~' —. (10.2.45) Еа» 4 а22 С помощью обозначений ТА=,~ +12(чь ч2) (й=1, 2) (10.2.46) дч уравнение (10.2.44) приводится к системе ~ аь(дп а2) 722=02(ао д ), дТ1 дТ, дй дг, дд2 дя1 дд2 да1 ' (10.2.47) Пусть функции ТА имеют априори заданную аналитическую структуру Т =р ~27п 42; а~21, ааы), ..., а('") (й 1, 2) (10,2.48) Рассмотрим уравнение Гамильтона — Якоби для задачи с двумя степенями свободы вида а~(д~ д2)(д ) +а2(ЧО ч2)(д ) + +о1(ЧП Ч2) д +Ь2(г71 Ч2) д +(7(ЧО Ч2)=72 (10.2.43) дат дат Оно может быть приведено к виду 2 аь(Ч~ М( д + 12(г7О ч2)~ = Ф(а1 Ч2) (10 2.44) 2=1 ч.
х, кАчественнАя неБеснАя мехАникА !4 км вев с неизвестными параметрами а!1А1, а!А1, ..., а!А'.Чтобы проверить гипотезу о существовании аналитической структуры для Тд вида (10.2.48), нами предложен метод [117), который сводится к решению методом Рунге — Кутта (1!9] системы обыкновенных дифференциальных уравнений (а не уравнений в частных производных) и к применению теоремы Гамильтона — Якоби (см. ч. 1Н, $1.20).
Как и в э 2.11„эффективность метода зависит от возможностей математического обеспечения ЭВМ, В частности, было доказано, что частные производные дз дд — †, входящие в уравнение Гамильтона — Якоби для плоди ' ди ' ской ограниченной круговой задачи трех тел (5.2.55), не могут иметь следующие аналитические струитуры: а) в виде квадратных радикалов от полиномов относительно соз о, з(п о, сй и, БЬ и четвертой степени; б) в виде сумм полиномов относительно соз о, з!и о, сп и, БЬ и второй степени и квадратных радикалов от таких же полиномов четвертой степени; в) в виде сумм полиномов второй степени и квадратных радикалов от отношений полнномов шестой и четвертой степени (120]. 3 а м е ч а н и е.
Методы поиска решений в буквенном виде на ЭВМ являются, строго говоря, не обоснованными, так как они сопровождаются многими ошибками. Они лишь служат средством прогноза в аналитических теориях. Однако они особенно эффективны, если уравнения имеют известные первые интегралы, используемые для контроля вычислений. Именно так обстоит дело в ограниченной круговой задаче трех тел, где имеется интеграл Якоби.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
