Справочное руководство по небесной механике и астродинамике. Под редакцией Г.Н. Дубошина (564382), страница 135
Текст из файла (страница 135)
Очевидно, что уравнение (10.3.16) допускает тривиальное решение х = О. Будем его называть невоэмущенным движением, а всякое другое решение — возмущенным движением. Если система (10.3.16) имеет частное решение х'(1), то с помощью замены х(1)=х(т) — х'И) она преобразуется в систему = 8(х, 1), 2(х, 1) =Х(х" + х, 1) — Х(х') 1), имеющую тривиальное решение е(т) = — О, Отсюда следует, что задача об устойчивости произвольного частного решения эквивалентна задаче об устойчивости тривиального решения.
Пусть, кроме того, вещественная функция т'(х,1) непрерывна вместе с частными производными первого порядка в полицилиндре К. Оп редел ение 5 [7), Функция У(х, 1), определяемая равенством У (х, 1) = —, + ~~', — „Х, (х, т) = э, + (йгай 1', Х), (10.3.17) 1=1 называется полной производной ио времени 1 функции У(х, г) в силу системы (10.3.16). й 3.05.
Теоремы Ляпунова об устойчивости Перва я т е о р е м а. Если существует в К знакоопределенно положительная функция )т(х,1) такая, что ее полная производная У(х, 1) по 1 в силу системы (10.3.16) является знакоиостоянно отрицательной, то ее тривиальное решение х = 0 устойчиво в смгясле Ляиунова при Г -ь.
+ оо. Вторая теорем а. Если существует в К энакооиределенно положительная функция )т(х,1), допускающая бесконечно малый высший предел при х-+0 и такая, что ее полная производная т'(х,1) ио 1 в силу системы (!0.3.16) является энакоопределенно отрицательной, то ее тривиальное решение х = 0 асимитотически устойчиво в смысле Ляпунова при Г-> со. Третья теорем а. Пусть в К )т(х,1) доиускает бесконечно малый высший предел при х-+0 и имеет знакооиределенную и э.оо Ч. Х.
КАЧЗСТВЕННАЯ НИБЕСНАЯ МЕХАНИКА 836 производную У(х, !) по ! в силу системы (10.3.!6). Если при некотором !о ) Т в любой окрестности !~х!!< А ( а найдется точка (хо. !о), в которой выполняется неравенство У(хо го) ' У (хо, !о) ) О (10.3.18) то тривиальное решение х = 0 системы (10.3.!6) неустойчиво в смысле Ляпунова при 1-о оо.
3 а м е ч а н и е 1. Во всех теоремах область определения функции Х(х, !), вообще говоря, больше области определения функции У(х, !). Зто условие задано включением )(с: )('. 3 а м е ч а н и е 2. В третьей теореме У(х, !) не обязательно знакоопределенная функция.
Замечание 3. Как заметил Н. Г. Четаев [71], для того чтобы тривиальное решение х = 0 было неустойчивым, достаточно наличия хотя бы одного решения, исходящего из каждой, сколь угодно малой окрестности начала х =0 и выходящего за пределы фиксированной окрестности. Тем самым условия третьей теоремы Ляпунова могут быть ослаблены, что и сделал Н. Г. Четаев (см. теорему Четаева в (32], (71]).
Пусть Х(х, !)=Ах+ ф(х, !), (10.3.19) где А — постоянная (и Х и)'-матрица, и вектор-функция ф(х, !) такова, что — ' при х-»0 стремится к нулю равномерно по !. ф(к, 1) !)к! Тогда справедлива следующая теорема, составляющая основу первого метода Ляпунова. Т е о р е м а. Если все собственные значения матрицы А имеют отрицательные вещественные части, то тривиальное решение х = 0 системы (!0.3.16) асимптотически устойчиво в смысле Ляпунова при 1-ь +ос. ф 3.06.
Устойчивость по отношению к части переменных. Теорема В. В. Румянцева Рассмотрим й-мерный вектор Ф(х, !) (й ( и) и обозначим через у вектор у=Ф(х, !) — Ф(0, г). (10.3.20) О п р е д е л е н и е. Тривиальное решение х = 0 называется устойчивым в смысле Ляпунова по отношению к вектору Ф, если для любого е ~ 0 существует 6(е) ) О, что при любых начальНЫх нормах, удовлетворяющих условию (] х!о! )] < б э хьт! тл. к пРОБлемА устончнвостн в неБеснОЙ мехАннке аэт выполняется неравенство [[ у (!) ~[ < в при всех !) !ь.
Если й = и, то предыдущее определение сводится к определению 1 из $3.01. Такое определение известно в литературе как определение устойчивости по части переменных. Действительно, если вектор Ф имеет компоненты хь хь ..., хь (й ( и), то тогда речь идет об устойчнвости лишь й компонент вектора х = О. Пусть вектор у имеет компоненты хь ..., хь. Т е о р е м а В, В. Р у м я н ц е в а [123). Если существует энакоопределенная по отношению к вектору у функция У(х, !), полная производная У(х, !) по ! которой в силу системы (10.3.16) является знакопостоянной функцией противоположного с У знака, или тождественно равна нулю, то тривиальное решение х=О устойчиво по отношению к вектору у.
Определение знакопостоянной и знакоопределенной по отношению к части переменных функции у'(х,1) можно найти в [8?[, [123]. $3.07. Связка первых интегралов. Способ Н. Г. Четаева Пусть система (10.3.16) имеет з ( и известных первых интегралов р~(х)=с! (1=1, 2, ..., з). (10.3.21) Рассмотрим дифференцируемую функцию У = (т (Гь Ем ..., Р„йн й„..., й ), (10.3.22) зависящую От некоторых неопределенных постоянных параметров йь Хь ..., Х, подбираемых таким образом, чтобы функция у' была бы знакоопределенной. Очевидно, что в силу уравнений всегда (т = О, поэтому если у' является знакоопределенной, то отсюда вытекает устойчивость исследуемого решения х = 0 (заметим, что здесь вектор х означает евоэмущенияв).
В конкретт ных примерах основная задача состоит в выборе параметров Хь чтобы У' была бы знакоопределенной. Изложенный способ предложен Н. Г. Четаевым [124) и оказался весьма эффективным в различных разделах механики, в частности в небесной механике и астродннамике. Довольно часто зависимость (10.3.22) имеет линейный внд относительно параметров Аь и эти параметры выбираются таким образом [125), чтобы разложение у' в окрест; ности х = 0 начиналось с квадратичной формы. Если построен.- ная функция У является знакоопределенной, то тривиальное ре1пение х = 0 устойчиво, так как У = О, ч.
х. клчвствнннля нявиснля мвхьникк и зле аза $ 3.08. Устойчивость при постоянно действующих возмущениях. Теорема И. Г. Малкина Пусть в полицилиндре К" = [Т < 1 "ьь, [[у[~ < А) наряду с системой (10.3.16) задана система п дифференциальных уравнений — „~ = Х (у, 1) + )с (у, 1), (10.3.23) где вектор-функция Й(у, 1) характеризует постоянно действующие возмущающие факторы. В отличие от Х(х,1), которая тождественно равна нулю при х = О, Я(у,1) может и не обращаться тождественно в нуль прн у = О.
О и р е д е л е н и е. Тривиальное решение х = 0 системы (10.3Л6) называется устойчивым при постоянно действующих возмущениях, если для любого е ) О существуют б~(е) и бз(е) такие, что всякое решение у системы (10.3.23), для которого начальная норма [[у~и[[ удовлетворяет условию [[уев[[< 61(в) при любом векторе 1с(у, 1), удовлетворяющем в полицилиндре (1ь ~~1< оо, [[уЦ< е), условию [[лс(у, 1) [[< 6,(в), само удовлетворяет при всех 1 ) 1ь неравенству [[у(1, у'"', 1ь)![<в. Впервые определение устойчивости при постоянно действующих возмущениях было дано в статье Г.
Н. Дубошина [126). Теорема И. Г. М а л к и н а [72). Если для системы (10.3.16) существует знакоопределенно положительная функция т'(х, 1), полная производная по 1 которой Р(х, 1) в силу системы (10.3.16) является знакоопределенно отрицательной и если в по!! в1т лицилиндре К' норма [[ — ~ ограничена, то тривиальное реитение х= 0 устойчиво при постоянно действующих возмущениях.
Г. Н. Дубошиным [126) было дано первое общепринятое определение устойчивости при постоянно действующих возмущениях и рассмотрены некоторые, весьма важные в приложениях, случаи теоремы об устойчивости при постоянно действующих возмущениях, когда возмущающие факторы 1с(у, 1) голоморфны по у н не зависят от .'. $ 3.!е! Гл. к пеовламА устоичиэости В наьаснои маклникя 839 9 3.09. Теоремы Лапласа — Лагранжа и Пуассона об отсутствии вековых возмущений больших полуосей Теорема Лапласа — Л а г р а н ж а (59]. Если невозмущенные средние движения планет в планетном варианте задачи !У тел несоизмеримы, то большие полуоси планетных орбит (и, следовательно, средние движения и канонические элементы Ь) не содержат вековых возмущений первого порядка относительно возмущающих масс, Теорем а П у а с сон а [59).
Если невозмущенные средние движения планет несоизмеримьь то возмущения второго порядка (относительно возмущающих масс) больших полуосей не имеют вековых членов. Исследования возмущений третьего порядка больших полуосей показали, что они содержат вековые возмущения (791 Теоремы Лапласа — Лагранжа н Пуассона указывают лишь на устойчивость в смысле Лагранжа (см. $3.03) планетных орбит на конечном промежутке времени. Чем меньше возмущающие массы, тем больше этот промежуток. 9 3.10.
Теоремы об устойчивости планетных орбит Дифференциальные уравнения для оскулирующих элементов, положенные в основу теории вековых возмущений Лагранжа (см. ч. 1Ч, $8.03), которые получаются из общих уравнений для оскулирующих элементов в результате замены возмущающей функции ее вековой частью (см. ч.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
