Теплопередача (Исаченко В. П. Осипова В. А. А. Сукомел С.) (555295), страница 17
Текст из файла (страница 17)
! г з гз,г,гз, и л ггии В тех точках, в которых функ- !,' !, ! г! шщ У!(р!) обращается а нуль, функ- ' ! ь!г, ци» щ претерпевает разрыв непре- Л' рывиостн и становится равной ~с . Функции Хз(р) и Уг(р) являются периодическими затУхаюпщмн фУпк- з ! циями, а кривая уг.=Ег(д)ХУг(р) на-, ! ! ', й з! поминает котангенсонду, но с убивающим пернодои. Функция уг= =РХВ! графически представлиет !, !„Х, !,„„и приму!о линию.
проходяцгую через аà — ж 'д.' а "ь! lб начало координат. Выполнив построение, как показано на рис. 3-10, в точках пересечения функции у» с прямой у, получим значения корней харщстеристического уравнения (3-47). Из рис. 3-!О слелует, что уравнение (3.47) имеет бесчислен- рнс. т-!о К ггмеазю урзвчезая (злт).
нос множества решений, а сами корни, как и для пластины, представляют ряд возрастающих чисел, т. е. р!Срз<рз( ... ~р., где п=1, 2, 3, ..., со. Перные четыре корня уравнения (3-47) 1и, рз, р! и 1ц приведены а табл. 3-2 дая различных значений числа В) (от О до оь) . Общее Решение будет суммой всех частных реп!ений (3-46): О= ~~ С Х,('р„—,' ) ехр ~ — Р„,— ",-). ! Постоянная С„в уравяении (3-46) находится нз начальных условий. При г=б О=ба Р(г) м уравнение (3.43) принимает вид: О,==у(г)=~~ С„У,~, —," ) =! Видим, что (3-49) представляет собой разложение фуннции Г(г) в Ряд Фурье по функциям Бесселя, а для такой последовательности 69 Таблана 3-2 Зца мция Пз для цилиндра а! числа С определюотса по формуле После интегрнрояания знаменателя получаем: 4 Подставляя полученное выражение для С„в уравнение (3-48), получаем! О= ~ Ы (Г, ) 1, ~~ гр(г)l, (Пч — ) Иг~)4' ! Ху.
~ . +) еар ~ — .Я (3-82) Уравнение (3-52) справедливо при любом начальном распределении температуры в цилиндре. Если в начальный момент времени (т=о) температура распределена равномерно, т. е. 04=8(г) =сои%, то интеграл в уравнении (3-82) ( В ~, (р„— ) д =' — 7-3,7,(р„!. а о,о О,О1 о',% О,О4 О,'06 о,'% О,1О О',15 о,ю а,'и! о,'ю о,га о,ю О.7О О.3О оло 1.'Р 1,5 а,о!2Е О,!4!2 О', Ювб 0,28!4 о,зюз о,'%% орм!т О,'%76 0,6170 о,таю 0,35!6 0,94% !.О!З4 1.0873 1;!ФЗО 1,2043 1, %58 1, 1%9 3,83!7 3,'35Ю З,вэю 3,8421 3,8473 з,йй! 3,%44 3,9694 3,984! 4,0085 4,6%5 4.
0662 4;от% 4, 1НП т,а!% 7,0!ю 7,0184 7,02!3 7,0241 т.отто 7,02% т, 0%9 7.0440 тли% т,оюз 7,1004 7, 1143 7,!%2 7, 1421 7,!668 7, %85 16, 17зб 15, 1745 1О,!754 !0,1774 15,1794 !0,1В!В 16',1аЪ5 Ю, Паг !оию! 10.2029 10,2127 10,2225 10,2%2 !63%19 10,25!9 ю,низ 1О',ЗГ!О !О,э!Вв 2,0 з,'о 4,0 5.О 6,0 т,о 3,0 О,О !о',о 15,'О %,'о зо',о 4О,'О %,0 ю,о 80,0 !оо,о 1,%!И 1,7887 1,9%! 1,%98 2.0490 2,0937 2, 1286 2, 1665 2. 1795 2, 2669 2,2%0 г,звм 2,3455 2,%72 г',%5! 2,ИБО 2,36!О 2,4048 4,%!О 4,4634 4,6О!В 4.
7131 4.60 33 4,3772 4,%34 4.%97 5,%% 5,17 73 653 %8 5, 3410 б, ЭН6 5,41% 5,4291 5,%5!6 5,4652 5.520! 7,2834 7,4ЮЗ 7, 5201 т,аит 7,7ОЗО т',нн! 7,9569 3,!4% 8,2634 З',Зтп 8. 4432 В 4%0 8,51!6 В,овм 8,%76 8,6537 16,%% 1О,ЬНИ 15,%% 1О,%% 10',%84 Ю. 7646 !0,8271 !0,3ЗЮ Ю,вюэ и,!%7 И, 2677 И,4221 И.'5081 И,%21 И 69Ю И,64% И,6747 И,ОЗ!9 Для этих условий уравнение температурного поля принимает вид! =1 Обозначим: О/0!=6 — безразмерная температура; г1гз=зг — безравмерная координата, которая изменяется в пределах 0()((1. ат/!за=Го †чис Фурье для цилиндра.
С учетом этих обозначений последнее выражение запишется в виде 2У, б „] О = ~~ — „-, — -"-, l, (р )г) ехр ( — и'„Го). (3.33) Если рассматривать охлахгдение цилиндра при условии В1гО (праьтически 31<0,1), то при разложении функпий /а(р) и А(р) в степенные ряды они становится настолько быстросходяшнмися, что можно ограничиться первыми членами ряда, н тогда 19=2В!. Действительно, ! ' — 2 г*+-. 0") э у,(и) В! = ! 1 ° 2 В 2нан+- 91 Заметим, что все прннднональные выводы, сделанные при анализе решения для пластины, справедливы и для цилиндра. Из характеристического уравнения (3-47) видно, что корня р„ зависят только от В1. Поэтому уравнение температурного поля можно представить в виде обобщенной функции от безразмерных параметров! 0 —.Р( — ', — ",— л')=Е()), В),Е ).
(3.34) Если рассыатривать значение температуры на оси цилиндра ()г= =О), то уравненме (3-33) запишется следуюшим образом". 1 О= ~ 1, 1* "+, ехр( — и'„Ро). ы,й„) (3-33) ! На поверхности цилиндра Й! При В! — ьсо (практически В1)100) прямая совпадает с осью абсцисс н корни характеристического уравнения не зависят от Вг, а определяютсн нз утловнй уз(И) =О. В атом случае процесс охлаждения определяется физическнмв свойствами тела и его геометрическими размерами. При этом уравнение (3-53) принимает вид! В = Х, (Рэ)т) ехР ( — и!я Ра]. -й .'<в.) (3.3У) ! откуда получаем р=)ГЗВ[. Кроме тога, каэффициешы всех членов ряда бесконечной суммы (3.53) равны нулю, за исключением коэффициента тг (вй р [и.( 1-[-г" ОЧИ ' который ранен едювице. Уравнение (3-53) лля условий В( — вб принимает вид.
Ву Уо(рвй) ехр ( — ро»Го). На оси цилиндра ()[=-О); На=в = ехр ~ ( — моора) . (3-59) На поверхности цилинлра (Д= 1)в Ва-в=/о(рв) ехр ( — рввРО). (3-60) В силу того что р='Р'2Б, как сама функция .[,([в,), так и отношение температур ца асп и поверхности цнлиадра будут стремиться к едипвце, т. е. Па=о е»р ( — В ', Го[ п,в , г, ( ,1 о р [--в , Р 1 Последнее указывает на то, что температура по толшине цилиндра распределена равномерно и практически не зависит ат рзлп)са цилившра. Задача становится виевпней и протекание процесса определяется условиями охлаждения на поверхности цилиндра. Если Го)6,25, прп вычислении безразмерной температуры В можно ограничиться первым членам ряда.
Допускаемая при этом ошибка пе превысит [в)о. Тогда безразввериые температуры на оси и поверхности цилиилра могут быть вычислены по формулавв: на освв цилиндра Вл=о=-Авв(В[) ехр ( — рчра) [ (3-61) иа поверхности цилиндра В=Го(Вв) ехр ( — рввро). (3-62) Функции №(В!) и Рв(В») могут быть заранее рассчитаны и сведены в таблицы (см. [Л. 82, 164, 182)]. Поскольку в уравнениях (3-61) и (3-62) В является фрвкцией талька двух безразмерных параметров Ва о Фв(В», Го) Ва=в=Ф»(В1, Го), то для апрепеления температуры на оси поверхности цилиндра можно построить графики, показанные на рис.
3-11 и 3-12. За. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЛИЧЕСТВА ТЕПЛОТЫ, ОТДАННОГО ЦИЛИНДРОМ в ЛРО((ессе ОхлАждении Таа же как и дла пластины; количества тЕплоты В'Вм Дж, котаРое отдается или воспринимается поверхностью цилиндра аа время от с=б да т=оо, должно равнятьсн изменению ваутренней эввергяи цилиндра за период ножного его охлаждения: Юа пгвв[РС(!Р— ге). (3.63) г а-г и-р"г г г ао ОР т,а Оа О,а гб гп Ог п,г и ги ОИ ООО ОЮ гоп гт Р,и О,И п,аб О,И оии опг Пот О а то тг и йт а рис 3-11 Зависиность В=ФИГо, В) а!Ра-. = .та нл» оси иилнилри. 'ьг а,а п,б а,а а,г Р,1 ги гй гоа аи 3 13 яз г, РР— .--.
р=-тг,', 'О,а , а,а Г п,и 1 г и а б о 1Р тг 1Р ат ГО= —— оп Заспанность В.—.Фа') о, Вт) нлн инертности иилннттра За любой промежуток времени от т=б до т, внутренняя знергия цвлиидра изменится иа величину () = О. (1--Вг), (3-64) где по-прежнему, «ак и для пластины, Š— г Средняя безразмернаа температура цилиндра найдется из уравнения я 1 О= — -162тйдй=-. 2~ Оде(й е (А' изменяется от О ло 1).
Если в зто уравнение подставить значение 9 согласно уравненшо (3-53) н провнтегрировать в указанных ранее пределах, то получим: — ы,(» 1 6= „, *, ехр [ — Р'„Ро) '=Е .; '.' =! или, учитывая, что Уз(р) /У~(р) =р(ВО л О=~' —,,—., ехр[ — Р'„Ро[„ чш Р „й '„+Вн( (3-65) =3 При расчете средней температуры цилннлра В в случае Во~О,25 также можно ограничиться одним первым членом ряла (3-65): (3 65') Фуикцию 4В)з/[~А(рзз+В1з)) =М(В|) можно заранее рассчитать для соотзетствуюших значений В! и свестн в таблицы. з.т. Охпаждмтиа ШАРА рассмотрим охлаждение шара в среде с постоянной температурой н с постоянным коаффициентом теплоотдачи и на его поверхности.
В начальный ыоыент времени при т=б асе точки шара с радиусом гч имеют одинаковую температуру йх Прн заданных условиях температура для любой точки шара будет функцией только времени и радиуса. Требуется найти распределение температуры внутри шара. Если обозначить избыточную температуру для любой тачки шара О=А — йм то дифференциальное уравнение теплопроводности шара в сферических координатах запишется: — =а ~ — + — — ). дв /дю з дат д '(д ° дг)' (3.66) а) Граничные условия: на поверхности шара при г=г, (дв) «6 Из условий симметряи задачи в деитре шара при г=О ( —",,) -О. б) Начальные условия: прн ч=О 6=6,=6-1. д О~.~;.
(3-67) (669) (3 71) ' Подроазае рпаенме зрвзддезо в мемогрзфаи А. В лмкова (л. (((] 96 Рыпаи уравнение (3-66) методом разделения переиениых и подчиняя полученное реп!ение условиям [3-67), получим '. 2(пвр — р соз! 1ив(р«Д) [ Г ]. (3-68) (р.— ! р сер 1!.и =! здесь В=б(ба; З=г!ге. Постоянная р в уравненпи (3-68) является корпеы характеристического уравнения, которое для шара имеет вид: 13р=— в! — ! Уравнение (3-69) является траасцендентным.
имеет бесчисленное множество корней прн заданном значении В! и решается аналогично уравнению (3-14). Значешгя шести корней уравнения (3-69) для различных В! приведены в [Л. 1! 1, табл. 6-8]. Прн В! о» согласно характеристическому уравнению (3-69) р при этом «начальная тепловая амплитуда» уравнения (3-68) Р = 2(з(врз — !расина)-=2( — 1)"+'. р — ма р„сгм р„ С учетом последнего уравнения формула (3-68) принимает внд! 9= ~ 2( — 1)"+' — ~зш(пч)1) ехр [ — (лв)*Го]. (3.70) =! При В!=1 согласна уравнению (3-69): р„=- (2п — 1) —, Р„=2( — !)"+* —, и уравнение (34В) зашпиется: „+, 2 з(в(р И) ехр ( — р'„Го). ми =! При малых значениях В! (В1(О,!) начальные амплитуды (Р ) всех членов ряда (3-68), за исключением первого, стремятся к нулю.
Начальная амплитуда первого члена ряда Рг=1, а раг=ЗВ!. При этих условиях соотношение (3-68) запишется так: Я(в (г'зп! и! 3,. Г ) (3-72! ,ъаи "р( — ' ' ' Из анализа уравнения (3-68) следует, что прн значениях Го)~0,28 ряд становится настолько быстросходящимся, что для выражения температурного полн можно ограничиться первым члеиом ряда: 6= 2(! р ! сг ! 1 ! (! и! — Го\ 3.73) !» — з(в! ссз! (,и Так как р в уравнении (3-68) зависят только от числа 81, то уравнение температурного поля может быть записано в виде В=Г()(, Вг, Го).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
