Задачник по физике (термодинамика) (550710), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Найтиразность энтропий (S2 S1) гелия в этих сосудах.3.75 Процесс расширения = 2 молей аргона происходит так, чтодавление газа увеличивается прямо пропорционально его объему.Найти приращение энтропии газа при увеличении его объема в n = 2 раза.3.76 При очень низких температурах теплоемкость кристалловT 3 , гдеподчиняется закону С- постоянная. Найти энтропиюкристалла как функцию температуры в этой области.3.77 В одном сосуде, объем которого V1 = 1,6 л, находитсяm1 = 14 г окиси углерода (СО). В другом сосуде, объем которогоV2 = 3,4 л, находится m2 = 16 г кислорода. Температуры газоводинаковы.
Сосуды соединяют, и газы перемешиваются. Найтиприращение энтропии S в этом процессе. Молярные массы: окисиуглерода 1 = 28 10–3 кг/моль, кислорода 2 = 32 10–3 кг/моль.3.78 Один моль идеального газа совершает процесс, при которомего энтропия S зависит от температуры как ST , где66- постоянная. Температура газа изменилась от T1 до T2.
Найтиколичество тепла, сообщенное газу.3.79 Один моль идеального газа с известным значениемтеплоемкости Cмолсовершает процесс, при котором его энтропия SVзависит от температуры как ST , где - постоянная. Температурагаза изменилась от T1 до T2 . Найти работу, которую совершил газ.3.80 Один моль идеального газа совершает процесс, при которомего энтропия S зависит от температуры как ST , где - постоянная.Температура газа изменилась от T1до T2 . Найти молярнуютеплоемкость газа как функцию температуры.3.81 На рис.3.20 показаны два процесса1–2 и 1–3–2, переводящих идеальный газ изсостояния 1 в состояние 2. Показать расчетом,что приращение энтропии в этих процессаходинаково.3.82 Идеальный газ совершает цикл 1–2–3–1,в пределах которого абсолютная температураизменяется в n раз.
Цикл имеет вид, показанныйна рис.3.21, где Т – температура, а S –энтропия. Найти КПД этого цикла.31PT=constV12V2VРис. 3.20T213SРис. 3.213.83 Идеальный газ совершает циклическиепроцессы, показанные на рис.3.22 а,б. Выразить КПД циклов черезмаксимальную Т1 и минимальную Т2 температуры цикла.TT13TT11T2T22а)123SSб)3S12411Рис. 3.223.84 Найти КПД цикла, изображенного нарис. 3.23 в координатах S–T (Т – температура,S – энтропия). Рабочее тело – идеальный газ.T12T1TРис.
3.23S312411Рис. 3.24T673.85 КПД цикла, изображенного на рис.3.24 в координатах S–T (S –энтропия, T – температура), = 50%. Найти отношение температурнагревателя и холодильника для данного цикла. Изобразить цикл вкоординатахP–V (P – давление, V – объем). Рабочее тело –идеальный газ.684. ЭЛЕМЕНТЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ.РАСПРЕДЕЛЕНИЯ МАКСВЕЛЛА И БОЛЬЦМАНАОсновные понятия и законыСтатистическая физика изучает системы, состоящие из большогочисла частиц. Основная задача статистической физики – установитьсвязь между макроскопическими параметрами системы в целом имикроскопическими параметрами отдельных частиц, причемрассматриваются не конкретные движения и взаимодействия частиц,а только наиболее вероятное их поведение.В состоянии равновесия все значения координат, скоростей,импульсов и других параметров молекул идеального газа в тепловомдвижении равновероятны (иначе тепловое движение не было бывполне хаотичным), а в результате столкновений частиц параметрыизменяются случайным образом и, следовательно, являютсяслучайными величинами.Вероятностью появления случайной величины называется пределN;w limNNгде N – общее число опытов (число частиц), N – число опытов(частиц) в которых появляется эта случайная величина (т.е.исследуемый параметр имеет нужное нам значение).Для описания непрерывных случайных величин используетсяфункция распределения вероятности f(А) (плотности вероятности),выражающая относительное число N/N (долю) частиц, имеющихзначение некоторого параметра (А) в интервале от А до А + dA.Другими словами, функция f(A) выражает вероятность того, чтозначение параметра будет заключено в интервале от А до А + dAdNdwf ( A )dA .(4.1)NИз выражения (4.1) следует, что число частиц, для которыхзначение параметра А лежит в интервале от А1 до А2, запишетсяA2NN f ( A ) dA .(4.2)A1Поскольку вероятность w получения какого–либо значенияисследуемого параметра А равна единице, то для функциираспределения можно записать условие нормировкиf ( A )dAЛюбая средняя величина1.(4.3)( A ) ; A ; A 2 ; 1 A и т.д.
в интервале отзначения А1 до значения А2 может быть определена по формуле69A2( A ) f ( A ) dA(A)A1.A2(4.4)f ( A ) dAA1При интегрировании во всем возможном диапазоне значенийпараметра А, учитывая условия нормировки (4.3), получаем(A)( A ) f ( A ) dA .(4.5)Распределение МаксвеллаЗакон распределения по скоростям теплового движения молекулгаза, находящегося в состоянии термодинамического равновесия,был выведен Д. К. Максвеллом (1859) и носит названиераспределения Максвелла.Согласно (4.1) элементарная вероятность того, что составляющаяскорости молекул по оси ОХ лежит в малом интервале от vx до vx + dvxdw(vX) = f(vX) dvX ,(4.6)где f(vX) функция распределения Максвелла для одной компонентыскоростиf (v X )2m0 VX12m02 kTe2kT,(4.7)m0 масса молекулы, k = 1,38 10–23 Дж/К – постоянная Больцмана,Т температура.Поскольку, элементарная вероятность равна относительному числучастиц dN(v X ) N , имеющих скорости в интервале dvx, то можно записатьdN( v X )Ndw ( v X )m02 kTm0 VX212e2kTdv X .(4.8)Аналогично записываются формулы для относительного числачастиц, имеющих скорости в интервалах dvY и dvZ.Перейдем от распределения молекул по компонентам скорости краспределению по модулю скорости vv 2X v 2Y v 2Z .
Согласно(4.1) элементарная вероятность того, что модуль скорости лежит вмалом интервале значений от v до v + dvdw( v )f ( v ) dv .(4.9)Тогда относительное число частиц dN(v ) N , имеющих скорости винтервале dv, запишется703m V202m0dN( v )2dw ( v ) 4e kT v 2 dv ,(4.10)N2 kTгде f(v) – функция распределения молекул по модулю скорости(распределение Максвелла)f (v )4m02 kT32em0 V 22kT v 2 .(4.11)Вид функции распределения f(v)показан на рис. 4.1.Основные свойства функциираспределения :а) Функция f(v) непрерывна,модуль скорости частиц можетпринимать значения в диапазоне от0 до ;б) Площадь S, ограниченнаяграфиком функции f(v) и осьюабсцисс(осьскоростиv),определяет относительное числочастиц, имеющих скорости в интервале от v до v + v и представляетсобой вероятность того, что модуль скорости молекулы заключенмежду v и v + v , т.е.N V V(4.12)wSf ( v )dv .NVв) При увеличении температурыгаза общая площадь под кривойf(v) не изменяется (рис.4.2), ноувеличивается число частиц,двигающихсясбольшимискоростями, и, соответственно,уменьшается число частиц смалымискоростями,т.е.происходит перераспределениечисла частиц по скоростям.Кроме функции распределения частиц по скоростям используютсяфункции распределения частиц по энергиям и импульсам.
Получимраспределение молекул по энергиям, выражаяскорость черезкинетическую энергию молекулы:Em0 v 22v2E,m0dEm0 v dvdvdE.2m0EПодставляя выражения, полученные для v и dv, в формулу (4.10),получим71dNN43m02 kT2eEkT2Em0dE22m0E(kT )3E eEkTdE .(4.13)Откуда, функция распределения молекул по энергиям2 Ef (E)(kT )EkT .e3(4.14)Аналогично можно получить распределение молекул по модулюимпульса. Для этого нужно выразить скорость через импульсpdpp m0 vv; dv.m0m0C учетом полученных выражений, (4.10) примет вид:dNN4m02 kT32p2m 02ep22m0kTdpm014(2 m 0 kT )3p2ep22m0kTdp , (4.15)откуда функция распределения молекул по импульсамf (p)p24(2 m 0kT )3ep22m0 kT.(4.16)Расчет характерных величин в распределении Максвелла1) Для нахождения наиболее вероятных значений скорости vв,энергии Eв и импульса pв необходимо исследовать на экстремумсоответствующую функцию распределения f(v), f(E), f(p), т.е.
решитьуравнениеf (v )f (E)f (p)(4.17)0 ,0 ,0vEpи определить наиболее вероятное значение искомой величины.Найдем наиболее вероятную скорость молекул через функциюраспределения молекул по модулю скорости (4.10)f (v )v4m02 kT322vem0 V 22kTv 2em0 v 20 , и следовательно,2kTскорость движения молекулоткуда1vBгде R = 8,31 Дж/(моль К)2kTm02RTm0 V 22kT2m0 v2kT0,наиболее вероятная,универсальная газовая постоянная.(4.18)722) Средние значения величин v , p , E находятся согласновыражениям (4.4) и (4.5).
Рассчитаем среднюю арифметическуюскорость v молекул с помощью функции распределения Максвеллапо модулю скорости (4.10). Пределы изменения модуля скоростимолекулы от 0 до .3vv f ( v )dvm02 kT40m0 V 22v3 e2kTdv .0Данный интеграл является табличным (см. Приложения), с помощьюm 0 kTТаблицы 1, находим приvm02 kT432kTm0228kTm08RT.(4.19)3) Средняя квадратичная скорость молекул vср.кв величина,равная квадратному корню из среднего значения квадрата модуляскорости молекул. Находим на основании (4.5) и (4.10)v2v 2 f ( v )dv0v2 40С помощью табличного интеграла приv24m02 kT324v e0m0 V 22kT dv43m02 kT2em0 V 22kT v 2 dvm 0 kT :m02 kT352382kTm023kT.m0Откуда получаем формулу для средней квадратичной скоростимолекул3kT3RTv ср.кв.(4.20)m0Из формулы (4.20) можно получитькинетической энергии молекулыm0 v 23EkT .22величинусредней(4.21)Расчет числа молекул в заданном интервале скоростей иэнергийЕсли интервал изменения параметров: скорости v = v2 – v1(компоненты скорости vх = v2х – v1х) или энергии Е = Е2 – Е1 мал посравнению со средним значением этого параметра, то приближенныйрасчет числа молекул N можно проводить непосредственно пораспределениям (4.10), (4.8), (4.13) или (4.15)73N( v )m02 kT4 NN( v x )m02 kTNN(E)3v2kTe2v,2m0 v X1222kTe(4.22)v x,E2 ENm0 v2(kT )3kTeE,где v , v X , E – средние значения параметровv1 v 2v1x v2xE1 E2.v, vx, E222Если интервал изменения параметров ( v, E) не является малым,то расчет числа молекул в этом диапазоне производится по формуле (4.2)v2N( v )(4.23)N f ( v ) dvv1илиE2N f (E) dE ,N(E)(4.24)E1где f(v) и f(E) определяются по формулам (4.11) и (4.14).Расчет N(v)Для нахождения числа частиц N(v) удобно в формуле (4.23)перейти к безразмерной переменной u v vв (безразмернаяскорость), где vв2kT m0 - наиболее вероятная скорость движениямолекул (4.18).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
