Справочное руководство по небесной механике и астродинамике. Под редакцией Г.Н. Дубошина (564382), страница 130
Текст из файла (страница 130)
А) Движения гиперболические: гм = + аа ! ++ее го!=+ оа ! -+ нее 1нп г,о — — + ~, ! -и+че причем гн — — 0(1) для достаточно больших значений 1. Отсюда вытекает, что Р(ю,,4, га/ 11т [Уо[> О, !.++» Вгп 11Г! [> О, ! .++ее 11Гп [УА[> О. ! -++ В) Движения гипербола-параболаческие: 1нп гм =-+ оа, 11Гп гон=+ аа, 11Гп гм=+ ааг !.++ а 1-++ ! ++ее Рнс. Н!. Види- нрнмоуговьнвн бврицентрическви Скетсне КааРЦМНВт; Рч, Чг, от †бВРНЦЕНтРИЧЕСК СКОРаетМ таЧЕК Рч, Рь Рв СаатевтетеЕНМа причем !о! (1) = О [Г)г гм (1) = О (!)г гго (1) = О (1 ~~) 11п1 Гон + оа !пп гн ( С1 !.++ е !.++ га 11ГП го1 = + 1.++ для достаточно больших значений 1.
Отсюда вытекает, что 1нп [У!о[=0, 1г!! — скорость тела Р! относительно РР !.а 1- С) Дважения гипербола-эллиптические: о ьсв! гл. с. пеоиодическне и головне.паниодичискис гашения 809 С, — некоторая постоянная, причем го (!) = О (!), гоо (!) = О (1) при достаточно больших значениях !. О) Движения парабола-параболические: 1пп 㻠— — + оо, причем все г» (!) = О (!'с) для достаточно больших С На бесконечности все относительные скорости обращаются в нуль.
Е) Движения парабола-эллиптические: ! пп гм = + оо, 1(т гш = + оо, 1пп гсг ( С, с.++ с -++а с -++а причем с'ос (1) =' О (! ) гся = О (! ) для достаточно больших й Отсюда вытекает, что Вш ! 1гос ! = Вш ! 1г ! = О. с -+ча с -о.~.а Р) Движения ограниченные: все Ит г,с (С. с -+ ч а О) ДвижениЯ осс4иллиРУюЩие: 1пп гм <С, а гос(!) и гп(!) с.+ о с одной стороны неограничены, но и не стремятся к бесконечности при 1-~+со.
Существование таких движений у Шази не было доказано. Этот вопрос положительно решен К. А. Ситниковым [50[. Очевидно, что в приведенной классификации индексы О, 1 и 2 не имеют существенного значения. Пусть й — постоянная интеграла энергии, написанного в барицентрических координатах. Если А ~ О, то прп 1-+ +со финальные движения могут принадлежать только типам С), Е), Р), О).
Если й = О, то при 1-~+о финальные движения принадлежат либо С), либо Р). Если Й» О, то при 1-с +со финальные движения могут принадлежать А), В), С). Аналогичная классификация имеет место и при 1-+ — оо. Переход от одного типа финальных движений (при 1-+ — оо) к другому (при 1-++со) связан с так называемой проблемой захвата, рассматривавшейся многими авторами [49), [5!) — [53).
Согласно Шази назовем захватом в задаче трех тел следующий переход: А -+ С с-о -а с-++ 1% 1.09 ч. х. ХАчественнАя неБЕснАя мехАникА В1О Наиболее полно проблема захвата рассмотрена В. М. Алек- сеевым [54[, [55). Согласно Алексееву частичным захватом в задаче трех тел называются переходы С -+ Е, С вЂ” 0 с-э- » с-+ма с-+- с.++» Е -+ С , 0 -+ С С. — с- +а с — с- +а Š— О, Сс -+ Е с-+- с-++ с.+- «.»+ Полным захватом называются переходы С -+ Р, Е -+ Р, 0 -+ Р са- с++ с.+- с.++» с.+- с.++ Наконец, обменом в задаче С -+ С С.+ — э ю -++а Р -+ Р с-+- с-++ трех тел называются переходы Е -+ Е с.+-а с.+-с- » 0 -ь 0 с -+ — » с.++ Последние переходы содержат как тривиальные случаи (когда остается без изменений не только тип финальных движений, но и характер движений в системе трех тел), так и наиболее интересные случаи, когда роль компонент в материальной системе существенно меняется.
Например, С -» С 2) Р-ьР: тело Рс было спутником Р, при )-ь — оо, а при !-ь+ во становится спутником Рь В. М. Алексеевым доказано, что все указанные типы цереходов возможны в задаче трех тел. Иногда удается определить вероятность захвата [52),[55). Финальные движения в задаче и:: 3 тел не изучены.
)снс «'„+ со, с-+- )си« тес=+ во с .+ [ип тм(С, с+- )ип «ы — — + со, с.++ !Нп тсз=+ оо, с.+ + !Нп тга < С. с.++ а Глава 2 П РОБЛ ЕМА И НТЕГРИ РУЕМОСТ И И СХОДИМОСТЪ РЯДОВ В НЕБЕСНОИ МЕХАНИКЕ Всякая задача небесной механики сводится к дифференциальным уравнениям, и, следовательно, ее решение равносильно решению дифференциальных уравнений, описывающих ее.
Однако термину «решение» дифференциальных уравнений на разных этапах приписывалось различное содержание и в силу сказанного проблема интегрируемости в небесной механике трактовалась в различные эпохи по-разному. С эпохи Лагранжа и Лапласа задача считается интегрируемой, если она решается «в квадратурах», т. е. можно найти общий интеграл дифференциальных уравнений задачи, содержащий независимые произвольные постоянные, число которых в точности равно порядку системы. С этой точки зрения наиболее интересными интегрируемыми задачами являются задача двух тел (ч.
11) и задача двух неподвижных центров (см. ч. Ч, гл. 3). В задаче и '- 2 тел известны 10 первых интегралов (см. ч. 1У), и, как показал Лагранж, порядок системы может быть понижен еще на две единицы. Следовательно, для нахождения ее общего интеграла следует знать еще бп — 12 первых интегралов, однако фундаментальные исследования Брунса, Пуанкаре и Пенлеве (см. Я 2.03 и 2.04) доказалн бесплодность дальнейших поисков. ,Развитие аналитической теории дифференциальных уравнений позволило дать еще одну трактовку проблеме ннтегрируемости в небесной механике. Если можно найти решение дифференииальных уравнений задачи небесной механики в виде рядов, сходяи(ихся для любых априорно заданных параметров системы (массы тел, начальные условия и др.), то данную задачу также можно отнести к интегрируемым задачам.
Для задачи трех тел такое решение найдено Зундманом (см, $2.05). Основные трудности, которые возникают при отыскании решения в виде степенных рядов, связаны с устранением особенностей в дифференциальных уравнениях, возникающих из-за возможности столкновения двух или большего числа тел (см. $2.04). ч.
х. кАчественнхя неБеснАя мехАниКА 3 2Я! 812 Другая, качественная трактовка проблемы интегрируемости, получившая развитие в наше время, понимается как построение универсальной классиЧ2икации всевозможных решений по различным свойствам п связанное с этим разбиение всего фазового пространства на области, содержащие движения, првнадлежащне только одному классу. При этом сами решения в случае надобности могут быть найдены приближенно либо аналитическими, либо численными методами.
Пуанкаре ввел понятие практической интегрируемости задач небесной механики, понимая под этим нахождение приближенного решения, удовлетворительно представляющего наблюдения и охватывающего практически приемлемый промежуток времени. В этом смысле все задачи небесной механики интегрируемы, особенно в связи с большими возможностями электронных вычислительных машин. Использование методов теории возмущений (см.
ч. Гт', гл. 9) обусловливает появление асимптотических расходящихся рядов. Практика построения теорий движения тел Солнечной системы, накопленная в небесной механике на протяжении двух столетий, говорит в пользу применения таких рядов в конкретных задачах. $2.01. Теорема Пуассона об интеграле гамильтоновой системы Пусть задача описывается гамильтоновой системой 2п-го порядка де дН дР дН (10.2.01) ш др' 1и дч' где Н(Ч, р, !) — известная функция Ч, р и !.
О и р е д е л е н н е. Скобкой Пуассона двух скалярных функций ~1(Ч1 Ч2 ' ' '~ Чл~ р1~ рг~ ю Рл) и Е2(Ч1 Ч2~ Чл Рь °, рл) называется выражение л л 1 Теорема Пуассона. Если Е1 — — С, и Е2 — - С2 являются двумя первыми интегралами системы (10.2.0!), то выражение (Рь Г,) = С либо представляет собой первый интеграл системы (!0.2.01), либо является тождеством. К сожалению, в задачах небесной механики теорема Пуассона не позволяет получить новые первые ннтегралы, так как она приводит к тем же известным интегралам или к их комби- Гл.
к пиозлелы интггиигузыости 8!3 нации. Она может быть использована лишь для формального построения нового интеграла, не представляющегося конечным выражением (см. [56], [57]), а рядом, сходимость которого не установлена, например, адельфического (родственного) интеграла (см. [58]). 2 2.02. Теорема Брунса о несуществовании алгебраических первых интегралов задачи трех тел, отличных от классических Прежде чем сформулировать теорему Брунса, приведем несколько лемм, имеющих самостоятельный научный интерес.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
