Газодинанамика в одно- и двухфазных течений в реактивных двигателях (562026), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Возможные разрывы непрерывности физических величин, при которых процесс не противоречит основным законам 101 массы, количества движения и энергии, устанавливаются условиями совместности ~8~. Для определения этих условий законы сохранения применяются к системе, включающей поверхность разрыва в интегральной форме. Для неподвижной поверхности разрыва, т. е.
скачка уплотнения, расчетные формулы могут быть получены на основе газодинамической модели. 5.4.1. Модель расчета. Воспользуемся газодинамической моделью, рассмотренной в разд. 4.6, Рис. 5.1. Прямой скачок на входе в диффузор со следующими допущениями. 1 Процесс в скачке энергетически изолирован, т. е. Ц =а~ „=О. (5.2) (5.3) г.е. струйка цилиндрическая. Из условия (5.2) и уравнения энергии следует, что 102 2. Рабочее тело представляет собой совершенный газ; коэффициенты, характеризующие физические свойства рабочего тела, С, й, В и др., не изменяются в процессе, т. е.
одинаковы р до и после скачка. 3. Процесс в скачке является необратимым. 4.Толщина фронта скачка представляет собой поверхность разрыва с толщиной о — + О. Выберем газодинамическую систему (рис. 5.2) в форме цилиндра, ось которого совпадает с направлением вектора скорости. Цилиндр включает в себя фронт скачка о и ограничен начальным сечением Н и конечным 1, так что параметры в этих сечениях можно считать равномерными (фронт скачка не оказывает влияния на параметры в этих сечениях). Так как сечения 5=0 и сечения Н и 1 могут быть сколь угодно близки к фронту скачка, то можно полагать, что качка Рис.
5.2. Система для расчета прямого скачка (5.4) Уравнение неразрывности (4.71) с учетом (5.3) и (5.4) имеет вид (5.5) Из условия равновесия системы Р„=О (5.6) и уравнения количества движения (4.71), (4.86) и (4.87) с уче- том (5.З) и (5.4) ( 1) = ( н). Р1 «1) =Рн «н): (5.7) (5.8) Уравнения для расчета параметров в сечении (4.56) и (4.58) имеют вид: н ( н) н Р1 Рн н(Х1) н(Х) '~'1 Рн — = т (Х1); — = Я (Х ); = к (Х1). Определяющие уравнения (4.32), (4.6Ц = Е (Х~)„ ~н Ю.
Р1 Рн Р~ Рд — =в(Ъ. ). Рн Условия закона обращения воздействий (4.96) и (4.100) имеют вид т Ив Ь пр 2 тР* (5.9) е 2 тР (5.10) Уравнение качества процесса (4.27) с учетом (4.100) (5*11) ра торможения не изменяется, т. к. Т~ —— Т и поэтому при н уменьшении скорости статическая температура увеличивается в соответствии с (4.56). Из-за необратимости процесса давление торможения уменьшается, и р~ < р (уравнение (4.100)). Изменение плотности торможения р пропорционально р, так что Р~ < Р„, а статическая плотность растет в соответствии с уравнением неразрывности в виде 5А.2. Анализ течения. Основное кинематическое соотношение для прямого скачка.
Модель расчета скачка является моделью расчета энергетически изолированного необратимого процесса в цилиндрическом канале. Уравнения модели позволяют провести качественный анализ изменения параметров, не проводя их решения. Итак, скорость потока и в скачке уменьшается, по определению, так, что ~и < ы (рис. 5.3). В соответствии с уравнением количества движения (5.8) (или законом обращения воздействия (4.101) статическое давление р растет, и р~ > р . Для энергоизолированного течения температу- (5.12) Риши = Р1иу1- Потери эксергии ~Ч > О в соответствии с (5.11). 1аах Для получения алгоритма расчета процессов в скачке воспользуемся выражением (5.6), которое с учетом (4.76) запишетя как 1 1 Х+ — — Х+ —.
'1 и (5.13) Полученное квадратное уравнение (5.13) имеет два решения, одно тривиальное Х = Х, и второе н' 1 и (5.14) Выражение (5.14) носит название основного кинематичесного соотнношения для прямого скачка. Если (5.14) умножить на г а, то с учетом (5.4) его можно записать формулои ыр (5.15) которая называется соотнношением Прандтяя. р уравнение неразрывности Рпс.
5.3. Анализ изменения параметров в прямом скачке Основное кпнематическое соотношение показывает, что: 1) скорость за прямым скачком всегда дозвуковая; 2) изменение всех параметров в прямом скачке уплотнения определяется для конкретного рабочего тела только величиной *Г. Т„ В '~'. по опрсделенню и ( 4.9б ) — 1' уравнение количества движения ( 5.8 ) Т~ уравнения энергии ( 5.4) н(4.56) Т~ уравнение энергии (5.4 ) р. уравнение качества пропссса и (4,100 ) Основное кинематическое соотношение (5.14) позволяет использовать в качестве алгоритма расчета параметров все уравнения газодинамнческой модели скачка.
На основании (5.14) по значению Х определяется Х . Все остальные параметры рассчин тываются с помощью газодинамических функций на основе уравнений модели. В частности, волновые потери определяются по уравнению неразрывности (5.5) (5.1б) Получим ряд полезных формул, часто используемых для расчета параметров в скачке уплотнения. Из уравнения (5.12) с учетом Х = — ~ и (5.15) получим н о КР = Хз. и (5.17) (5.18) Подставляя в (5.18) выражение для Х из (4.49), после алгеб- 2 раических преобразований имеем (5.19) 5.4.3. Основное динамическое соотношение для прямого скачка. Ударная адиабата.
Основное динамическое соотношение связывает изменение давления с изменением плотности в скачке уплотнения. Подставим в (5.17) выражение для Х из (4.49) 2 н 106 Используя уравнение неразрывности в виде (4.72), получим соотношение и, преобразуя его совместно с (5.19), получим основное дина- мическое соотпношение, называемое ударной адиабатой и из- вестное как соотношение Ренкина-Гюгонио".
~1 ~и ~1 Рн =й Р1 Р Р1+ Ра (5.20) Й+1 Ри + Р1 й — 1 Р1 (5.21) Ра ( ) ~эи 1+ (й- 1) р1 Сравним изменение плотности газа при ударном сжатии в скачке уплотнения, определяемое формулой (5.21), с изоэнтропийным сжатием, подчиняющимся закону 1 р й Рн На рис. 5.4 в ТЯ-координатах показаны оба процесса. Ударная адиабата показана сплошной линией и представляет собой геометрическое место точек, изображающих состояние газа за Т Рис. 5.4.
Сравнение ударной адиабаты и изознтропы р1 скачками различной интенсивности. При — — > ударная адпар бата асимптотически стремится к изохоре: й+1 Р1 Рн 1анк он ~ (5.22) При й = 1,4 р1 —— бр . Ограничение в увеличении плотнос- ФйаХ ти газа при ударном сжатии объясняется разогревом газа за счет работы вязких напряжений. Изоэнтропийное сжатие не ограничено и пропорционально давлению. 5.5. Сильные и слабые ударные волны и скорость их распространения Сипъными ударнъьми волнами называются волны, изменение давления Ьр во фронте которых соответствует условию Лр — =1 р (5 2Ц Слабыми ударными волнами, или просто слабыми волнами, называются такие, изменение давления Лр во фронте которых соответствует условию (5.24) Рассмотрим возникновение ударной волны на примере поршня, движущегося в трубе с одним открытым концом (рис. 5.5).
На рис. 5.5,а показан поршень в начальный момент времени„ слева — ось ординат, на которой будут откладываться значения давления и температуры для качественной оценки их изменения. Пусть поршень сдвинулся слева направо за время Л~ (рис. 5.5,6). Перед ним образовалась слабая волна сжатия, движущаяся со скоростью звука а . Она показана жирной линией,ее высота в некотором масштабе отражает значение температуры в ней. Эта слабая волна за время Л~ пройдет расстояние а, Лй. В следующий момент времени ~рис. 5.5,в) движение поршня сжхшя волна сжатия Ьр2 р т ая волна сжатия Рис.
5.5. Образование сильных волн сжатия 4~= Р1 — Рн- Увеличение плотности может произойти только в случае втекания некоторого количества газа Ит из объема 1 — 2 в объем Н вЂ” 1: Ит = (р1 — р ) Г и'.х, (5.25) Рис. 5.6. К расчету скорости ударной волны 110 вправо вызовет вторую волну, в которой давление и температура будут больше„чем в первой.
Первая волна пройдет расстояние 2а Л~. Так как скорость движения второй волны больше, она начинает догонять первую. Итак, каждая последующая слабая волна за счет роста давления в ней и температуры будет нагонять каждую предыдущую, пока они не сольются в один фронт и не образуют силькую воину сжатия. Получим выражения для скорости волны сжатия в неподвижном газе, следуя ~9]. Выберем в качестве системы объем газа, заключенный между сечениями 1 и Н, расположенными на расстоянии Йх в цилиндрическом канале с поршнем (рис. 5.6). Пусть под действием резкого смещения поршня в трубе возникла и распространяется слева направо сильная волна сжатия.
За время Ий волна переместится на расстояние Их. При этом в системе 1 — Н произойдет повышение давления от р (давление невозмущенного газа) до р1 (давление за фронтом волны сжатия). В соответствии с повышением давления плотность должна повыситься на величину где Р— площадь сечения трубы. Таким образом, за фронтом волны газ движется в направлении волны сжатия с некоторой скоростью ю, которую можно п' определить из уравнения расхода (3.5) — Р и (5.26) Отсюда получаем Р1 Р а~х ш Р сЫ 1 (5.27) Скорость движения волны в определяется как в (5.28) и с учетом (5.27) получаем, что Р1 И~ =1Ю Р1 — Ри (5.29) (5.30) откуда ИХ Р1 Ри = И~ Р и~ (5.31) Подставляя в (5.31) значение и~ из (5.29), получим выражение для определения скорости распростпранения сильной волны сжатия как функции давления и плотности: Запишем уравнение количества движения для системы 1-Н, полагая, что масса газа объема 1-ХХ Лт = Р Рдх перейдет из сои и стояния покоя в состояние движения со скоростью в .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
