Газодинанамика в одно- и двухфазных течений в реактивных двигателях (562026), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Возможное образование пограничного слоя на обтекаемой поверхности не учитывается, и газ считается идеальным. Выберем в качестве системы плоскую струйку, ограниченную линиями тока 1' — 2' и 1-2 и плоскими сечениями 1-1' и 2-2', нормальными к плоскостям АС и СВ (см. рпс. 6.1). Первая ха- 1 рактерпстика СН располагается под углом а.
= агслп — к векн М н тору скорости невозмущенного потока ю . Прямолинейность характеристики обеспечивается равномерностью поля потока, которая в области системы между сечением 1-1' и характеристикой СН не изменяется. Характеристика СК соответствует вектору скорости ~с в конце процесса расширения в изоэнтропийном процессе и повороте потока на угол о. Угол С, между вектором скорости и:, н 1 характеристикой СК определяется из условия а = агсв)п Изменение параметров потока происходит только в пределах угла НСК в результате пересечения бесчисленного множества характеристик. Рассмотренная физическая картина течения хорошо подтверждается опытными данными. Следует отметить, что течение является двумерным, и использование модели струйки потребует дополнительных соотношений для расчета течения.
Аналогичная ситуация имела место в косом скачке уплотнения, однако малая протяженность скачка позволила воспользоваться условием сохранения площади сечения. Здесь таким дополнительным условием является теорема Томсона ~21 об отсутствии в изоэнтропийном пространственном течении вихревого движения, в частности, о равенстве нулю циркуляции скорости Г по любому замкнутому контуру 1 в векторном поле скоростеи: 6.3. Модель расчета течения Прандтля-Майера Учитывая вращательный характер движения потока относигельно возмущающей точки С, целесообразно использовать полярную систему координат г, д с полюсом в точке С ~рис. 6.2), при этом параметры вдоль радиуса-вектора не изменяются, так как он совпадает с характеристикой, т.
е. д — — О дг * (6.2) Рис. 6.2. К расчету течении Прандтля-Майера д Тогда частные производные — можно заменить на обычные: д(р Условия энергоизолированности течения дд = Ж = О и изои тех энтропийности ИБ = О определяют параметры торможения в сечении 22' ф ф ф 4~ Ф Р2 ~" 1* 2 1~ Р2 Р1 (6.4) при заданных граничных условиях в сечении 11'. Все остальные параметры в сечении 22' могут быть определены с помо- щью газодинамических функций, если будет определена приве- денная скорость ~, = Х ((р ): Ря Рз ~ Рз)э я 2 ( 2)э Рз Р2 ( ~)э я .кр я Х~ . ( ) Для получения зависимости (6.6) используются следующие уравнения.
1. Соотношение между нормальной и~„(окружнои*), радиальной составляющей в и величиной скорости т г и~ = и„+ ги„, (6.7) которое с учетом (6.4) и деления на и„~ можно записать как ~2 ~2+ ~2 и г (6.8) 2. Записанное с учетом свойства характеристики соотноше- ние (6.9) 3. Уравнение сохранения энергии м ~+1 и г Й+1 'кр 2 2 = — — + — = — — = сопят.
й — 1 2 2 й — 1 2 (6.10) Г „. =и~ йг+ (и~ +Ии ) (г+ дг) й~ — (в„+ с1и„') А — ~о„гор.(6.11) Пренебрегая членами второго порядка малости, с учетом (6.2) и (6.3) после сокращений получаем г — = и~„ ~Й~ (6.12) и, разделив в (6.12) на а„~ правую и левую часть, 140 4.
Условие (6.1) отсутствия циркуляции скорости по замкнутому контуру абвз (см. рис. 6.2) ~Р, — =Х Иф й+1 г Йр. й — 1 (6.14) Интегрирование (6.14) дает г (6.15) Подставив полученное выражение в (6.13), найдем й+1 Х„= сов (р+ С й — 1 (6.16) Тогда с учетом (6.15) и (6.16) из (6.8) определим искомую функцию Х = Х (<р): 2 . 2 А+1 = 1 + яйп — ~р + С й — 1 й — 1 (6.17) Используем в качестве граничного условия значение =М = 1, для которого угол а = 90 (й = агсып 1/М ).
При выбранном граничном условии эту характеристику удобно принять за начало отсчета координаты у. Тогда из (6.17) при Х = 1 и д= О следует, что С = О, а окончательный вид искомой функции (6.18) Соотношение между углами характеристики ар, углом поворота характеристики д и углом отклонения потока (обтекаемой 141 Приведем к безразмерному виду (6.10), разделив правую часть на левую, а полученное выражение для Х„заменим из (6.13). После преобразований получим Рис. б.З.
Течение Прандтля-Майера прн 3„, = 1 Для этого случая начальная характеристика СН перпендикулярна вектору скорости И" и обтекаемой поверхности АС, так как ао — — агся1п 1/М . От этой характеристики отсчитывается Он н по часовой стрелке координата у.
Конечная характеристика СК, соответствующая вектору скорости и ~Х ), после поворота на к к' угол б„составляет угол о с вектором скорости ы„~Х ) и с обтекаемой поверхностью СВ. Аналогичное построение выполнено в точке О для произвольной промежуточной характеристики СГ. Из рис. 6.3 следует, что Я Ь+ 2 Р+ кхо (6.19) Добавляя формулу для ° 1 ~о = агсв1п М, (6.20) поверхности) о могут быть получены из анализа рис.
6.3 для случая течения Прандтля-Майера при Х = 1. получаем систему уравнений (6.18), (6.19), (6.20)„содержащую четыре параметра: Х, (Р„ио, о. Она позволяет полностью рассчитать течение Прантдля-Майера при Х = 1, последовательно задавая значения <р и определяя по формулам (6.18), (6.20) и (6.19) значения Х(М), а и Ь соответственно. Увеличение скорости в течении Прандтля-Майера приводит к понижению давления, температуры и плотности вплоть до нуля при расширении в вакуум. При этом скорость достигает максимального 1+1 значения: ю, =- ч2~, Х~ = „М„= . Этим макси- мальным значениям соответствуют предельные значения углов поворота характеристики ~„, „и потока б„,~, которые можно определить из (6.18) и (6.19), подставив туда значения 3.
„и ао — — 0 (при М= ): 1+1 т~ Ч"' Ь вЂ” 1 2' (6.21) (6.22) бд~ и треугольник скоростей ~с„ш„ю подобны, что позволяет запи- сать следующие выражения для тангенса угла Р: (6.23) 143 Если угол отклонения обтекаемой поверхности о = о, то пмх' возникает явление отрыва сверхзвукового потока. Поток в этом случае будет следовать вдоль линии, определяемой величиной Ь„, ~, а не о. Для воздуха с й = 1,4 значения (р,, = ЗОО, а о = 210". шах Для получения уравнения линий тока рассмотрим линию тока авда жидкой частицы в течении Прандтля-Майера (рис.
6.4). Выделим две характеристики СФ и СВ, отстоящие друг от друга на элементарный угол ду и включающие элемент линии тока оо',. С~ — — С~ = г- — радиус-вектор, Я = йг, дуга 9 = пф. Треугольник Рис. 6.4. К выводу уравнения линии тока в течении Прандля-Майере — из треугольника бд~ и„Х„ г г и (6.24) и — из треугольника скоростей. Приравнивая (6.23) и (6.24), подставим в полученное соотношение значения Х„и Х„из (6.15) и (6.16), проведем разделение переменных и проинтегрируем в пределах от го до г и от ~р = 0 до (Р. Получим 0 (6.25) й+ 1' соя — (Р увеличению сечения, занимаемого потоком, и его ускорению в соответствии с уравнением обращения воздействия.
144 где г — радиус-вектор данной линии тока на начальной характеристике, соответствующей М = 1. Из (6.25) следует,что радиус-вектор линии тока увеличивается с ростом (Р и о тем больше, чем больше г . Это соответствует 6.4. Расчет течения Прандтля-Майера Течение Прандтля-Майера рассчитывается в зависимости от заданных граничных условий различными способами. Для упрощения расчетов составлена таблица (см. приложение 3), рассчитанная по формулам (6.17), (6.20), (6.19), (6.25) в зависимости от аргумента «~, изменяющегося в пределах от 0 до д, Значения функций Х (М), «:«о, о, г/го, а также газодинамических функций т (Х), и (Х), е (Х) записаны в вертикальных столбцах таблицы, которая заменяет проведение расчетов по вышеприведенным формулам.
6.4.1. Расчет течения при Х = 1. Для расчета течения может н быть задан любой из параметров: Ь~, Х„, с«„, гl г, . Решение задачи находится в горизонтальном столбце таблицы по значению заданного параметра в вертикальном столбце таблицы 6.4.2. Расчет течения при Х > 1. Необходимо предварительно найти положение нулевого значения аргумента «р, которое соответствует Х = 1. Поэтому решение задач подразделяется на три последовательно выполняемых этапа. а) Решается "фикп~ивная" задача. Предполагается,что данное значение Х > 1 получено в течении Прандтля-Майера при обтекании внешнего тупого угла от Х = 1.
Этому течению соответст- вуют некоторые значения угла поворота характеристики ф и поворота потока Ь>, называемые фиктивными. Их значения Фэ легко определяются в горизонтальной строке, которая соответствует заданному Х . Таким образом, определяется положение нулевого значения аргумента «р (и о), от которого теперь можно вести отсчет. С этой целью от характеристики, соответствующей значению Х~, необходимо отложить против часовой стрел- ки угол ф,. Образующая угла и будет искомой начальной характеристикой. Через точку начала координат необходимо провести перпендикулярно начальной характеристике фиктивную плоскость. Угол между фиктивной и исходной плоскостями составит угол б„.
ф 145 б) Решается "суммарная" задача, т. е. находится решение задачи от Х= 1 до Х . В зависимости от заданного параметра (а К это может быть ~>~, б~, Х ) в горизонтальной строке, содержа- щей значение суммарного параметра д = у + у или к ф 6~ —— = о + о, находим решение "суммарной" задачи. к ф' в) Решается "разностная" задача. Решение находится как разница между решениями "суммарной" и "фиктивнои" задач, например, если по Х найдены (Р и Ь, то определяются действительные углы д„= ~р .
— <р„и о = о . — о, . Следует учитывать, что формулы для максимальных углов поворота в этом случае справедливы только для суммарных углов (~~ и б . Максимальные углы поворота сверхзвукового потока от первоначального направления при Х > 1 называются предельиыли. н С ростом значения предельных углов уменьшаются: ~рпред 1'Е п~ах "'ф' пред Х пих Ф . -~,й 6.5. О расчете обтекания сверхзвуковым потоком выпуклой стенки, содержащей несколько изломов Обтекание выпуклой стенки, содержащей несколько последовательных изломов, можно рассчитать последовательно, применяя разработанный алгоритм, а обтекание выпуклой криволинейной стенки можно представить как обтекание ломаной с бесконечным числом граней.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
