Задачник по физике (термодинамика) (550710), страница 13
Текст из файла (страница 13)
В новых переменных4NNu2u2 eu2du ,(4.25)u1где новые пределы интегрирования u1 = v1/vB, u2 = v2/vB. Способывычисления определенного интеграла (4.25) зависят от диапазоназначений величины u = v/vB.1) Если величина безразмерной скорости u = v/vB << 1, то можновоспользоваться разложением в ряд функцииeu21 u2u22...и ограничиться первым членом разложения, т.е. eслучае интеграл примет видN( v )4Nu2uu12eu2du4Nu22u duu1u24N u331. В этомu2.u174Окончательно имеемN( v )4N 3(u23u13 ) .(4.26)2) Если значение безразмерной скорости u 1, то интеграл (4.25)сводят к интегралу вероятности (интегралу ошибок)Ф( x )2XeX2dx ,(4.27)0значения которого приведены в Таблице 2 (см.
Приложения). Крометого Ф(0) = 0, а lim Ф( х ) 1.XПроинтегрируем выражение (4.25) по частямN( v )2Nu2u eu2u2eu1u2du .u1Здесь второе слагаемое представляет интеграл вероятности(4.27). Тогда формула для расчета числа частиц принимает видN( v )N2(u1 eu12u2 eu22)(u2 )(4.28)(u1 )Наиболее часто встречаются следующие случаи :а) если u1 = 0, u2 = umax = const любое конечное число, тоN( v )б) если u1 < 3, u22(u2 )u2 eu22,(4.29), тоN( v )в) если u1 3, u2(4.28) принимает видNN 12(u1 )u1 e, то поскольку Ф(3) = 0,999N( v )2Nu1 eu12.u12,(4.30)1, выражение(4.31)Расчет N(E)Для расчета по формуле (4.24) числа частиц N(E), обладающихэнергией в любом конечном интервале от Е1 до Е2, удобно перейти кновой переменной (безразмерной энергии) t E kT .
Тогда выражениедля расчета числа частиц примет видN(E)2Nt2t1t e t dt ,(4.32)75где t 1E1 kT , t 2E2 kT .1) Если величина безразмерной энергии t = E/(kT) << 1, то можновоспользоваться разложением в ряд функцииt2...2и ограничиться первым членом разложения, т.е. eпроинтегрировав выражение (4.32), получаемet1 t2N(E)34N3t22t3t1 2 .1.
Тогда,(4.33)2) Если значение безразмерной энергии t 1, то проинтегрировав(4.32) по частям, с учетом интеграла ошибок (4.27) получаемвыражение для расчета числа частицN(E)N2t1 et1t2 et2( t2 )( t1 ) .(4.34)Наиболее часто при решении задач встречаются следующие случаи:а) если t1 = 0, t2 = const любое конечное число, тоN(E)б) еслиt13 (t1 < 9), t2N(E)в) еслиt13 , то Ф( t 1 )N(E)N2( t2 )t2 et2,(4.35), тоN 10,9992N2( t1 )t1 et1, (4.36)1, и тогдаt1 et1.(4.37)Необходимо отметить, что вычисление вероятности w того, чточастицы имеют энергию (скорость, импульс) из указанного интервала,осуществляется теми же методами.
Согласно (4.1)N.(4.38)wNРаспределение БольцманаФункция распределения Максвелла не учитывает наличия сил,действующих на молекулы газа, в этом случае полная энергиямолекулы совпадает с кинетической энергией. Если же молекуланаходится в поле действия сил, то ее полная энергия являетсясуммой кинетической и потенциальной энергий761m0 ( v 2X v 2Y v 2Z ) U( x, y, z) ,2где U(x, y, z) потенциальная энергия молекулы.Кинетическая и потенциальная энергия зависят от разныхпеременных.Следовательно,значениякинетическойипотенциальной энергии (и, соответственно, вероятности появленияэтих значений), не связаны между собой.Потенциальная энергия зависит от положения молекулы, т.е. от еекоординат.
Относительное число молекул, имеющих потенциальнуюэнергию U(x, y, z) вблизи точки с координатами x, y, z в элементарномобъеме dV dx dy dz , определяется соотношениемEdNf ( x, y, z) dV f ( x, y, z) dxdydz ,Nгде функцию распределения можно записать в виде(4.39)U( x, y, z )kT(4.40)f ( x, y, z) B eВыражение (4.39) представляет собой распределение молекул покоординатам в потенциальном поле и называется распределениемБольцмана.Концентрация молекул в объеме dVU( x, y, z )dNnnB e kT .dVNПолагаем, что на нулевом уровне потенциальной энергии,концентрация молекул принимает значение n = n0, и приводимраспределение Больцмана (4.39) к видуU( x, y, z )kTn n0 e.(4.41)Потенциальную энергию для конкретного силового поля можнополучить интегрированием U(r )(F r ) ,(4.42) r r ( x, y, z ) радиус-вектор,гдедействующаянаF сила,молекулы.Если молекулы газа находятся в поле силы тяжести, топотенциальная энергия молекулы U m0 gz , где z вертикальнаякоордината, отсчитываемая от поверхности Земли (высота подъема).Тогда, согласно (4.40)n( z)n(0) em0gzkT,(4.43)где n(z) концентрация молекул на некоторой высоте (h = z),n(0) концентрация молекул вблизи поверхности Земли (при z = 0).77Учитывая, что давление газа связано с концентрацией формулойP = nkT, получим закон изменения давления с высотойm0gzkT,p( z) p(0) eтак называемую барометрическую формулу.(4.44)Примеры решения задачЗадача 4.1 С помощью распределения Максвелла найти среднеезначение величины обратной скорости молекул идеального газа 1 vпри температуре Т, если масса каждой молекулы m0.
Сравнитьполученную величину с величиной, обратной к средней скорости.РешениеДля определения средней величины обратной скоростииспользуем функцию распределения Максвелла по модулю скорости(4.10). Тогда согласно (4.5) имеем1v1f ( v )dvv0m02 kT432m0 V 22kTv edv .0m0, перепишем интеграл в виде2kTВводя обозначение31v42v eV2dv .0Воспользовавшись интегралом из таблицы 1 (см. Приложение), получим:1v342124122m0.2 kT2Средняя арифметическая скорость была найдена ранее (4.19),поэтому 1vm0.
Сравниваем полученные величины8kT1v1 v2m02 kT8kTm01624.Задача 4.2 Найти отношение числа молекул азота, находящихсяпри нормальных условиях, модули скорости которых лежат винтервале 1) от 99 м/с до 101 м/с : 2) от 499 м/с до 501 м/с. Молярнаямасса азота = 28 10–3 кг/моль.РешениеТак как интервал скоростей мал, то расчет проводим согласно(4.22).
Из распределения Максвелла по модулю скорости имеем78N1N2где v1 = v2 = 2 м/с; v1Учитывая, что m0молекул4m02 kT4m02 kT32322m0 v12kTev1m0 v22kTe2v1 ,2v22v2 ,99 101499 501100 м c ; v2500 м с .22NA , а kNA R , получаем отношение числаv1N1N2v222exp2RT2( v22v1 )Вычисляем (T = 273 K):N1N2(100 )2(500 )2exp28 10 3((500 )22 8,31 273то есть число молекул со скоростями 499 v2число молекул со скоростями 99 v1 101 м/c.(100 )2 )0,176 ,501 м/c больше, чемЗадача 4.3 Найти относительное число молекул N N идеальногогаза, скорости которых отличаются не более чем на= 1% отзначения средней квадратичной скорости. Какова вероятность w того,что скорость молекулы газа лежит в указанном интервале?Решениеv 2 v cр.kв.Рассматриваемый интервал скоростеймал,следовательно проводим расчет по функции распределенияМаксвелла с учетом (4.22)m0 v2cp.kв32m0N4e 2kTv 2cp.kв. 2 v cp.kв.N2 kTИспользуя выражение (4.20) для средней квадратичной скоростиv cp.k‰.3kT m 0 , имеемNN4m02 kT32e33kTm02322832ОкончательноNNСогласно (4.38)8 10 2 32314,32e32185,10232e3279wNN185,102185%,Задача 4.4 Водород при нормальных условиях занимает объемV = 1 cм3.
Определить число молекул N, обладающих скоростямименьше некоторой vmax = 1 м/c. Молярная масса водорода= 2 10–3 кг/моль.РешениеДля нахождения числа частиц в произвольном интервалескоростей нужно перейти к безразмерной скорости u = v/vB ирассчитать интеграл (4.25)Nu24Nu2 eu2du .u1Значение наиболее вероятной скорости для водорода принормальных условиях (Т = 273 К):vв2RT2 8,31 2731500 м с ,2 10 3следовательно, величина безразмерной скорости u = v/vB будетизменяться в пределах от u1 = v1/vB = 0 (так как v1 = 0) доu2 vmax vв 1 15001.Так как безразмерная скорость мала, то для вычисления числамолекул в этом интервале можно воспользоваться формулой (4.26)4Nu324N 33N( v )(u 2 u1 )33Общее число молекул водорода в объеме VN n VPV,kTтогда окончательное выражение для расчетаN43PVu 32kT4 10 5 10361,38 10(1 1500 )3232735,9 10 9 .Задача 4.5 Какая часть от общего числа молекул идеального газаимеет скорости а) меньше наиболее вероятной; б) больше наиболеевероятной?Решениеv1Относительное число молекул, имеющих скорости в интервалеv v2, можно найти по формуле (4.25)80NN4u2u2u2 edu ,u1где u = v/vB и, соответственно, u1 = v1/vB; u2 = v2/vB.а) Скорости молекул лежат в диапазоне 0 v vB, значит,пределы интегрирования u1 = 0 и u2 = 1.
Тогда c помощью интегралаошибок в соответствии с (4.29) находимN2u2(u2 )u2 e 2 .NИз Таблицы 2 (см. Приложения) возьмем значение Ф(u2 = 1) = 0,8427 ивыполним расчетNN20,84271e10,842720,43 .eб) Во втором случае диапазон изменения скорости vB vи,значит, пределы интегрирования в (4.25) u1 = 1 и u2 = . В этом случаесогласно формуле (4.30)N221u21(u1 )u1 e 1 1 0,84270,57.N3,14 eЗадача 4.6 Найти относительное число молекул идеального газа,кинетическая энергия которых отличаются от наиболее вероятногозначения энергии Ев не более, чем на = 1%.РешениеРассматриваемый интервал энергий E 2 Eв мал, следовательнопроводим расчет по функции распределения Максвелла (4.15)2 Ef (E)(kT )3eEkT .Согласно (4.22), учитывая, что Е = Ев, имеемNN2 E‰(kT )3eE‰kT2 E‰4 E‰32(kT )3 2eE‰kT.Найдем наиболее вероятное значение энергии, исследуя f(E) наэкстремум f E E 02(kT )31e2 EEkTE eEkT1kT0Подставляем Ев и находим относительное число частицEBkT.281NN4 (kT 2)3 2(kT )32kT2kTe2e2 10 23,14 e 2124,8 103Задача 4.7 В сосуде находится m = 8 г кислорода притемпературеТ = 1600 К.Молярнаямассакислорода332 10 кг/моль.
Какое число молекул N имеет кинетическуюэнергию поступательного движения, превышающую Е0 = 2 10–19 Дж?РешениеВоспользуемся соотношением (4.32) для расчета числа молекул взаданном интервале энергий Е0 Е.N2Nt2t e t dt ,t1где t 1 E0 kT , t2 = .Оценим величину2 10 19138,10 23 1600Тогда в соответствии с (4.37)2NNt1 e t1 .t1E0kT9,05 .Найдем общее число молекул кислородаNmNA8 10336,02 10 231,5 10 23 .32 10Тогда число молекул с кинетической энергией большей Е0N2 15, 1023314,9,05 e9,056 1019Задача 4.8 Пылинки массой m = 10–18 г взвешены в воздухе.Определить толщину слоя воздуха, в пределах которогоконцентрация пылинок различается не более чем на= 1%.Температура воздуха во всем объеме постоянна и равна Т = 300 К.Выталкивающей силой Архимеда пренебречь.РешениеПри равновесном распределении пылинок их концентрациязависит только от вертикальной координаты z и описываетсяфункцией распределения Больцмана (4.43)n( z)n0 emgzkT .82Продифференцировав выражение по z, получимmgdnn0ekTОткуда изменение координатыmgzkTmgzn dz .kTdzkT dn,mg ndzзнакпоказывает, что с увеличением высоты концентрация уменьшается.По условию задачи изменение концентрации частиц n с высотоймало по сравнению с самой концентрацией n, поэтому можноприближенно заменить дифференциал dn на конечное приращениеn.
Тогда толщина слоя воздуха с учетом того, что по условию n/n = ,zkTmgnn1,38 10 23 3000,0110 21 9,81kTmg4,22 мм .Задача 4.9 Определить силу, действующую на частицу,находящуюся во внешнем однородном поле тяготения, еслиотношение концентраций частиц n1/n2 на двух уровнях, отстоящихдруг от друга на z = 1 м, равно е. Температуру считать постоянной иравной Т = 300 К.РешениеПри равновесном распределении частиц во внешнем однородномполе тяготения зависимость концентрации частиц от высоты(вертикальная ось z) определяется распределением Больцмана(4.43). Для двух указанных в условии уровнейn1n( z1 )n(0) eа их отношение по условиюn1expn2U( z1 )kT; n2n( z 2 )U( z1 ) U( z 2 )kTn(0) eU( z2 )kT,e.Логарифмируя это выражение, получимlnn1n2U( z1 ) U( z 2 )kT1U.kTУчитывая, что в одномерном поле согласно (4.42), U =получим, чтоk T 1,38 10 23 300k T F zF4,14 10z1F z,21HЗадача 4.10 Идеальный газ находится в бесконечно высокомвертикальном цилиндрическом сосуде при температуре Т.
Считая83поле сил тяжести однородным, найти: 1) среднее значениепотенциальной энергии U молекул газа; 2) как изменится давлениегаза на дно сосуда, если температуру газа увеличить в раз.Решение1) При равновесном распределении молекул в однородном полесилы тяжести функция распределения Больцмана (4.40)f (U)UkT ,B eгде В некоторая постоянная, U потенциальная энергия в полесилы тяжести. kT тепловая энергия частиц при данной температуре.Для нахождения среднего значения потенциальной энергии черезфункцию распределения воспользуемся формулой (4.4)UkTU B edU0UUkTU edU.0B eUkTdUe0UkTdU0Вычислим записанные интегралы с помощью Таблицы 1:UeUkTdUxxe01dx20eUkTdUxe0dx1, где1kTUe0k 2T 201kT, гдеUkT dUeUkTdUkT .0Тогда получаемk 2T2kTUkT .2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
