Теплопередача (Исаченко В. П. Осипова В. А. А. Сукомел С.) (555295), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Длн этой двухмерной задачи промежутка б и Ьт должнм выбиратьсп вз условия (та ~в ! 4 аналогично условию (3-!Об) длн одномерной задачи. При значении Ра='/» уравнение (3-(00) нривнмает вид: и+г +» '+г (о= —" Рво. 3-2В, Со»ло уэооэвх то»ох Пля Плухвервой влс»овзопарвой эапачв. (3-!!0) (3-(! (у При этом будущая температура узловой точки не зависит от ее настоящей.
Для замены производных функции в дифференпиапьноы уравнении разиостными отношениями ножка иаспольэоваться математическими операциями. Такай полход не является более строгим, ио он дает вазможнос~ь решать задачи при рази»юбразных ирзевых условиях, опеннть погрешность перехода от дифференциального уравнения к уравнению в конечных разнастих н более просто провести анализ условий устойчивости п сходнмости решения. Получим приближенную аамену первой и второй пронэвод- ПО э (и-рг у Омуль Рнс 2-2У. К оввопу (юрпух и запева сорной п второй прооэоовпой ровно»тонии о»»юшо и и ной черсз разностные отношения некоторой функции 1=((х), где под х можно понимать любую независимую переменнуео. Прежде всего интервал изменения функции разобьем на одинаковые участки б„.
Каждая точка будет иметь свою абсциссу, отличающую. ся на величину Ь, иначе говоря, ноординату точии х„, заменим тб (т=), 2, 3, ...). Отметим на кривой 1=!"(х) точки А (1, тб ), В (!к-ь (ш — !')Л„') и С(1„+ь ( ч-!)бе). Касательная в точке А (у„„тб„) образует угол а с положительным направлщщеи оси абсцисц тогда производная функции дли рассматриваемой точки А (1, елбл) В =1Ка (3-1!2) Если интервал разбиения б — величина малая, то с достатпчныы приближением угол а можно заменить углами Р или у (см.
рис. 3-27), образованными секущими ВА н ЛС. При этом произволная в тачке А (1, тб„) запишется следующим образом: АŠŠ— Е Ве в„ (3.113) СД АА в„ Если угловой ковффнцнент касательной АВ заменить на угловой коэффициент секущей ВС, получим выражение для производной в точке А следующего вида: (3-114) Полученные выражения (3-П3) — (3-1!3) равноценны для замены первой производной функции разноствымн отиошеяи- и зг ями и называются соответствси- .ч на: предыдущее, последующее и л «ыв л.л~ «-л симметричное разностные отиоРис 3-Ж К оолучелмо рлсчетаоз сетке л состевлекию урлвкевка Лл» уллоеик точек.
Если заменить кривую иа участке ВС ломаной ВАС, имеющей в точке А два наклона, получим выражение для второй производной функции 1=1(х): В' =-,— ('"", '" — '",'" ' )= — (! „+1,— 2! ). (3.113) Приведенные формулы (3-1!4) — (3-116) наиболее часто использу ются при числеяном интегрировании уравнений теплопроводности. Используем волученщле формулы дли преобразования дифференциажного уравнения к кое!евно-рвзностееой форме.
Преобразование пронелем на примере одномерной нестационарвой задачи теплопроводностн беа- 111 В уравнении (3-121) комплекс аь (1'„=-Го имеет смысл числа Фурье для элементарного объема расчетной области, тогда Т, лт,=ро(Т тгл РТ ьь) — (2Го — ПТ,ь (3-121') Если нам известно распределение температуры в расчетной области в какой-либо (например, начальный) момент времени, то, пользуясь систеиой уравнений полученного тина, можно рагсчитать температуру в узловых точках для последующего тчомента вреыени тб 6, . Теьшература в узловых точках, находящихся на границах области интегрирования, известна из граничных условий, Из уравнения (3-121) следует, что значения рас~епгых температур зависят от числа Га, т. е. от способа разбиения пространственно-временной области.
Выбирая интервалы разбиения Ь„ и йе мы мажет~ получить любое значение числа Го Однако, как показывает анализ, решение устойчиво не нрв любом значении Го, а следовательно, выбор величин б„ и Б, нс произволен. Анализ отклонения числового расчета от точааго решения показывает, что устойчивость расчета для рассматривасмов одномерной валави обеспечивается только ори том условии, когда н уравнении (3-120') (2Го — 1) (О. (3-122) Выражение (3-122) является осиоввым условием, которое ограничивает произвольный выбор интервалов сетки Ь„и би Точно такое же условно обеспечения усюйчивости численного интегрирования было получено истолок тепловых балансов (выражение (3-1(6)).
Нетрудно получить конечно-разностное выражение и для двухмерной нестацнонарной задачи теилоцроводности 1(х, р, г). Диффереггцвальнсе уравнение Лля такой задачи имеет вид: (а) В этом случае температуре лля любой узловой точки должно ирисзанватьси три индекса р',,„, где ги,л — инденсы координат, /г — индекс времени. Разобьем область интегрирования иа одинаковые внтервалы. Тогда, пользуясь ранее полученными соотношениями, хля уююной точки с хоординатами (шб„ лбм /гй,) получим; (3-123) Подставляя полученные выражения для производных (без остаточных членов еь ез, зз) в дифференциальное уравнение (а), нолучаем приближенное выражение лля будущей температуры в точке (тб,, иб„, йй,) г — [Т'+' — Т" ) =-',— (Т", +Т", — 27"„' „]+ .(- „'(Т'*,+Т', — ТУ' 1. (ш 124) 113 Полагая б„=б„и решая (3-124) относительно будущей температуры в рассматриваемой узловой точке, получаем: т"+'г.="— ,; () „.)-т' -(.т' „Р),)(ф — 1)т" .
(3-12Р) Сбом~ачая, как и в предыдущем случае, гм,/4'„=Ро, выражение (3-124') приводим к виду т""=РоР"„, (-1', +т" „-~-т„',) — (4Р— 1)У"* и (3-124") Нетрудно вплоть, что для таней доухмерной *влачи решение бупет устойчивым только при условии (4Ро — !) щб. '(3-!25) Если принять число Ро= !й, то уравнение (3-!24) примет вид: тщ' = тз +та уэ +гз (3-1%) 4 Отсюда видна, что булушая температура в рассматриваемой точхе ие зависит от настоящей в этой точас и определяется насгояшимп температурами соседних точек. Аналогичные расчетные соотношения для вычисления температур в узловых точках можно получить и для трехмерной задачи. б) Лрпяцил стабильлостп теплового потока Существует ряд приближенных решений валави о расцрастраненин теплоты в телах произвольной формы.
Расгмотрим метод, базирующайся иа принципе стабильности тепловбго потока. Если на поверхности твердого тела оставить тепловой поток постоянным, но изменить условия охлаждения на небольшом участке поверхности. то это вызовет существенное местное изменение температурного поля. Однако в точках, достаточна удаленных от места возмущения, изменение температурного поля будет ничтонгным (33 22). Из сказанного слелует, что деформация поверхности тела будет оказывать существенное влияние ва температурное поле только в точках, близних к поверхности, а в удаленных от поверхности точках характер температурного поля будет оставаться неизменныи. Используя эти свойства стабильности теплового потока, расчет теплопроводностн в телах сложной геометрической конфигурации можно свести к расчету процесса нагрева (охлажпения) тел трех классических форы: одномерной плоской пластины — тело первого класса.
Ллинного круглого цилиндра †те второго класса и гпара †те третьего класса. При решении залачи прежде всего необхолпмо рационзлыгым образом опрелелить класс,к которому пало отнести рассматриваемое тела. Затем произвести сравнение температурного поля с температурным полем основного тела этого класса. Согласно принципу стабильности должно выполняться условие а(г,— ! )Рбг оз(! э — ! ъ)рзбто, (3-127) где а †средн по поверхности значение коэффициента теплаотпачи, Вт/(и - К)! !ч — средняя температура поверхности тела, 'С; !и†температура окружающей среды, 'С; Р— поверхность охляэкдеаия, мь т— время, с.
114 Величина без индекса «ба относится к рассматриваемому телу, а с индексом «О» — к основному телу соответствующего класса. При соблюдении условий (3-!27) расчет температурного поля рассматриваемого тела можно свести к расчеэу температурного поля эквивалент. ного основного тела соответствующего класса (пластины, Нилинпра, или жара). Последнее прешюлагает, что внешняя конфкгурапия тела будет существенно влиять на температурное поле только в точках, близких х поверхности.
Температурные поля вдали от поверхности стававятся сопоставимыми с температурными пОлями в основных телах соответствующего класса. Если н уравнении (3-!27) обозначить: 1„— ! =б; 1, -1,„= — б и прн этом принять 6= — б«и бт=дто, то уравнение (3-127) принимает вид: ар=-п«рь а =а — в*вА Г « (3-128) где Для тел первого класса: определяющий эквивалентный линейный размер ),=Х,= —,", (3.13!) гле У вЂ” объем тела, мз! Р«а — площадь средней плоскости тела, мз; критерий формы А=А,= —, и е а' где Р— площадь одной боковой поверхности стенки, м*. Для тел второго класса: определяющий вквивалентиый линейный размер (,=7(,= ф~~.
где Ры« — плошадь поперечного сечения тела; (3-132) (3-133) ПБ А=а (3.1 29) Безразмерный множитель А характеризует размер поверхности рассматриваемого тела, выраженный через поверхность основного тела. Величину А называют критерием формы. Уравнение (3-!28) выражает количественные требования, которые необходимо выполнить для обеспечения эквивалентности теипературных полей обоих тел.
Прп расчете температурных полей в формулы для основных тел вместо а подставляется величина и«, вычисленная поурввнению (3-!28), и в качестве определяющего линейного размера !з берется эквивалентный размер лля тела соответствующего класса. При этом число В! имеет вид: (3 !Ю) критерий формы Р Р Уэ4~вР Р (3-13З) где Р— пеРиметР попеРечного СечениЯ РассматРиваемого тела, м„.рэ— периьгсгр поперечного сечения эквивалентного круглого цилиндра, м. Для тел третьего класса определяющий эквивалентный линсйныгг раачер (3-138) Если в уравнении (3-129) величину поверхности эквивалентного шара выразить через его обьем У, равный объему рассматриваемого тела. то критерий формы А=А,= Р (3-130) Описанный метод расчета температурных полей дает удовлетворительные результаты при малой и средней интенсивногтв теплообмена ва поверхности тела, При большой интенсивности теплообмеиа (В!Ъ1) змеею уравнения (3-128) используют выражение д,=д — =1А.
Р Р (3-! 37) В дальнейшем ори выполнении расчета могут быть использованы ранее полученные формулы На рис. 3-29 и 3-30 изобра>кены кривые охлаждения для осн бруска квадратного сечсяня и центра куба, охлаждающихся в условиях гг г эг гг гг Рвс З.хз. Кривая оглаклгвья аси тез второго эзэссз. Рис. 3-Э). Кривая отлзжлснзз сс». газ тсв треп его класса. Гз;-г.мг; г- г ™ ю * — Й;гк большой интенсивности (В12 1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
