Теплопередача (Исаченко В. П. Осипова В. А. А. Сукомел С.) (555295), страница 16
Текст из файла (страница 16)
82, 164, !82]. Кроме того, из уравнений (3-26) н (3-27) следует, что прн заданной ноорлииате безразмерная температура является только функцией двух безразмерных параметров В! и Ро: Вл а=)г(ВВ Ро) и Вх-г=(а(В!, Ро). Логарифмируя уравнение (3-26), получаем: 1п Вл р=1пуц(В1) рзг Ро. (3-28) Аналогичное уравнение может быть получено после логарифыироввиия уравнения (3-27).
Из уравнения (3-28) следует, что при заданном значении координаты н при заданном В] натуральный логарифм безразмерной температуры линейно зависит от времени. Последнее обстоятельство дает возможность преаставить для уравнений (3-26) и (3-27) графическое решеиае (риш 3-4 и 3.5) . Из уравнения (3-24) следует, что в условиях охлаждения (нагревания] пластины для любого момента времени при заданных граничных условиях поле температуры имеет вид симметричной кривой с максимумом на оси пластины (Х=О). Для каждого послелуюшего момента времени будет своя кривая, монотонно убывающая к поверхностям пластины.
При этом для любого момента времени касательные к кривым в точках Х=ш ! проходят через дне направляющие точки о 4 и — А †расположенн на расстоянии шХч от поверхности пластины, Хч= 1/В! (рис. 3-6). 82 7 .0-7' 0 Ра рр,— - 03 ре 'е Рт 7,0 0,0 п,а 0,3 ре а,г 7. ае 0,7 Е,е ~Ю о,ге 0,03 Ре Р, Р Рог аы оае ; тры рое ОИ 7 !ь 8 3 е е а О ппютгпд7 ыТ Ра= В Рвс З-Е Заенсвыссть В 27!Ге, В7) лля середины пластины.
ОЫ О т. -2-7 Р— В== ! — гщ а ;МЦ'-'г'=Р ° 71 О,,Ц ~' ,ре ф '7 Пы, ' —,— О! ' — 7 РОЕ Раг ат 70 ра о,а ог ае " «б.',„' 87 — '!7, е ) Р Рг 008 О,бб О Оа раб Ррт Рее Рнс 2-5 зависеыссть В бт(еп, В!) для ппвериантв пластины. ВЗ 2 3 е а б 7 е и пыы ыд7гггагагаи Ге= — "', ВО йля доказательства этого важного свойства рассмотрим темпера:турное поле для произвольного момента времени Ро)0. люмножив граничное условие (3-0) при х=- скб на б/бю, получим: Записывая последнее выражение в безразмерных (эл) Из рисунка следует, что Сравнивая выражении (а) и (б), получаем: Х— ю й! зелвчинах, будем (а) (б) Из уравнения (3-29) следует, что расстояние точки А от поверхности определяюся заланвыми условиями одиочначносги, которые сира~в ведливы лля любого момента времени Следовательно, касательные ко всем температурным кривым в ~очке перегч.
ю сечения с поверхностью пластины н невамевных граничных условиях всегда бьдут проходить порез точку А. Сказанное справедливо не только для ю пластины, но и для цилиндра,шара и тел других геометрических форм. -Л "' ) ' р 'йю! юл доказанное свойство температуро пых кривыт дает возможность определить характер изменения температуры в теле при заданном значении числа рюп з з и пю ~кипя тсююпсроттрпюпс В1 РассмОтрим при этОм три глу поля о лесхоз пеагрюпэпяяоа стоя- чая. яс пря сс охляыюяпп !.
Случай. когда Вг- оо (практически В!>100).Есои число В! стремитсн к бесконечности, то температура поверхности пластины сразу становится равной температуре Окружающей среды, в которую помещена пластина. Последнее видна нз уравнения (3-29):прв В! оо Хо= 1/В!=0. Это овна*гает, что точка пересечения касательных к температурным криьым находится на поверхности пластины. Из 01= =-(б/х)/(1/и) следует: В! со прн заданных физических параметрат и толщине пластины тогла, нагда п — оо, т.е.когдаимеет местоочень бочьпгаи интенсивность отвода теплоты ат поверкпости. В этих случаях процесс охлаждения определяется физическими свойствамн и размерамн тела.
При этом и„=2(п- -1) —, и тогда коэффипиент ряда (3-24) ! кю! р Э„+ сою р„ю1п р 2кря ) (тя — !) 2 1 г,! г ! (Бз — В (Ш вЂ” !) — +М» ! !2к . — р] — ~ сок ~ !2з — !) — ) г 2 ) Обшее !мление для рассматриваемого случая принимает вцд; ехр ~ ( 2 ) в Ро1. !330) ! Тогда температура иа оси пластипы (Х=О) О,,= — '~~З2-„')" —;,'- р ~ - / —,)* Ро~. (Зз)) ! При Х= 1 осе [(Зп — 1) — Х~=-О, и, следовательно, 0,=0. Распределение теыпературы в пластине при Ро)0 показано на рис. 3-7; здесь Рок<Рок<рак<го,« ...
Ро . Как было сказано, при Ро)0,3 ряд (3-24] бистро сходится и ошибка ие превышает !с/. если отбросить есе члены ряда. кроые первого. При зтих условиях уравнение (3-31) принимает вид: О, = — 'ехр ~ — (р)*Ро~. (ЗЗД Если уравнение (3-32) прологарифмзрозать п решить отаосительно числа Ро, то получим: Р = — ',)п/ —" (3-33) !" их=к/ учитывая, что Ро=ат/бк, уравнение (3.33) !"'с з'т гкскрехеы можно записать в виде н!и шкпкркттры к пзоккса с рике прк кк рхк жкекни з тско- (3.33') апкх и! ~! рок< а /г " их=к) <Гс,<ГОЗ<ро,.' '- По формуле (3-33) можно определить время, необходимое для прогрева середины пластины до заданной температуры.
и 2. Очень малые числа В! (практически В!<О!). Есл ч ело В! мало, го асс козффициеиты членов ряда Р„О, поскольк ли теперь р,= (и — Ци, за исключеиисм Рь который ранен: у Из выражения В1=(6/Ц/(1/а) видно, что малые значения числа В! могут иь!пгь место при малых размерах толшвны пластины, при больших значениях козффициеита теплопроводиости Д и малых зиаче- н виях коэффициента теплоотдачи о. Сладует заметить, что цри малы в ачеиивх !ц функции 13 и» и юп р! можно зацепить через их аргумеир чых 35 щж Х О, = сов(р Й) ехр ( — )й Ро).
(3-Зб Отношение температур на оси и поверхности пластины Вх, ехр ( — в! Ро) —. 1. Вх ! «ог(рь)ехр( В!Ро] При малых В! температура на поверхности пластины лсзначитшю~л но отличаетсв от температуры па оси. Это указывает на то, что температура по толщине паастины распределяетсн равномерно и кривая температур остается почти параллельной осн ОХ длн любого момента времени (рис. 3-8). Касательные к температурным кривым в точках пересечения их с поверхностью должны пересекаться с осью аба(иго в бесгюнечности: гр=р при В! — «О имеем Хз=)/В( — но.
В рассматриваемом глучае пропесс нагрева н охлаждения тела определяется интенсивностью теплоотдачи на поверхности пластины. Иначе говоря, процесс иыравнивания температуры в теле происходит существенно интенсивнее, чем отвод теплоты с понерхности. Задача становится внешней. 3. Число В! находится в пределах О,1 (В)< 100. В рассматриваемом случае Р„ есть функция Вь т. е. зависит от толщины пластины. Температурные кривые для любого момента времони будут выглядеть, как показано на рис.
3-9. В этом случае интенсивность процесса охлаждения (нагревания] определяется как внутренним. так и внешним термическими сопротивлениями. Рвг. ЗЗ. Рзспреле свае еиверагур з а ской вхе пра ее рзврмхепвв р тслохвь о;Ро,< <Рог<РОЗ<ус з.ь опраделеиие количества теплотьь отдлмиого ппйстииОП В процесса Оклй(кдаиив Количество теплоты (с . Лж, которое отдает вли воспринимает пластина с обеих сторон ча время от г=б до с=, должно разниться изменению внутренней энергии пластины за период полного ее охлаждения (нагревания)! Рис а-й.
Рагпрелезе«ве тзгшсратуря з плравой стезя» прв ее оззюз(явив в тс о ввяз. «огд В!— местная вема!ива! Р!Ч<рог<рю <ВЫ 88 0р=йб(рс(!е — ! ). (3-3() ты, и тогда характеристическое уравнение (3-14) запвшетсяг ! р р в(' Учитывая сказанное, уравнение (3 24) можно переписать так: В=сов(Р,Х) ехр[ — Р*, Ро) сгл() ИЛ) схр( — 8РО). (3-34) Найдем температуры на оси и иа поверхности ш!астины! при Х=О Вл-р ехр (-В! Го) ! (3-38) Тогда за любой промежуток времени от г=О до тг или, что то же. от Ро до Роь виутренння знергия аластнвы изменится на илн !Г=!Г,(! — Вг), (3-38) где 6~=(уг — !м)((й — ! ) — срелияя безразмерная температура по толщине пластины в момент времени ть Из соотношений (3-37) и (3-38) следует, что расчет количества теплоты, отданного нли воспринятого пластиной, саодитсн к нахпжГГению средней безразмерной температуры в интересующий нас момент времени.
Средвяя безразмерная температура для слоя пластины от оси симметрии до плоскости Х найдется как х О= — 41ВДХ г — л~ з е соответствии с теоремой о среднем. Если в зто выражение подставить под чаак интеграла значение 4) из уравнения (3-24) и проинтегрировать в пределах от нуля до единицы, то получим: (3-39) ,1,! ! + В„з!аи„соги ! Подставив н уравнение (3-38) вычисленное по формуле (3-39) значение средней температуры пластины для интересуюшего нзс моыента времени, получим количество тЕплоты, отданное пластиной в окружающую среду за рассматриваемый промежуток времени. При В( †в (практически ВЕа 100) уравнение [3-39) принимает вид: О=~., „, ехр ~ — ( — 2 — ) в*Во]. =$ Есля В! — «О (практически В!<0,1], уравнение (3-39) принимает ннд: Ь=ехр ( — В(ра).
(3-41) При значениях числа Го~О,З для пластины можно ограннэться первым членом ряда (3-39), тогда (3-4Ц Л!аон<нтель 2 з(пар~/(рзг)-Гч соз В~ *!п рб зависит ~олько от числа В! н может быть представлен как некоторая функция М(В!), тогда уравнение (3-42) запишется: 6=-М(В!) ехр ( — рзгГо). (342') Функция М(В!) может быть заранее рассчитана и представлена н таблицах. Тогда расчет средней температуры будет сводиться к вычислению зкспоненты. э"5.
Охлаждение (нагаевание) еесиОнечнО дзнгннОГО цилиндРА ЦГГЛИНДР РаДИУСОМ Гз ОтДавт ТЕПЛО ОКРУжаЮЩЕЙ СРЕДЕ ЧЕРЕЗ СВОЮ боконую поверхность; коэффициент теплпптдачи о во всех точках поверхности одинаков и остается постоянным на протяжении всего периода охлажденнн. Температура среды Г постоянна. В начальный момент времени прн т=.О температура является некоторой функцией Г(г, 0) =((г). Отсчет температуры цилиндра будем вести, как и в $3-3, от температуры среды, т. е. 5 †(И. Прн этих условиях >.равнение теплопроводности принимает внд: — -'( — + — ) дв Гд'В ! дат (343) д ( дг г дг/' Граничные и начальные условия: при т-О и О(г~гз О=ба )(г) — Г =Р(г]," прн т>0 н г=О при ч)0 и г=г, ( ддв) = — „б, Сформулированную задачу решил~ с помощью разчеления переменных, т.
е. 0(г, т) =О(т)ф(г). Подставляя это выражение в уравнение (3-43), получим два обыкновенных дифференциальных уравнения вида е'(т) +айзр(т) =0; (3.44) ф" (г) + — т'(г)+й'у<г)=0. (343) Из предыдущего параграфа известно, что уравнение (3-44) имеет решение: у(ч)=С,е ~. (а) Уравнение (3-43) есть уравнение Бесселя, общий интеграл которого имеет внд: р(Г) =Сз)ч(йг)-РСзуч(йг), (б! где С, и Сз-. постоннные интегрирования, Уз и Уч — функции Бесселя первого и второго рада нулевого порядка. Так как температура на осн цилиндра (г=-0) должна быть конечной величиной, а Уз(0) — зо, то из физических соображений частное решение уравнении (3-43) не должна содержать бесселеву функцию нторога рода и Сз должно быть равно нулю.
С учетом сказанного уравнение (б) принимает вид: ф(г) = Сз)з(йг). (в) Гели обозначить Егч=р, тогда частное решение уравнения (3-43) будет иметь вид: б(„)=сс У, ~~„— ). '~;/ (3-4б) Постоянная р в уравнении (3-46) определяется нз граничнмх условий (г г,), решение которых приводят к характеристическому уравнениюю (3.47) (3 В) (3.49) здесь Хг(р) — функция Бесселя первого рода первого порялка. Уравнение .(3-47) явлнется трансцендентным, и его удобно ре- зв шать граФическим способом, обозначив: РIВ1=У!~ Хз(р)ХУ!(и)'-'-Рз. аа ! !3, ! Отметим, что р! обращается гд !! а нуль в тех точках, для которых Уз(р) =-О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
