Справочное руководство по небесной механике и астродинамике. Под редакцией Г.Н. Дубошина (564382), страница 129
Текст из файла (страница 129)
(10.1.55) 4. Движение на торе Т„условно-периодично с л-частотами ьн дОо — =мо — =мо ~И ' д! дНо дН1 — "= — ! ддяооо дтв (10.1.57) Эта общая теорема позволяет доказать, что в задаче о движении Ф планет существуют условно-периодические решения, если массы планет достаточно малы и их невозмущенные эллиптические движения происходят в кольцеобразных областях трехмерного пространства, не пересекающихся друг с другом, Последнее условие для всех больших планет (исключая Плутон) выполняется. Применение теоремы Арнольда в небесной механике возможно, если написать уравнения движения в канонических переменных Делоне (см.
ч, 1У, гл. 1) и воспользоваться теоремой Биркгофа (4!) о приведении гамильтоновой системы к нормальной форме. Роль частот оз играют средние движения планет. й 1.08. Условно-периодические решения в небесной механике. Геометрическая интерпретация По традиции в задачах небесной механики условно-периодическим называется (140) такое решение, в котором позиционные переменные (большая полуось, зксцентриситет, наклон н аналогичные им канонические переменные) выражаются в виде условно.периодических функций времени, т. е. имеют вид (10.1.39) (а(!), е(1), 5.(1), ...) Х Аке' '"", (10,1.58) !к!эо а угловые переменные (средняя и истинная долготы, средняя аномалия, долгота перицеитра, долгота узла и др.) выражаются в виде сумм линейных функций и условно-периодических функций времени, т.
е. ( ()' ()' М(1) м(1) оо(о)) Ох+ Х Аке '"', (10,1,59) !к!>о Это отличие дается оценками 1)е ((о!) ! < Вб, 1)о„(Ц) ! < ЕЬ,! Ыо,. (оЕ) 1 < ЕЬ, )йо,„((!) ! < ВЗ. (10,1.55) ч. х. КАЧественнАя небеснАя мехАникА н ьюю ВО4 Не существуют в задачах небесной механики такие решения, в которых все переменные (позиционные и угловые) представлялись бы условно-периодическими функциями вида ((О.!.58). Можно дать два геометрических изображения условно-периодических решений.
Рассмотрим, ради простоты, совокупность двух пар функций: одна пара — оскулирующие большая полуось а(1) н зксцентрнситет е(1), вторая пара — средняя аномалия М(1) и угловое расстояние перицентра юю(1). Предположим, что а(1) и с(1) имеют вид ((О.!.58), а М (1) и юю (1) — вид ( ! О. ). 59) . Заметим, что с помощью таких переменных можно описать движение пассивно гравитирующей (нулевой) массы Р в плоской ограниченной задаче трех тел, или движение каждой массы в плоской 1э'-планетной задаче. В невозмущенной задаче а = а„е = ею, сю = ююю, М = = а~1+ Мь т. е. две позиционные переменные (а, е) и одна угловая переменная (ы) суть постоянные, а вторая угловая переменная (М) — линейная функция времени.
Не ограничивая общность, можно положить ююю = Мю = О. Одно геометрическое изображение для случая ею ( 1 дано на рис. (06. Эллиптическая орбита точки Р неподвижна в неподвижной системе координат Яху и касается Р двук окрух<ностей: окружности, ра- УУ диус которой равен расстоянию пе. рнцентра гю=аю(! — ею), и окруж- е .. ю. и ююэжеэиэ элэиэээээ.
ности, радиус которой равен расстоянию апоцентра !тю = аю(! + Бю). Для получения второго геометрического изображения воспользуемся тором, образованным прямым произведением двух окружностей ((4!) с радиусами аю и ею (рис. !07). Введем на торе две угловые координаты: долготу М н широту юю. Так как юю = ю>ю = О, М = а11, то движение точки Р на торе изображается равномерным движением по экватору тора. Допустим теперь, что а(1), е(1) суть функции вида ((О.!.58), а М(1), б1(1) — вида (!О.!.59), Так как условно-периодические Функции ограничены для всех 1еи ( — оо, оо), имеем авг!н < а (1) < а,х, еп!и < е(1) < !'жахг М п < М (1) — П,1 < М„,х, ((О.!.60) мж1п < от (1) аа! < %пах.
ПрнЧЕМ апг1п< »аб < <апгахг Ерин< »Еб» »Вшах Если ввести теперь величины 11жах ~ ажвх (! + ежах)г Гж1п — — а !п(1 — Е а„),,) ()0.!.ЕЦ то Очевидно, что Я!пах » ~)чв, уннп <» го. Для всех 1~( — оо, оо) существует плоское круговое кольцо Г бп < Г = Р1жах, ВиутрИ КОтарОГО ПрОИСХОдИт дВИжЕНИЕ тоЧКИ Р (рнс. (08).
Траектория иногда может касаться как внутренней, Рис. !м иаобрвжение условно-периодеческогп движения в плоскости орбяги. Рис, 1ОР. Перичлегнагвческая орбита в вадача трех тел твк и внешней границы кольца, но вероятность такого события равна нул!о. Если существует условно-периодическое решение, в котором а = сопв(, е = сопв(, М(1), ы(1) имеют внд ()О.!.59), то такое решение изображено на рис. (09. Такие решения часто называются периклегд!атическими. За бесконечное время угловые переменные М(1) и ы(1) увеличиваются бесконечное число раз на 2п, т. е. движущаяся точка Р бесконечное число раз обходит начало координат, а воображаемая прямая, соединяющая смежные по 1 максимум и минимум кривой, также совершает бесконечное число поворотов вокруг начала. $!.ю! Гл.
1. пеРиолические и условнО-пеРиодические Решения аоа Ч. Х. КАЧЕСТВЕННАЯ НЕБЕСНАЯ МЕХАНИКА Если для геометрического изображения воспользоваться тором, то тогда сушествует в трехмерном пространстве тор (бублик) с радиусами !1згпан и и зп, а движение точки Р изображается кривой, целиком расположенной внутри тора. Прн этом точка совершает бесконечное число оборотов по долготе н бесконечное число раз переходит нз верхней (северной) части тора в нижнюю (южную). При а = сонэ! и е = сопз! точка движется по поверхности тора с радиусами !тп, гп, совершая бесконечное число оборотов по долготе и широте (рис. 110, 1!! ). Таким образом, в случае а = сопв(, е = сопв1 имеем обмотку поверхности тора (если а! и ау рационально несоизмеримы) или «заметыванпе» кольца.
В общем случае (а = а(!), е = е(!)) имеем «заметывание» кольца, илп всюду полное наполнение тора. В исключительных Рис. ! ! !. Изображение услотно-перио- дического движении иа торе. Рис. ззп. Иаотражсиие простран. стаенного условно-перподич ского данженин. случаях (например, если а! и аи рационально соизмеримы) траектория замыкается после некоторого числа оборотов, и мы получаем периодическое решение. Аналогичные геометрические интерпретации условна-периодических решений можно дать и в случае большего числа позиционных и угловых переменных. Например, в пространственной ограниченной задаче трех тел число позиционных и угловых переменных равно соответственно трем (а(!), е(!), !(!) и М(!), Бз(!), Й(!)). Вместо кругового плоского кольца следует рассматривать полый цилиндр, основанием которого служит круговое кольцо, а высота равна 2!гпан, где (г(!) («.
!' „. Вместо двумерной поверхности тора следует рассматривать трехмерную поверхность тора, полученную прямым произведением трех окружностей с радиусами аглаи, а!пан, !изин. Первые условно-периодические решения в задаче трех тел нашел Пуанкаре (2). Его метод малого параметра (см. 5 1.01) позволяет находить в определенных системах координат условно.периодические решения задачи трех тел. Периодические решения первого, второго, третьего сорта суть, вообще говоря, 41.ай! гл. 1, периодические и условно-пвриодичкскик Рвшвния вв7 условно-периодические решения, так как координаты точек в неподвижной прямоугольной системе координат даются функциями типа (10.1.59). Периодические решения Шварцшильда (см. $ 1.03) также являются условно-периодическими решениями в неподвижной системе координат.
Условно-периодические решения У-планетной задачи, найденные Арнольдом в З 1.07, являются условно-периодическими решениями второго сорта, пользуясь терминологией Пуанкаре. В. Джефрисом и Ю. Мозером (42! и Г. А. Красинским (43) доказано существование условно-периодических решений первого сорта (почти-круговых движений) в задаче трех тел и в плоской !У-планетной задаче. Построены условно-периодические /илатрнат Рнс. 112.
2 плевка-периодическое движение спутника «а вллипсакдальиой поверкнастн. Рнс. 112. Часть трекксрното пространства, в которой проистодит условно-перноднческое двиасеииа спутника. решения в окрестности точек либрации (36), (140). Условно-периодические решения в осредненных вариантах плоской ограниченной задачи трех тел найдены в (29], [140). Все перечисленные классы условно-периодических решений имеют «периплегматический» характер, илн суть движения в торах или на торе. Дж. Винти (45), М.
Д. Кисликом 146], Е. П. Аксеновым, В. Г. Деминым и Е. А. Гребениковым (47) доказано существование условно-периодических решений в задаче о движении искусственного спутника сфероидальной планеты. Ими доказано, что при отрицательных энергиях спутника существуют условно. периодические решения, всюду плотно обматывающие часть эл. липсоидальной поверхности, заключенной между двумя параллелями (рис. 112), или всюду плотно заполняющие тело вращения, образованное вращением фигуры (рис. !!3) вокруг оси Ог.
В конце заметим, что доказательство существования условно-периодических решений в планетных задачах, основанное на г1. Х. КАЧЕСТВЕННАЯ НЕБЕСНАЯ МЕХАНИКА Н 1АВ 818 нрвменении методов ускоренной сходнмости ньютоновского типа [48), содержит в себе и способ построения некоторых классов условно-периодических решений гамильтоновых систем.
Конструктивная часть метода достаточно подробно описана Ю. Л. Рябовым [140[. 5 1.09. Финальные движения в задаче трех тел. Захват и обмен в задаче трех тел Финальными движениями в задаче и тел называются пре- дельные движения, к которым стремятся движения каждого из тел при à — ь н-аа, Классификация финальных движений в задаче трех тел была дана Ж Шазп [49). Согласно Шазн существует семь типов финальных движений в задаче трех тел (рис. 114).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
