Теплопередача (Исаченко В. П. Осипова В. А. А. Сукомел С.) (555295), страница 13
Текст из файла (страница 13)
2-24). 1(роме того, ри«з-зл теваоаговаднеобхолимо найти распределение температуры иомь вюскнт ""зстван в пластине н количество теплоты, отданное е окружвгопгуго среду. Дифференциальное уравнение (2-132) в рассиатриваемам случае упропгается и принимает вид: (2-133) Граничкые условия: при х= чай имеем ~д гх — 11 =а(1,— 1 ). г Лг Поскольку граничные условия для обеих сторон пластины одинаковы, температурное поле внутри пластины должно быть симметричным относительно плоскости х=-О.
Теплота с одинаковой интенсивностью отводится через левую и правую поверхности тела. Одинаково и тепловыделенне в обеих половинах пластины. Эю означает, что можно далее рассматривать лишь одну половину пластвны, например правую (рнс. 2-24), н записать граничные условия для нее в виде .=о; ( —,"„') =а; *-:-*( —.") -ь-и. ) [2-134! После интегрирования (2-133) получим: ат дх~ ах — — +С„ (2-136) ! = — '— ."'-(-С,х-(-С„. (2-136) ПостоЯнные интегРиРованиЯ Сг в Сз опРедежпогса из гРаиичнмх условий (2-134).
При х 0 из уравнения (2-136) получаем С,=О; при х=б получаем: г лт т — Х ~ — 7! = — а [)ч — !щ). 'тлх 7 -з Из (2-135) имеем: Тогда 1,=1,„+ у,б/а; подставив зто выражение в уравнение (2-136), при х=б получим: Подставив значения постоянных С, и Ст в выражение (2-!36), найдем уравнение температурного поля: '='-+-'"+-'-'-'-Р-(+Л (2-137) В рассматриваемой задаче тепловой поток изменяется вдоль оси х: д=-д,х.
При х 0 н 4=0 (это следует нз ушювия: прн х=О инеем (г(!7!(х) а=-О). Тепловой поток с единицы поверхности пластины при х б о=.о(1,— !м) =д„б, (2-138) н обшее количество теплоты, отданное всей поверхностью в единицу вреиюни (вся понархность Г равна двум боковым поверхностям ГВ 1С=др=д„62Рь (2-139) Из уравнения (2-137) следует, что температура н плоской стенке в случае снмметри!ной задачи распределяется по параболическому закону. Если в уравнении (2-137) положить п-тес, то полученное выражение будет представлять температурное поле для граничных условий первого рода, ибо при а-ьсо получим !м~!ь С учетом сказанного уравнение (2-137) принимает внд: 1= ге + — - (ь — х ).
При этом температура на оси симметрии пластины (х=б) ! (+ее (2-! 40 ) а перепад температур между осью симметрии стенки и се поверхностью (2-141) До сих пор мы Полагалн, что коэффициент те|июпроводюсгн материала сгенюг постоянен. При больших перепадах температур может возникнуть необходимость в учете эависньюсти коэффициента теплопроводностй от температуры. Часто эта зависимость имеет линейный характе!т: й=! (14Л!).
Тогда 1= — — +1 г (ф+ — ) — —. э 17'( ь! хь (2-142) б) Теллонроеодногть однородного цилиндрическою гтержня Рассмотрим круглый цилиндр (рис. 2-2Б), радвус коюраго мал по сравнению с длиной цилиндра. При этих условиях температура булет изменяться тольно вдоль радиуса. Внутренние источники теплоты равномерно распределены по объему тела. Заданы температура окружагощей среды ! =.сон*! и постоянный по всей поверхности коэффициент тегшоатдачи.
При этих условиях температура во всех точках внешней поверхности цилиндра будет одинакова. Для цилиндра, как и для пластины, задаче будет одномерной и симметричной, Уравнение (2-!32) при этом имеет вид: (2-!43) Граничное условия при г=б ф) — чанг) (2!44) ц,х= — д,(! + б() ея. Ег (а) Раздечяя переменные и интегрируя последнее урагпение, получаем; !+ й —,= - — —.'+с. ! е»' 3 А 3 (б) При х=О имеем (-"!а, е этом случае из уравнения (б) слеп)ет; С=,+ —,. э Подставляя найденное значение С в выражение (б) и решая квалратиое уравнение относительно 1, получаем следующее, уравнение температурной кривой: Необхолимо найти уравнение температурного поля и тепловой пг ток, а также значения температур на оси 1, н на поверхности де Проинтегрируем уравнения (2-143).
При зтом произнелем замену бд/г(г=и. Тесла уравнение (2-143) запишетсяг ф+-"„+ д- -О гби+иг)г+ д гг(г=б. л После интегрирования получим: +, бы ды С, ж г' Ш д,г С, После второго интегрирования получим: дг +С 1п г ( С» (2.14о) (2-143) гле С, и Сг онрепеляются из граничных условий (2-144). Пря г=б из (2-143) находим, что СЛ=О и при г=г, (иф(г), = — д,г„(йл. Полставив последнее выражение в граничные условия (2.144), нолучим: 2,"л = а (1.— 1.) х Из (2-!46) находим См С,=д -(-~" +де' . Подставив С, н С, в уравнение (2-146). получше 1, ) дле+ф(г;,), (2-147) (дгт)М Х 4Л Плотность теплового потока на понерхности цижшдраг д = а (дч — дщ) = — г. тл-147') (2-143) Полученное уравнение дает возможность вычислить температуру любой точки циливлрического стерткня.
Оно показывает, чго распрелеле. иие температуры в круглом стержне подчиняется параболическому закову. Из уравнения (2-147) при г=б найдется температура иа оси Пи. линнра: дегег= — 2егде (1+ЬΠ—, 1+ — 1'= — — д.г',+С. Ь, ! з о„ (2-15!] Значение постоянной С определнется из граничных условий. При Ь г=О имеем 1=1, и С=1,+ — 1',.
Подставляя это значение в уравнение (2-15!) и решая его относительно 1, получаем следугощую зависимость для теыпературной кривой: ь рг ("-+ь) згь (2-!541 е) Теплопроеодгшсгь цилиндрической стенки Рассмотрим бесконечно длинную пилнпдрическую степку (трубу) с внутренним радиусом гь наружным гз н постоянным коэффициентом теплопроводности 1.. Внутри этой стенки имеются равномерно распределенные нсючвнки тюлоты производительностью д,. В такой стенке температура будет наменяться только в направле. нии радиуса а процесс теплапроеодности будет списываться уравнением (2-143): л'г 1 нг Л г Лг К вЂ” + —, —;+ — '=О.
Интеграл этого уравнения предстанзеи выражением (2-!46): 1= — ~'-'-+С, 1п г+ Се 4х Постоянные интегрирования Сг и Се в последнем уравнении определяются из граничных условий. Рассмотрим случаи, когда теплоотдаю. УО Полный тепловой поток с поверхности пгшиндра. а=дР—..- Кз-Рмг,)=д„ю'„1. (2-146') Из уравнения (2-148) следует, что плотность теплового потока за. вяшгт толька от производнтельйости внутренних истоцников и от велиШны внешней поверхности ге, через которую проходит тепловой поток.
Пусть теперь заданы граничные условия пернаго рида, т. е. температура поверхноств цилиндра 1,. Эти условия соответствуют частному случаю предыдущей задачи, если полагать, что коэффициент теплоотдачи и-ьео. При этом, очевнлно, 1. =— 1,. Тогда уравнение (2-147) примет ннд: +4х [ Я (2-149) Телшература на осн цилиндра (при г=О): + 4Х ' (2150) Если неабхолима учитывать заннсямость коэффициента теплапровадносгн ат температуры, заданную п вяде Д(1) =да (1+Ы), то, интшрир)м зависимосп щей поверхностью являются только внутренняя, илн только наружная поверхностен или обе поеерхпос»в одновременно. а) Теплота отводится только через наружную поверхностьь» ру бы. Будем рассматривать случай, когда заданы граничные условия третьего рада, т.
е. температура окружакпцей среды со стороны наружной поверхности г,» и постоянный коэффициент тепле- отдачи на внешней поверхности трубы (рис. 2-26). Прн зтои граничные условия запишутся следую>ции образом: гжч при г=г, 4=О иля ~ — ) =О; (,«.~, >— прис г, (1, 1) Из уравнения (2-146) получим." ж Р„»,С, 22« ' Прн г=с ~ — ) = — - -'+ — '=О, откуда С =,".— '. С, Р » вв' При г=гз из уравнения (2-146) с учетом найденного выражен>ги для С, получим; (а) С учетом находим: Р— а(! 1 ) Ь~2 [! (г Л (2-156) Температура на внутренней поверхности стенки найдется из уравнении (2-163) при подстановке и него значения г=г»> 1„=1 -) — ',' [1 — ( — ") 1+ — '„""„*' [1+ ( — "')'2(п —" — ( — ")*1, (2166) Пусть теперь заданы граничные условия первого рода, т. е. темпе- ратура теплоотдающей поверхности 1,з.
Эти условия можно рассматри- 71 1ы — ! + Р»г Р»» 2> 2», (б) Приравнивая (а) и (б), находим: С =1 + — + — — — — — ' — '' !пг,. Рг» йг» Р» 'и» 2 11 2» г» ж Подставляя найденные значения С» и Сз в уравнение (2-146), получаем выражение для температурного поля: 1=1,+ Р'" [1 — ( — ") 1+Р(ну* [!+( г') 21п — ' — Я|. (2-!63) Для внешней теплоотдающей поверхности (при г=г,) "»*+ 2 [ ( )~ Плотность теплового потока на теплоотдающей поверхности найдется как вать кан частный случай данной задачи, когпа коэффициент теплоотдачн на поверхности достаточно велик (о 'со).
Тогла температура жидкости будет равна температуре поверхности трубы. С учетом сказанвого уравнение (2-!БЗ) принимает виде 1=.!.,+'~* [!+ Я йу —,' - ( —,' )']. (2.157) Полагая в этом уравнении г=г, и 1=.!и, находим падение температуры в стенке: Г„ — г„'= — '— [!1 — ') — 2 !п —" — 1]. М (2-156) б) Теплота отводятся только через внутреннюю поверхностьь трубы (рис. 2-27). При заданных коэффициенте тепло- %- Рис.
2.27. Отвод теплым ерев внутреиието поверкность нилиидричесиоз сжа«в при наличии внутренник источников пилаты. Рж. 2-Ж Тшловраваднаеп, одно. родного пилнвдрн. чжгаго стерпи» при тмжчтм ввутреникк источников теплоты. Рве. 2-Ж Отвод жпжты еров верупную паверкнаегь пилиндрнте. скад сте к ри ивин и внутре иик ипочннкав теплоты. отпачи и на внутренней поверхности и температуре среды Уы, граничиьщ условия аапищ1'тсн: глг ч при г г, 1-ю)! = — — (! — 1,); гет х ),-, Аналотично предыдущему случпо из этих уравнений определяютсн тюстоянные Ст и Св в уравнении (2.146). После определенна постоянных и подсгановни их в уравнение (2-146) получим: 7=! +2~' [( — *) — 1]+е"„' ]2 !и — +(~') — ( — ) ] ° (2-!59! Перепад температур между средой и теплоотдающей поверхностьи получим, если в уравнение (2-159) подставим значение текущей каор 22 лнааты, равное гь Тагла (2.166) Для случая, когда аллана температура теплоатдающей поверхности )ы, чта соответствует случа1о и†~-оо, уравнение (2-!69) принимает впд: 1=)ь+ у~б — ' [2 !и г + ( г' ) —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
