Справочное руководство по небесной механике и астродинамике. Под редакцией Г.Н. Дубошина (564382), страница 134
Текст из файла (страница 134)
Глава 3 ПРОБЛЕМА УСТОИЧИВОСТИ В НЕБЕСНОИ МЕХАНИКЕ Основная задача теории устойчивости движения — это установление критериев, позволяющих судить, будет ли данное движение устойчивым или неустойчивым. При этом понятия «устойчивость движения» или «устойчивость решения» трактовались в предшествующий период и трактуются в настоящее время поразному.
В хронологическом порядке, по-видимому, сначала появилось понятие «устойчивость по Лагранжу», далее «устойчивость по Пуассону», «устойчивость по Хиллу». «устойчивость по Якоби», «устойчивость по Ляпунову», «устойчивость на конечном промежутке времени», «устойчпвость при постоянно действ ющпх возмущениях» и др. отя возраст теории устойчивости соразмерен с возрастом теории дифференциальных уравнений, лишь в 1892 г. благодаря Ляпунову она получила наиболее общую постановку и, главное, весьма мощные и математически строгие методы исследования, В приложениях постановка задачи об устойчивости движения, принадлежащая Ляпунову, и методы, созданные им, оказались весьма удачными и эффективными.
3 3.01. Определение устойчивости по Ляпунову Пусть имеется векторное дифференциальное уравнение —, =~(х, 1), (10.3.01) где л-мерная вектор-функция 1(х,1) определена в (и + 1)-мерной области О»», = 6„ Х ~ь 1 ен у, = (а, оо), х ен бэ„ 6„ — область в и-мерном пространстве »(". Пусть, далее, уравнение (10.3.01) допускает частное решение х = х(1), Это решение, следуя Ляпунову, будем называть невозмцщенным, а все другие — возмущенными. взо ч. х. кАчественнАя неБеснАя мехАникА М ЭЛ1 Определение 1 (32]. Частное решение (невозмущенное движение) х = х(1) называется устойчивым по Ляпунову по отношению к вектору х, если для любого е > 0 и (Бед(а, оо) существует 6 = 6(е, (а)) 0 такое, что выполняются следующие условия: 1) все решения х(1) (в том числе и х(1)], удовлетворяющие условию Цх(1,) — х(1„) Ц (6, (10.3.02) определены в бесконечном интервале 1Б г ( оо; 2) для этих решений справедливо неравенство Ц х (1) — х (1о) Ц ( В (1О.3.
03) цри всех (Б ~ 1 ( оо. Здесь норма вектора х(1) понимается как сумма модулей о компонент Цх(1) Ц= ~ ! хА(1) !. А=-1 Определение 2. Если 6 — = 6(е) (не зависит от грен Т) и выполняются остальные условия определения 1, то решение х(1) называется равномерно устойчивым в области Т. О п р е д е л е н и е 3. Решение х(г) называется асимптоти чески устойчивым при 1-+ оо, если оно устойчиво и к тому же для любого 1Б ~(а, оо) существует 6= Ь(1ч)) 0 такое, что все решения х(1), удовлетворяющие начальному условию Цх(га) — х((Б) Ц ( Л, обладают свойством 1! гп Ц х (Ю) — х (г) Ц = О.
(10.3.04) 8+а В частности, тривиальное решение х(1) = 0 асимптотически устойчиво, если оно устойчиво и 1пп х(1) =О. 1.+ (10.3.05) Определение 4. п-мерный шар ЦхЦ 6((ч) при фиксированном 1Б называешься областью притяжения положения равновесия — тривиального решения х(1)= О, изображаемого началом координат в системе Ох1хз ... х,. Определение 5. Пусть область 6 — = (т . Если имеет место определение 3 и 1А = оо, то решение х(1) называется асимитотически устойчивым в целом.
Для асимптотнческн устойчивого в целом решения его областью притяжения является все пространство и'". Определение 6. Решение х(1) называется неустойчивым по Ляпунову, если для некоторых а > О, (ая(а, оо) и любого 3 3,03! Гл. 3. ЙРОБлемА устоичиеости е невеснои мехАнике вз! б ~ 0 существует хотя бы одно решение х3(Г) и момент !1 —— = !1(6) ) 13 такие, что [[хв(13) — х(!3)[! < 6 и [!хв(11) — х(1) [!>а, (10 3 06) О и р е д е л е н и е 7. Решение х(!) уравнения (10 3 О! ) называется устойчивым при постоянно действующих возмущениях С" (Еу), ЕСЛИ дЛя ЛЮбЫХ Е,.» 0 И !3ЕН (а, оо) СущЕСтВуЕт 6 = = 6(е, !3)- 0 такое, что при [[Р(у,1)[! < 6 все решении у(1) векторного уравнения — ", =1(у, 1) + 1» (у, !), удовлетворяющие условию [[у(13)[! < 6, определены в бесконечном интервале ! ы [1„оо) и к тому же [! у(1) — х (1) !! < е при ! ен [г„оо).
(10.3.08) Аналогичные определения можно дать и для — оо < г = !о. Ляпуновым разработаны два общих метода исследования на устойчивость решений дифференциальных уравнений, получившие в литературе название «первого метода Ляпунова» и авто- рого метода Ляпунова». В $3.05 приводятся основные теоремы Ляпунова. Эти выдающиеся результаты послужили источником для огромного количества работ по качественной теории дифференциальных уравнений, теории нелинейных колебаний, аналитической и качественной небесной механике. Впервые они были опубликованы в докторской диссертации А.М. Ляпунова [7».
Укажем также на издания [8», [32[, [7! — 73», содержащие подробное изложение как основных теорем Ляпунова, так и результатов многих его последователей. $ 3.02. Определение орбитальной устойчивости О и р ел ел е н и е 1. Если решение х(1) существует при а < г' < Ь, то множество точек Е = [х(1); а < 34Ь» называется траекторией. Определение 2. Положительной полутраекторией назыВастСя МНОжЕСтВО ТОЧЕК Е'(Х(!); !3 < ! < оо», ОтрицатЕЛВНОй нолутраекторией — множество точек Е-[х(!), — со < 1 < 13». Определение 3.
Расстоянием точки хе= )ч" до некоторого множества Е с: 1т" называется величина р(х, Е)= 1п( [[х — у[! еоС [р(х, Е) — расстояние точки х до еближайшей» точки множа. ства Ц. ч, х, клчественнля невеснля механика 3 злз аз Определение 4. Решение х(!) (га(! ( ьь) уравнения (10.3.01) называется орбитально устойчивым при г-+ ьь, если для любо~о а ) 0 существует б = б(е, !ь) ~ 0 такое, что прн ![х(! ) — х(! )!! < б выполняется неравенство р(х(г), т'~) <в прн 1ь(! < со, где Х+ = (х (!), ! ( ! < ьь). Если к тому же !!гп р(х(!), ь+)=О, то решение асимптогис-+ чески орбитально устойчиео. 3 а м е ч а н и е. Из устойчивости решения вытекает его орбитальная устойчивость, но нг наоборот. 5 3.03.
Другие определения устойчивости Определение устойчивости по Лагранжу. Пусть 6, — область конечных размеров, принадлежащая л-мерному евклидову пространству !с". Будем считать, что 6„имеет конечные размеры, если для любых х ен 6„, у ен 6 [[х — у!! < С, (10.3.10) где С вЂ” некоторая постоянная. Частное решение х(Г) уравнения (10.3.01) называется устойчивым по Лагранжу, если выполнены условия «(гь)~6ю «(!)~6в, Г~гь (10.3.11) Условия (!0.3.11) означают ограниченность решения х(!) для всех значений !'= г,. Область сплошной устойчивости по Лагранжу — зто область, состоящая только из траекторий, устойчивых по Лагранжу. Определение устойчивости по Пуассону.
Частное решение х(Г) уравнения (10.3.01) устойчиво по Пуассону, если точка М, описывающая траекторию, за бесконечное время проходит бесконечное число раз через сколь угодно малую окрестность начальной точки М,. Устойчивость по Пуассону траекторий получила большое развитие в теории динамических систем [4!). Определение устойчивости по Хиллу. Плоская ограниченная круговая задача трех тел имеет интеграл Якоби (5.2.07). Если постоянная интеграла Якоби С больше С(7т) [С(7.,) — значение постоянной интеграла Якоби для точки лнбрацин Ьт), то область возможности движения третьего тела (рис.
1!5) состоит либо из одной овальной области, содержащей точки Ро и Р~ (при С(Ел) «. С < С(Е~)], либо из двух овальных областей, одна из которых содержит тело Ро, а другая — Р1 (при С' » С(Е1) ), и области, внешней относительно кривой, расположенной за пределами всех точек либрации (кривая С*). Если С ) С(Е,) и начальная точка траектории находится в одной из этих овальных областей, то траектория называется устойчивой по Хиллу.
В частности, таковыми являются спутниковые Орбиты при Рле. ~1о. колола холла лала»ой скоРости. 1 ео( — оо, аа) 1для них С' » С(Е1) » С(Ел)]. Определение устойчиво с т и по Я к об и. Пусть дана система дифференциальных уравнений четвертого порядка (1О.3.12) обладающая «интегралом энергии» ( т) +~ вт) =Рз(хэ у й).
(10.3.13) Пусть имеются два решения: х=х(о! И), у = Р'(г), к=хааа)(1)+бх(1) у=фа!(1)+бу(1) (10.3.1 4) (10.3.15) определяемые близкими начальными условиями и принадлежащими одному и тому же изоэнергетическому семейству (для них Й одно и то же). Траектория (10.3.14) называется устойчивой в смысле Якоби, если любая траектория (10.3.15) с возрастанием 1 сближается с первой (точнее, порядок величины расстояния между ними выше первого порядка малости). Понятия устойчивости в смысле Хилла и Якоби специально приспособлены для исследования поведения решений ограниченной задачи трех тел. Определение устойчивости но Хиллу и Якоби впервые встречается у Пуанкаре, однако наиболее корректные Определения лт Под рад.
Г. Н, Дтвомлла $ з.оя Гл. 3. пеовлемд устоячиаости в невеснои мехАВике азз и э.оо ч. х. кАчестаеннАя невеснАя мехьннкА и, главное„наиболее общие качественные результаты в проблеме трех тел, связанные с ними, содержатся в работах Дж. Биркгофа [74], Н. Д. Моисеева [75], [76] и В. В. Степа нова [77). В литературе встречаются различные определения устойчивости на конечном промежутке времени, н интересующемуся читателю можно указать работу [78]. $3.04. Знакопостоянные и зиакоопределенные функции. Полная производная в силу системы Рассмотрим полицилнндр К = (Т < 1 <: оо, ]]х,'] ( а) в (и + 1)-мерном пространстве 6„+, = 6„Х 1ь О„есть и-мерное евклидово пространство, 1о = ( — оо 1 < оь). Пусть вещественная непрерывная скалярная функция ]т(х,1) задана в К.
Определение 1 [32), ]т(х,1) называется знакопостоянной (знакопостоянно положительной илн знакопостоянно отрицательной) в К, если Ъ'(х, 1))О (или ]т(х, 1)(~0) при (х, 1) еи К. Определение 2. ]т(х,1) называется знакоопределенно положительной в К, если существует непрерывная функция йГ(х) при ]]х]] < а такая, что ]т(х, 1)) йт(х)) 0 при []х][чьО, ]т(0, 1) =]!Я(0)=0. Определение 3. ]т(х, 1) называется знакоопределенно отрицательной в К, если существует непрерывная функция ]]Г(х) при ]]х[[ < а такая, что ]т (х, 1)< — ]Р(х) <О при ]]х]]чьО, ]т (О, 1) =]]]т(0) =О. О и редел ение 4',7].
Функция ]т(х.1) имеет бесконечно малый высший предел при х-~-О, если для любого е ) 0 существует б(е)) 0 такое, что ~]т(х, 1)] <в при ,']х]]<б и 1еп[1о, оо], где 1о> Т. Из определения 4 следует, что ]т(х,1), допускающая бесконечно малый высший предел при х-~О, ограничена в полици линдре Ко =(1о =1< оо, ]]х1]< а)с: К. Пусть имеется система и дифференциальных уравнений — — Х(х, 1) (10.3.! 6) Гл, з. пеозламь устоичивости в неваснои маклникв аза з кьи такая, что Х(0,1) = 0 и вектор-функция Х(х, Г) непрерывна вместе с частными производными первого порядка в полицилиндре К" =(Т < г < со, 1~х1!< А, А > а), т. е. Кс: К".
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
