Задачник по физике (термодинамика) (550710), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Воднородномполесилтяжестипотенциальнаяэнергия U m g z (где уровень z = 0 соответствует дну сосуда).Запишем закон Больцмана в виде (4.43)n( z)n(0) emogzkT.Числочастицвэлементарномцилиндрического сосуда dV = S dzdN( z)n( z) dVобъемеn(0) emogzkTвертикальногоS dz ,где n(0) P(0) kT .Полное число частиц в бесконечно высоком вертикальномцилиндрическом сосуде при постоянной температуре Т1N1dN0n(0) e0mogzkTS dzP1(0) SekT1 0mogzkT dz .84Делая замену переменнойm0 gxz ; dxkT1получаемN1mo gdzkT1P1(0)SkT1e x dxkT1m0 gP1(0)Sem0 g0kT1dx ,mo gdz,P1(0)S.m0 gx0Аналогично рассчитывается число частиц N2 при температуре Т2P2 (0)SN2.m0 gДля бесконечно высокого сосуда полное число частиц должно бытьодинаковым, т.е.
N1 = N2. Следовательно, давление на дно сосудапри изменении температуры не меняется P1(0) = P2(0).Задача 4.11 Ротор центрифуги вращается с угловой скоростью . Используяфункцию распределения Больцмана, установить распределение концентрацииn для частиц массой m, находящихся на расстоянии r от оси вращения.РешениеФункция распределения концентрации частиц в одномерном полесогласно (4.41)U(r )n(r ) n(0) exp,kTгде U(r) потенциальная энергия частиц в силовом поле.При вращении центрифуги с угловой скоростьюна каждуючастицу, находящуюся на расстоянии r от оси вращения действуетцентробежная сила F(r ) m 2 r , а связь между силой ипотенциальной энергией задается формулой (4.42) U(F r ) .Тогда можно получить потенциальную энергиюU(r )Fr dr2mr drm22r2C.Положим, что при r = 0, U(r) = 0 и, следовательно, константа С = 0.Таким образом, потенциальная энергия записываетсяU(r )m2r22.Подставляя энергию в распределение концентрации, получаемфункцию расстояния от оси вращенияn(r )n 0 expm22kTr2.85Задачи для самостоятельного решения4.12 Вычислитьсреднююарифметическуюисреднююквадратичную скорости молекул идеального газа, у которого принормальном атмосферном давлении плотность = 1 г/л.4.13 Вычислить наиболее вероятную скорость молекул идеального газа,у которого при нормальном атмосферном давлении плотность = 1 г/л.4.14 Найти среднюю арифметическую, среднюю квадратичную инаиболее вероятную скорости молекул идеального газа, у которогопри давлении Р = 300 мм.рт.ст плотность = 0,3 кг/м3.4.15 Определить температуру водорода, при которой средняяквадратичная скорость молекул больше их наиболее вероятнойскорости на v = 400 м/с.
Найти среднюю арифметическую скоростьмолекул водорода при этой температуре. Молярная масса водорода= 2 10–3 кг/моль.4.16 При какой температуре средняя квадратичная скоростьмолекул азота больше их наиболее вероятной скорости наv = 50 м/с? Молярная масса азота = 28 10–3 кг/моль.4.17 При какой температуре газа, состоящего из смеси азота икислорода, наиболее вероятные скорости молекул азота и кислородабудут отличаться друг от друга на v = 30 м/с. Молярная масса азота–3кг/моль, молярная масса кислорода 2 = 32 10–3 кг/моль.1 = 28 104.18 Определить температуру кислорода, при которой функцияраспределения молекул по модулю скорости f(v) будет иметь максимумпри скорости vВ = 920 м/с.
Найти значения средней арифметической исредней квадратичной скоростей молекул кислорода при этойтемпературе. Молярная масса кислорода = 32 10–3 кг/моль.4.19 Найти температуру азота, при которой скоростям молекулv1 = 300 м/c и v2 = 600 м/с соответствуют одинаковые значенияфункции распределения по модулю скорости f(v). Молярная массаазота = 28 10–3 кг/моль.4.20 Определить скорость молекул аргона, при которой значениефункции распределения по модулю скорости f(v) для температурыТ0 = 300 К будет таким же, как и для температуры в n = 5 раз большей.Молярная масса аргона = 40 10–3 кг/моль.4.21 Определить скорость молекул идеального газа, при которойзначение функции распределения по модулю скорости f(v) длятемпературы Т0 будет таким же, как и для температуры вразбольше.
Молярная масса газа .4.22 Смесь кислорода и гелия находится при температуреt = 100oC. При каком значении скорости молекул значения функциираспределения по модулю скорости f(v) будут одинаковы для обоих86газов? Молярная масса гелия 1 = 4 10–3 кг/моль, молярная массакислорода 2 = 32 10–3 кг/моль.4.23 При каком значении скорости v пересекаются кривыераспределения Максвелла по модулю скорости для температур Т 1 иТ2 = 2Т1? Молярная масса газа известна.4.24 Найти наиболее вероятную, среднюю арифметическую исреднюю квадратичную скорости молекул хлора при температуреt = 227 C.
Как изменится средняя арифметическая скорость молекулгаза при адиабатическом расширении в два раза? Молярная массахлора = 70 10–3 кг/моль.4.25 При какой температуре средняя квадратичная скоростьмолекул кислорода равна средней квадратичной скорости молекулазота при температуре t = 100 C? Как зависит средняя квадратичнаяскорость молекул кислорода от давления при адиабатическомсжатии? Молярная масса азота 1 = 28 10–3 кг/моль, молярная массакислорода 2 = 32 10–3 кг/моль.4.26 Найтинаиболеевероятнуюскорость,среднююарифметическую и среднюю квадратичную скорости молекул гелияпри температуре t = 2000С. Как зависит средняя арифметическаяскорость молекул гелия от давления при адиабатическомрасширении? Молярная масса гелия = 4 10–3 кг/моль.4.27 Во сколько раз нужно адиабатически расширить идеальныйгаз, состоящий из двухатомных молекул, чтобы средняя квадратичнаяскорость молекул уменьшилась в n = 1,5 раза?4.28 Зная функцию распределения молекул по скоростям внекотором молекулярном пучке f ( v )C v3m0 v 2, определить2kTexpиз условия нормировки коэффициент С.4.29 Зная функцию распределения молекул по скоростям внекотором молекулярном пучке f ( v )m 022k 2 T 2v3expm0 v 2, найти2kTвыражение для средней арифметической скорости.4.30 Зная функцию распределения молекул по скоростям внекотором молекулярном пучке f ( v )m 022k 2 T 2v 3 expm0 v 2, найти2kTвыражение для наиболее вероятной скорости и рассчитать значениеэтой скорости для аргона при температуре Т = 500 К.
Молярная массааргона = 40 10–3 кг/моль.874.31 Вычислить среднюю проекцию скорости v X и среднеезначение модуля проекции скорости v X для молекул гелия притемпературе Т = 400 К. Молярная масса гелия = 4 10–3 кг/моль.4.32 Вычислить среднюю проекцию скорости v Y и среднеезначение модуля проекции скорости v Y для молекул аргона притемпературе t = 500C.
Молярная масса аргона = 40 10–3 кг/моль.4.33 Найти среднее значение квадрата проекции скорости v 2X молекулидеального газа при температуре Т. Масса каждой молекулы равна m0.4.34 Рассчитать среднее значение обратной скорости1vмолекул кислорода при температуре t = 500C и сравнить полученнуювеличину с величиной, обратной средней арифметической скоростидля этого газа. Молярная масса кислорода = 32 10–3 кг/моль.4.35 Используя функцию распределения Максвелла по скоростям,найти среднее значение импульса молекулы углекислого газа СО 2при температуре Т = 300 К. Молярная масса углекислого газа = 44 10–3 кг/моль.4.36 Используя функцию распределения Максвелла покомпоненте скорости, найти среднее значение модуля проекцииp X для молекул аргона при температуре t = 200C.импульсаМолярная масса аргона = 40 10–3 кг/моль.4.37 Используя функцию распределения Максвелла, найтисреднюю энергию поступательного движения молекул идеальногогаза при температуре Т.
Зависит ли эта энергия от рода газа?Рассчитать значение этой энергии для температуры Т = 500 К.4.38 Распределение молекул по скоростям в пучке, выходящем изнебольшогоотверстиявсосуде,описываетсяфункциейраспределения f ( v )m0 v 2. Найти наиболее вероятное2kTА v 3 expзначение скорости молекул в пучке и сравнить его со значениемнаиболее вероятной скорости молекул в сосуде.4.39 Распределение молекул по скоростям в пучке, выходящем изнебольшогоотверстиявсосуде,описываетсяфункциейраспределения f ( v )m023m0 v 2.
Получить функцию2kTv exp2k 2 T 2распределения молекул по энергиям и найти наиболее вероятноезначение энергии молекул в пучке.4.40 Используя функцию распределения Максвелла поимпульсам, найти наиболее вероятное значение импульса рВ длямолекул идеального газа. Масса молекулы газа m0.884.41 Используя функцию распределения Максвелла поимпульсам, найти наиболее вероятное значение импульса рВ длямолекул азота при температуре t = 100C. Молярная масса азота= 28 10–3 кг/моль.4.42 Используя функцию распределения Максвелла поимпульсам, найти выражение для кинетической энергии молекулидеального газа, которые имеют наиболее вероятное значениеимпульса рВ.4.43 Используя функцию распределения Максвелла поимпульсам, найти среднее значение квадрата импульса <p2> молекулидеального газа.4.44 Зная функцию распределения Максвелла по модулюскорости f(v), получить функцию распределения молекул по энергиямf(E) и найти наиболее вероятную энергию для молекул водорода притемпературе t = 1000C.4.45 Используя функцию распределения молекул по энергиям,найти отношение средней кинетической энергии <E> поступательногодвижения молекул идеального газа к наиболее вероятнойкинетической энергии поступательного движения EB молекул газа притой же температуре.4.46 Найти вероятности того, что при температуре Т = 200 Кмолекулы кислорода имеют компоненту скорости вдоль оси X,лежащую в интервале (300 0,3) и (400 0,4) м/c.
Молярная массакислорода = 32 10–3 кг/моль.4.47 Найти отношение вероятностей того, что при температуреТ = 300 К молекулы азота имеют компоненты скорости вдоль оси Z,лежащие в интервале (300 0,3) и (500 0,5) м/c. Молярная массаазота = 28 10–3 кг/моль.4.48 Найти отношение вероятностей того, что при температуреt = 200C молекулы углекислого газа СО2 имеют модуль скорости вдиапазоне: а) между 89 и 91 м/c; б) между 599 и 601 м/c.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
